第三节 变量间的相关关系及回归模型
1.根据如表样本数据：
x 2 3 4 5 6
y 4 2.5 －0.5 －2 －3
得到的经验回归方程为＝x＋，则（ ）
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
3.〔多选〕（2024·武昌质量检测）下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B.经验回归直线＝x＋一定过样本点中心（，）
C.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
4.〔多选〕（2025·唐山一模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A.样本相关系数r变小 B.经验回归方程斜率变大
C.残差平方和变小 D.决定系数R2变小
5.已知两变量x与y的经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.2），则残差平方和是 .
6.下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表.
x 2 3 4 5 6
y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
由表可得经验回归方程为＝0.81x＋，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为 .
7.为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下：
x（千克） 2 4 5 6 8
y（千克） 300 400 400 400 500
（1）由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用经验回归模型拟合）；
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？（≈3.16）
8.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为＝.
x 1 2 3 4
y e2 e3 e5 e6
若＝e13，则x＝（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
9.（创新考法）〔多选〕在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图样本点均位于第一象限，则可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A.y＝c1x2＋c2x B.y＝
C.y＝c1 D.y＝c1＋ln（x＋c2）
10.〔多选〕自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得到的海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为＝－4.0x＋68.5，决定系数为＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为＝132.9e－0.163x，决定系数为＝0.99，则下列说法正确的是（ ）
A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B.由方程＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0 kPa
C.由方程＝－4.0x＋68.5可知，样本点（11，22.6）的残差为－1.9
D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程＝132.9e－0.163x的预报效果更好
11.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值（i＝1，2，…，8），若残差平方和（yi－）2≈0.28，则决定系数R2≈ .
12.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本.为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，3，…，10）的数据进行分析，得到散点图如图所示，并计算得：＝6.8，＝70，＝3，＝1.6，＝350.
（1）根据散点图可知，可用函数模型y＝＋α拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为m＝－＋＋＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润＝年销售额－年投入成本）
第三节 变量间的相关关系及回归模型
1.B 由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则＜0，＝＝4，
＝＝0.2，又经验回归方程＝x＋经过样本点中心（4，0.2），可得 ＞0.
2.D r的绝对值越接近1，m越小，线性相关性越强.
3.ABD 对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；对B：由＝－，故经验回归直线＝x＋一定过样本点中心（，），故B正确；对C：样本相关系数｜r｜越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确.故选A、B、D.
4.BC 由图可知：P较其他的点偏离直线最大，所以去掉点P后，回归效果更好.对于A，样本相关系数｜r｜越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，所以去掉点P后，样本相关系数r变大，故A错误；对于B，由经验回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点P后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确；对于C，残差平方和越大，拟合效果越差，所以去掉点P后，残差平方和变小，故C正确；对于D，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点P后，决定系数R2变大，故D错误.故选B、C.
5.0.06 解析：因为＝2x＋1，所以当x＝2时，＝5，＝－0.1；当x＝3时，＝7，＝0.1；当x＝4时，＝9，＝0.2.所以残差平方和为＋＋＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.
6.10 解析：由表格，得＝×（2＋3＋4＋5＋6）＝4，＝×（3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8）＝5，因为经验回归直线恒过点（，），所以5＝0.81×4＋，解得＝1.76，所以经验回归方程为＝0.81x＋1.76，由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤≈10.17，由于x∈N*，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.
7.解：（1）由已知数据可得＝＝5，
＝＝400，
所以（xi－）（yi－）＝（－3）×（－100）＋（－1）×0＋0×0＋1×0＋3×100＝600，
＝＝2，
＝
＝100，
所以样本相关系数
r＝
＝＝≈0.95＞0.75.
所以可用经验回归模型拟合y与x的关系.
（2）＝＝＝30，
＝400－5×30＝250，
所以经验回归方程为＝30x＋250.
当x＝15时，＝30×15＋250＝700，
即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克.
8.B 由＝，得ln ＝x－1，令z＝ln y，则＝x－1，由题意知，＝＝2.5，＝＝4，因为（，）满足＝x－1，所以4＝×2.5－1，解得＝2，所以＝2x－1，所以＝e2x－1，令e2x－1＝e13，解得x＝7.
