第一节 随机抽样与常用统计图表
1.“神舟十六号”的成功发射，再次激起国人对载人航天工程的兴趣.某中学为此举行了“航天知识知多少”的主题抢答比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了36个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为（ ）
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20
01 12 51 29 32 04 92 34 49 35 82 00
36 23 48 69 69 38 74 81 46 52 73 64
A.12 B.20 C.29 D.23
2.（2024·驻马店二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A.6人 B.9人
C.12人 D.18人
3.某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2024年1月至2024年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月份
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳
4.如图是我国2019—2024年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ）
A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B.这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C.2021年销量高于这六年销量的平均值
D.这六年增长率最大的为2020年至2021年
5.〔多选〕某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是（ ）
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
6.〔多选〕某学校为了调查学生在生活方面一周的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A.样本中支出在[50，60]元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生，则一定有600人的支出在[50，60]元
7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为 .
8.某汽车研究院现有300名研究员，他们的学历情况如图所示，该研究院今年计划招聘一批新研究员，并决定不再招聘本科生，且使得招聘后本科生的比例下降到15%，硕士生的比例不变，则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为 .
9.从某学校一年级随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[110，120），[120，130），[130，140）三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取17人参加一项活动，则从身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为 .
10.某地区公共部门为调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1 000的1 000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是（ ）
A.估计被调查者中约有520人吸烟
B.估计约有10人对问题2的回答为“是”
C.估计该地区约有4%的中学生吸烟
D.估计该地区约有2%的中学生吸烟
11.空气质量的指标AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为优，AQI指数大于50且不超过100，空气质量为良，AQI指数大于100，空气质量为污染，如图是某市2024年空气质量指标AQI的月折线图.下列关于该市2024年空气质量的叙述中不一定正确的是（ ）
A.全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B.每月都至少有一天空气质量为优
C.空气质量为污染的天数最多的月份是2月份
D.2月，8月，9月和12月均出现污染天气
12.〔多选〕某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图.
用该样本估计总体，以下四个说法正确的是（ ）
A.44～56周岁人群理财人数最多
B.18～30周岁人群理财总费用最少
C.B理财产品更受理财人青睐
D.年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
13.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样的方法抽取若干名教授组成研究小组.已知高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（0＜m≤72≤n）.
（1）若从A，B两所高校中共抽取3名教授，从B，C两所高校中共抽取5名教授，则m＝ ，n＝ ；
（2）若从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授总人数的，则三所高校的教授总人数为 .
第一节 随机抽样与常用统计图表
1.C 有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C.
2.B 设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知＝，＝，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人.故选B.
3.D 由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9，10，11，共3个月