9.ABD 对于A，y＝c1x2＋c2x，可变形为＝c1x＋c2，令u＝，则有u＝c1x＋c2，故选项A正确；对于B，y＝＝1＋，故y－1＝，所以＝＝x＋，令v＝，则有v＝x＋，故选项B正确；对于C，y＝c1，则ln y＝ln c1＋x＋c2，令n＝ln y，则有n＝x＋ln c1＋c2，此时的斜率为常数1，与最小二乘法不符合，故选项C错误；对于D，y＝c1＋ln（x＋c2），则y－c1＝ln（x＋c2），所以＝x＋c2，故ey＝（x＋c2），令m＝ey，则有m＝（x＋c2）＝x＋c2，故选项D正确.故选A、B、D.
10.ACD 对于A，由题图知，海拔高度越高，大气压强越小，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；对于C，当x＝11时，＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点（11，22.6）的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程＝132.9e－0.163x的预报效果更好，故D正确.
11.－0.3 0.98 解析：f＝cWk两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，因为xi＝ln Wi，yi＝ln fi，经验回归直线＝x＋7.4必过样本点的中心（，），所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3，R2＝1－＝1－≈1－＝0.98.
12.解：（1）令u＝，则y关于u的经验回归方程为＝＋u，
依题意，得＝＝＝200，
＝－＝70－200×0.3＝10，
则＝10＋200u，
所以y关于x的回归方程为＝10＋.
（2）由y＝10＋，得x＝，
年利润M＝m－x－10
＝－＋＋＋100－－10＝－·（y－20）2＋90.8
当y＝20时，年利润M取得最大值，
此时，x＝＝＝20，
所以当年技术创新投入20千万元时，年利润的预报值最大.
3 / 3第三节 变量间的相关关系及回归模型
课标要求
1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.
4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
1.变量的相关关系
（1）相关关系：若两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；
（2）相关关系的分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量 ；
②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量 ；
提醒 注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系.（3）线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若x与y存在线性相关关系，可用样本相关系数r定量分析它们的相关程度的强弱.
（1）样本相关系数r＝；
（2）样本相关系数r的性质
①当r＞0时，称成对样本数据 相关；当r＜0时，称成对样本数据 相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系；
②样本相关系数r的取值范围为 .当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 .
3.一元线性回归模型
（1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线；
（2）经验回归方程为＝x＋，其中＝＝，＝－；
（3）通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.
4.判断回归模型的拟合效果
由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验回归方程＝x＋，其中y叫做观测值，叫做预测值，残差＝y－.相对于样本点（xi，yi）的随机误差＝yi－＝yi－（xi＋）.
（1）残差分析法
①作残差图：作图时纵坐标为 ，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图；
②残差分析：（ⅰ）定型分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.（ⅱ）定量分析：利用残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好.
（2）决定系数 （R2）法：R2＝1－.R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好.
1.观察散点图判断成对样本数据的相关性
根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论.如果散点图中变量的对应点分布在某条曲线的周围，那么这两个变量具有相关性；如果变量的对应点分布没有规律，那么这两个变量不具有相关性.
2.经验回归方程的性质
（1）经验回归直线一定过点（，）；
（2）y与x正相关的充要条件是＞0，y与x负相关的充要条件是＜0；
（3）当x增大一个单位时，增大个单位.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.（ ）
（2）散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.（ ）
（3）经验回归直线＝x＋至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点.（ ）
（4）样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.（ ）
2.（人A选三P103习题1题改编）两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右反映的变量间的相关关系分别是（ ）
A.①②③ B.②③①
C.②①③ D.①③②
3.对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是（ ）
A.－0.82 B.0.78 C.－0.69 D.－0.87
4.（人A选三P113例题改编）在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图.则下列操作顺序正确的是（ ）
A.①②④③ B.③②④①
C.②③①④ D.②④③①
5.已知x，y的取值如下表，已知y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.95x＋，则＝ .
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
成对数据的相关性
（师生共研过关）
（2022·全国乙卷理19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：样本相关系数r＝，≈1.377.
解题技法
样本相关系数r的统计含义及应用
（1）由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.
1.已知变量x和y满足关系＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是（ ）
A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关
2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3
回归模型
（定向精析突破）
考向1 线性回归分析
（2025·郑州第三次质量检测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2018～2022年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi%）：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份 代码xi 1 2 3 4 5
yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）求2018～2022年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；
（3）预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝－.
样本相关系数r＝，≈6.
解题技法
线性回归分析问题的解题策略
（1）利用公式，求出回归系数；
（2）利用经验回归直线过样本点的中心求系数；
（3）利用经验回归方程进行预测，把回归方程看作一次函数，将解释变量x的值代入，得到预测变量的值.
考向2 非线性回归分析
（2024·温州二模）红旗淀粉厂2025年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x（万元）与年收益y（万元）的8组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
（1）用y＝bln x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%.2025年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）
附：
yi ln xi （ln xi）2 yiln xi
161 29 20 400 109 603
ln 2≈0.7，ln 5≈1.6.
解题技法
有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，如通过换元或取对数等方法，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.
“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年某新能源汽车的年销售量情况.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测2025年该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1）
参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）.
刻画拟合效果
（师生共研过关）
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程为＝0.29x＋34.7.
（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
参考数据：（yi－）2＝50.18.
解题技法
刻画拟合效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；（2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好；（3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好.
1.在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，下列说法正确的是（ ）
A.Y＝bx＋a＋e 是一次函数
B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的
C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生
2.现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
月份 1 2 3 4
物流成本x 83 83.5 80 86.5
利润y 114 116 106 122
残差＝yi－ 0.2 0.6 1.8 －3
月份 5 6 7 8
物流成本x 89 84.5 79 86.5
利润y 132 114 m 132
残差＝yi－ －1 －4.6 －1
根据最小二乘法求得经验回归方程为＝3.2x－151.8.
（1）求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值；
（2）请先求出线性回归模型＝3.2x－151.8的决定系数R2（精确到0.000 1）；若根据非线性经验回归方程y＝267.76ln x－1 069.2求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数＝0.905 7，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的经验回归方程.
附（修正前的参考数据）：xiyi＝78 880，＝56 528，＝84，（yi－）2＝904.
第三节 变量间的相关关系及回归模型
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（2）①正相关 ②负相关 （3）一条直线
2.（2）①正 负 ②[－1，1] 强 弱
4.（1）①残差
对点自测诊断
1.（1）√ （2）√ （3）× （4）√
2.D 3.D 4.D 5.2.6
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量
＝＝＝0.39.
（2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4，
（xi－）2＝－10（）2＝0.002，
（yi－）2＝－10（）2＝0.094 8，
所以＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数
r＝≈≈0.97.
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝，
所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
跟踪训练
1.C 因为＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正相关，可设＝y＋，＞0，则＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关.
2.A 由散点图知图1与图3是正相关，故r1＞0，r3＞0，图2与图4是负相关，故r2＜0，r4＜0，且图1与图2的样本点集中在一条直线附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.
考点2
【例2】 解：（1）由已知可得，＝＝3，＝＝5.1，
由题可列下表：
xi－ －2 －1 0 1 2
yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3
（xi－）（yi－）＝－5.9，＝，＝，
r＝＝≈≈－0.98.
（2）由（1）知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，｜r｜接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述.
＝＝＝－0.59，
＝－＝5.1－（－0.59）×3＝6.87，
所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87.
（3）令x＝8，则＝－0.59×8＋6.87＝2.15，预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%.
【例3】 解：（1）＝
＝
＝＝5，
＝－·＝－5×＝2，
所以回归方程为＝5ln x＋2.
（2）设2025年该企业投入食品淀粉生产x万元.
预计收益为y万元，则y＝5ln x＋2＋（200－x）·，0＜x＜200， ①
所以y'＝－＝，
令y'＝0得x＝50，
当0＜x＜50时，y'＞0，函数①单调递增，
当50＜x＜200时，y'＜0，函数①单调递减，
所以ymax＝5ln 50＋2＋15＝5（2ln 5＋ln 2）＋17≈36.5（万元），
所以年收益的最大值为36.5万元.
跟踪训练
解：（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.
（2）令w＝x2，则＝w＋.
易知＝11，＝＝≈2.28，
＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以＝2.28w－2.36，
所以y关于x的经验回归方程为＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得＝79.72≈79.7.
故预测2025年该新能源汽车的年销售量为79.7万辆.
考点3
【例4】 解：（1）由＝0.29xi＋34.7，
可以算得＝yi－分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，
所以残差平方和为（）2≈8.43.
（2）（yi－）2＝50.18，
故R2＝1－≈1－≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
跟踪训练
1.C 对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误.
2.解：（1）因为＝3.2x－151.8，＝84，
所以＝3.2×84－151.8＝117，
114＋116＋106＋122＋132＋114＋m＋132＝117×8，解得m＝100，
8月份对应的残差值＝132－3.2×86.5＋151.8＝7.
（2）由已知得（yi－）2＝0.22＋0.62＋1.82＋（－3）2＋（－1）2＋（－4.6）2＋（－1）2＋72＝84.8，
R2＝1－＝1－≈0.906 2＞，
所以＝3.2x－151.8的拟合效果更好.
（3）由（1）可知，第八组数据的利润应为116万元，
此时xiyi＝78 880－86.5×16＝77 496，又＝56 528，＝84，＝117－＝115，
所以＝＝＝2.7，
所以＝115－2.7×84＝－111.8，
所以修正数据后，新的经验回归方程为＝2.7x－111.8.
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第三节 变量间的相关关系及回归模型
高中总复习·数学
课标要求
1. 结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化
数据向量夹角的关系.
2. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
3. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统
计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘
估计方法.
4. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 变量的相关关系
（1）相关关系：若两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去
精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；
（2）相关关系的分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个
变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量 ；
②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这
两个变量 ；
提醒 注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，
而相关关系是一种非确定的关系.
（3）线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，就称这两个变量线性相关.
正相关
负相关
一条直线
2. 样本相关系数
对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），
（x2，y2），…，（xn，yn），若x与y存在线性相关关系，可用样本相关
系数r定量分析它们的相关程度的强弱.
（1）样本相关系数r＝ ；
①当r＞0时，称成对样本数据 相关；当r＜0时，称成对样本数
据 相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系；
②样本相关系数r的取值范围为 .当｜r｜越接近1时，成对样
本数据的线性相关程度越 ；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线
性相关程度越 .
正
负
[－1，1]
强
弱
（2）样本相关系数r的性质
3. 一元线性回归模型
（1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在
通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这
条直线叫做经验回归直线；
（2）经验回归方程为 ＝ x＋ ，其中 ＝ ＝
， ＝ － ；
（3）通过求Q＝ （yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方
法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做
最小二乘法.
4. 判断回归模型的拟合效果
由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验
回归方程 ＝ x＋ ，其中y叫做观测值， 叫做预测值，残差 ＝y－
.相对于样本点（xi，yi）的随机误差 ＝yi－ ＝yi－（ xi＋ ）.
（1）残差分析法
②残差分析：（ⅰ）定型分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精
度越高，经验回归方程的预报精度越高.（ⅱ）定量分析：利用残差平方
和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好.
①作残差图：作图时纵坐标为 ，横坐标可以选为样本编号，或xi
数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图；
残差
（2）决定系数 （R2）法：R2＝1－ .R2的值
越趋近于1，模型的拟合效果越好.
1. 观察散点图判断成对样本数据的相关性
根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得
出结论.如果散点图中变量的对应点分布在某条曲线的周围，那么这两个
变量具有相关性；如果变量的对应点分布没有规律，那么这两个变量不具
有相关性.
2. 经验回归方程的性质
（1）经验回归直线一定过点（ ， ）；
（2）y与x正相关的充要条件是 ＞0，y与x负相关的充要条件是 ＜0；
（3）当x增大一个单位时， 增大 个单位.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关
关系. （ √ ）
（2）散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.
（ √ ）
（3）经验回归直线 ＝ x＋ 至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，
（xn，yn）中的一个点. （ × ）
（4）样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越
强. （ √ ）
√
√
×
√
2. （人A选三P103习题1题改编）两个变量的相关关系有①正相关，②负
相关，③不相关，则下列散点图从左到右反映的变量间的相关关系分别是
（ ）
A. ①②③ B. ②③①
C. ②①③ D. ①③②
解析： 第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是
正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负
相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该
是①③②.
√
3. 对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系
数r如下，则线性相关性最强的是（ ）
A. －0.82 B. 0.78
C. －0.69 D. －0.87
解析： 由样本相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知，
各选项中r＝－0.87的绝对值最大.
√
4. （人A选三P113例题改编）在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步
骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝
1，2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图.则下
列操作顺序正确的是（ ）
A. ①②④③ B. ③②④①
C. ②③①④ D. ②④③①
解析： 根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，
应先收集数据（xi，yi），然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对
所求的经验回归方程作出解释.
√
5. 已知x，y的取值如下表，已知y与x具有线性相关关系，且经验回归方
程为 ＝0.95x＋ ，则 ＝ .
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
解析：∵经验回归直线必过样本点的中心（ ， ），又 ＝2， ＝4.5，
∴代入经验回归方程，得 ＝2.6.
2.6
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
成对数据的相关性（师生共研过关）
（2022·全国乙卷理19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造
成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种
树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），
得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ＝0.038， ＝1.615 8， xiyi＝0.247 4.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
解： 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 ＝ ＝ ＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量
＝ ＝ ＝0.39.
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确
到0.01）；
解： （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－10 ＝0.013 4，
（xi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.002，
（yi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.094 8，
所以 ＝ ＝
≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数
r＝ ≈ ≈0.97.
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树
木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似
成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：样本相关系数r＝ ， ≈1.377.
解： 设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该
种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以 ＝ ，
所以Y＝ ＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209m3.
解题技法
样本相关系数r的统计含义及应用
（1）由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负
相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关
性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.
1. 已知变量x和y满足关系 ＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中
正确的是（ ）
A. x与y正相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
解析： 因为 ＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正
相关，可设 ＝ y＋ ， ＞0，则 ＝ y＋ ＝－0.1 x＋ ＋ ，故x
与z负相关.
√
2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的
比较，正确的是（ ）
A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3
C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3
√
解析： 由散点图知图1与图3是正相关，故r1＞0，r3＞0，图2与图4是负
相关，故r2＜0，r4＜0，且图1与图2的样本点集中在一条直线附近，因此
r2＜r4＜0＜r3＜r1.
回归模型（定向精析突破）
考向1 线性回归分析
（2025·郑州第三次质量检测）按照《中华人民共和国环境保护法》
的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国
生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2018～2022年五年《中
国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi%）：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码xi 1 2 3 4 5
yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）求2018～2022年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）；
解： 由已知可得， ＝ ＝3， ＝ ＝5.1，
由题可列下表：
xi－ －2 －1 0 1 2
yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3
（xi－ ）（yi－ ）＝－5.9， ＝ ，
＝ ，
r＝ ＝ ≈ ≈－0.98.
（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回
归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；
解： 由（1）知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，｜r｜接近1，所
以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述.
＝ ＝ ＝－0.59，
＝ － ＝5.1－（－0.59）×3＝6.87，
所求经验回归方程为 ＝－0.59x＋6.87.
（3）预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ＝
， ＝ － .
样本相关系数r＝ ， ≈6.
解： 令x＝8，则 ＝－0.59×8＋6.87＝2.15，预测2025年的酸雨区
面积占国土面积的百分比为2.15%.
解题技法
线性回归分析问题的解题策略
（1）利用公式，求出回归系数 ；
（2）利用经验回归直线过样本点的中心求系数 ；
（3）利用经验回归方程进行预测，把回归方程看作一次函数，将解释变
量x的值代入，得到预测变量 的值.
考向2 非线性回归分析
（2024·温州二模）红旗淀粉厂2025年之前只生产食品淀粉，下表为
年投入资金x（万元）与年收益y（万元）的8组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
（1）用y＝bln x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，
求出回归方程；
解： ＝＝
＝ ＝5，
＝ － · ＝ －5× ＝2，
所以回归方程为 ＝5ln x＋2.
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一
种药用淀粉，预计其收益为投入的10%.2025年该企业计划投入200万元用
于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）
附：
yi ln xi （ln xi）2 yiln xi
161 29 20 400 109 603
ln 2≈0.7，ln 5≈1.6.
解： 设2025年该企业投入食品淀粉生产x万元.
预计收益为y万元，则y＝5ln x＋2＋（200－x）· ，0＜x＜200， ①
所以y'＝ － ＝ ，
令y'＝0得x＝50，
当0＜x＜50时，y'＞0，函数①单调递增，
当50＜x＜200时，y'＜0，函数①单调递减，
所以ymax＝5ln 50＋2＋15＝5（2ln 5＋ln 2）＋17≈36.5（万元），
所以年收益的最大值为36.5万元.
解题技法
有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已知
数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数
等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的
变量进行变换，如通过换元或取对数等方法，把问题化为线性回归分析问
题，使之得到解决.
“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以
下表格和散点图反映了近几年某新能源汽车的年销售量情况.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年
销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明
理由）
解： 根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并
预测2025年该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1）
参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ）
＝851.2（其中wi＝ ）.
解： 令w＝x2，则 ＝ w＋ .
易知 ＝11， ＝ ＝
≈2.28，
＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36，所以 ＝2.28w－2.36，
所以y关于x的经验回归方程为 ＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得 ＝79.72≈79.7.
故预测2025年该新能源汽车的年销售量为79.7万辆.
刻画拟合效果（师生共研过关）
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组
数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程为 ＝0.29x＋34.7.
（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
解： 由 ＝0.29xi＋34.7，
可以算得 ＝yi－ 分别为 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－
2.214， ＝1.624，
所以残差平方和为 （ ）2≈8.43.
解： （yi－ ）2＝50.18，
故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
参考数据： （yi－ ）2＝50.18.
解题技法
刻画拟合效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模
型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效
果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效
果越好.
1. 在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，下列说法正确的是（ ）
A. Y＝bx＋a＋e 是一次函数
B. 响应变量Y是由解释变量x唯一确定的
C. 响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，
这些因素会导致随机误差e的产生
D. 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e
的产生
√
解析： 对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，方程表示的不是
确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是由
解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变量
x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产
生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以
D错误.
2. 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因
素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如
下表所示：
月份 1 2 3 4
物流成本x 83 83.5 80 86.5
利润y 114 116 106 122
残差 ＝yi－ 0.2 0.6 1.8 －3
月份 5 6 7 8
物流成本x 89 84.5 79 86.5
利润y 132 114 m 132
残差 ＝yi－ －1 －4.6 －1
根据最小二乘法求得经验回归方程为 ＝3.2x－151.8.
（1）求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值 ；
解： 因为 ＝3.2x－151.8， ＝84，
所以 ＝3.2×84－151.8＝117，
114＋116＋106＋122＋132＋114＋m＋132＝117×8，解得m＝100，
8月份对应的残差值 ＝132－3.2×86.5＋151.8＝7.
解： 由已知得 （yi－ ）2＝0.22＋0.62＋1.82＋（－3）2＋（－
1）2＋（－4.6）2＋（－1）2＋72＝84.8，
R2＝1－ ＝1－ ≈0.906 2＞ ，
所以 ＝3.2x－151.8的拟合效果更好.
（2）请先求出线性回归模型 ＝3.2x－151.8的决定系数R2（精确到
0.000 1）；若根据非线性经验回归方程y＝267.76ln x－1 069.2求得解释
变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数 ＝0.905 7，请说
明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实
后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，
求出新的经验回归方程.
附（修正前的参考数据）： xiyi＝78 880， ＝56 528， ＝84，
（yi－ ）2＝904.
解： 由（1）可知，第八组数据的利润应为116万元，
此时 xiyi＝78 880－86.5×16＝77 496，又 ＝56 528， ＝84， ＝
117－ ＝115，
所以 ＝ ＝ ＝2.7，
所以 ＝115－2.7×84＝－111.8，
所以修正数据后，新的经验回归方程为 ＝2.7x－111.8.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 根据如表样本数据：
x 2 3 4 5 6
y 4 2.5 －0.5 －2 －3
得到的经验回归方程为 ＝ x＋ ，则（ ）
A. ＞0， ＞0 B. ＞0， ＜0
C. ＜0， ＞0 D. ＜0， ＜0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
解析： 由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则 ＜0， ＝
＝4，
＝ ＝0.2，又经验回归方程 ＝ x＋ 经过样本点中心
（4，0.2），可得 ＞0.
2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，
并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
解析： r的绝对值越接近1，m越小，线性相关性越强.
√
3. 〔多选〕（2024·武昌质量检测）下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差
相同
B. 经验回归直线 ＝ x＋ 一定过样本点中心（ ， ）
C. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的
拟合效果越好
√
√
√
解析： 对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一
个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；对B：由 ＝ －
，故经验回归直线 ＝ x＋ 一定过样本点中心（ ， ），故B正
确；对C：样本相关系数｜r｜越大，两个变量的线性相关性越强，故C错
误；对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其
模型的拟合效果越好，故D正确.故选A、B、D.
4. 〔多选〕（2025·唐山一模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量
y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图
所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数r变小
B. 经验回归方程斜率变大
C. 残差平方和变小
D. 决定系数R2变小
√
√
解析： 由图可知：P较其他的点偏离直线最大，所以去掉点P后，回
归效果更好.对于A，样本相关系数｜r｜越接近于1，线性相关性越强，因
为散点图是递增的趋势，所以去掉点P后，样本相关系数r变大，故A错
误；对于B，由经验回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点
P后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变
化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确；对于C，残差平方和越大，拟
合效果越差，所以去掉点P后，残差平方和变小，故C正确；对于D，决定
系数R2越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点P后，决定系数R2变大，
故D错误.故选B、C.
5. 已知两变量x与y的经验回归方程为 ＝2x＋1，而试验得到一组数据是
（2，4.9），（3，7.1），（4，9.2），则残差平方和是 .
解析：因为 ＝2x＋1，所以当x＝2时， ＝5， ＝－0.1；当x＝3时，
＝7， ＝0.1；当x＝4时， ＝9， ＝0.2.所以残差平方和为 ＋
＋ ＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.
0.06
6. 下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y
（单位：万元）的统计表.
x 2 3 4 5 6
y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
由表可得经验回归方程为 ＝0.81x＋ ，若规定：维修费用y不超过10万
元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年
限的最大值约为 .
10
解析：由表格，得 ＝ ×（2＋3＋4＋5＋6）＝4， ＝ ×（3.4＋4.2＋
5.1＋5.5＋6.8）＝5，因为经验回归直线恒过点（ ， ），所以5＝
0.81×4＋ ，解得 ＝1.76，所以经验回归方程为 ＝0.81x＋1.76，由
y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤ ≈10.17，由于x∈N*，所以据此
模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.
7. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专
家进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千
克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下：
x（千克） 2 4 5 6 8
y（千克） 300 400 400 400 500
（1）由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本
相关系数r并加以说明（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用经验
回归模型拟合）；
解： 由已知数据可得 ＝ ＝5，
＝ ＝400，
所以 （xi－ ）（yi－ ）＝（－3）×（－100）＋（－1）×0＋0×0
＋1×0＋3×100＝600，
＝ ＝2 ，
＝ ＝100 ，
所以样本相关系数r＝
＝ ＝ ≈0.95＞0.75.
所以可用经验回归模型拟合y与x的关系.
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克
时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？（ ≈3.16）
解： ＝ ＝ ＝30， ＝400－5×30＝250，所
以经验回归方程为 ＝30x＋250.
当x＝15时， ＝30×15＋250＝700，
即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700
千克.
8. 已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归
方程为 ＝ .
x 1 2 3 4
y e2 e3 e5 e6
若 ＝e13，则x＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
√
解析： 由 ＝ ，得ln ＝ x－1，令z＝ln y，则 ＝ x－1，由
题意知， ＝ ＝2.5， ＝ ＝4，因为（ ， ）满足 ＝
x－1，所以4＝ ×2.5－1，解得 ＝2，所以 ＝2x－1，所以 ＝e2x－1，
令e2x－1＝e13，解得x＝7.
9. （创新考法）〔多选〕在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，
若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，
引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分
析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，
且散点图样本点均位于第一象限，则可以根据上述方法进行回归分析的模
型有（ ）
A. y＝c1x2＋c2x B. y＝
C. y＝c1 D. y＝c1＋ln（x＋c2）
√
√
√
解析： 对于A，y＝c1x2＋c2x，可变形为 ＝c1x＋c2，令u＝ ，
则有u＝c1x＋c2，故选项A正确；对于B，y＝ ＝1＋ ，故y－1
＝ ，所以 ＝ ＝ x＋ ，令v＝ ，则有v＝ x
＋ ，故选项B正确；对于C，y＝c1 ，则ln y＝ln c1＋x＋c2，令
n＝ln y，则有n＝x＋ln c1＋c2，此时的斜率为常数1，与最小二乘法不符
合，故选项C错误；对于D，y＝c1＋ln（x＋c2），则y－c1＝ln（x＋
c2），所以 ＝x＋c2，故ey＝ （x＋c2），令m＝ey，则有m＝
（x＋c2）＝ x＋c2 ，故选项D正确.故选A、B、D.
10. 〔多选〕自然环境中，大气压受到各种因素
的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改
变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海
拔的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得
到的海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根
据一元线性回归模型得到经验回归方程为 ＝－4.0x＋68.5，决定系数为 ＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为 ＝132.9e－0.163x，决定系数为 ＝0.99，则下列说法正确的是（ ）
A. 由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B. 由方程 ＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低
4.0 kPa
C. 由方程 ＝－4.0x＋68.5可知，样本点（11，22.6）的残差为－1.9
D. 对比两个回归模型，结合实际情况，方程 ＝132.9e－0.163x的预报效
果更好
√
√
√
解析： 对于A，由题图知，海拔高度越高，大气压强越小，所以大
气压强与海拔高度负相关，故A正确；对于B，经验回归方程得到的数据为
估计值，而非精确值，故B错误；对于C，当x＝11时， ＝－4.0×11＋
68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点（11，22.6）的残
差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气
压强越来越小，但不可能为负数，因此方程 ＝132.9e－0.163x的预报效果
更好，故D正确.
11. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉
搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，
8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参
数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得 ＝8， ＝5， ＝214.由最小二
乘法得经验回归方程为 ＝ x＋7.4，则k的值为 ；为判断拟合
效果，通过经验回归方程求得预测值 （i＝1，2，…，8），若残差平方
和 （yi－ ）2≈0.28，则决定系数R2≈ .
－0.3
0.98
解析：f＝cWk两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，因为xi＝ln Wi，yi＝ln
fi，经验回归直线 ＝ x＋7.4必过样本点的中心（ ， ），所以5＝8
＋7.4，解得 ＝－0.3，所以k＝－0.3，R2＝1－
＝1－ ≈1－ ＝0.98.
12. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本.为
了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）
的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，
3，…，10）的数据进行分析，得到散点图如图所示，并计算得： ＝
6.8， ＝70， ＝3， ＝1.6， ＝350.
（1）根据散点图可知，可用函数模型y＝ ＋α拟合y与x的关系，试建
立y关于x的回归方程；
解： 令u＝ ，则y关于u的经验回归方程
为 ＝ ＋ u，
依题意，得 ＝ ＝ ＝200，
＝ － ＝70－200×0.3＝10，则 ＝10＋200u，
所以y关于x的回归方程为 ＝10＋ .
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系
为m＝－ ＋ ＋ ＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投
入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新
投入x为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润＝年销售额－年投
入成本）
解： 由y＝10＋ ，得x＝ ，
年利润M＝m－x－10
＝－ ＋ ＋ ＋100－ －10＝
－ ·（y－20）2＋90.8
当y＝20时，年利润M取得最大值，
此时，x＝ ＝ ＝20，所以当年技术创新投入20千万元时，年利润的预报值最大.
THANKS
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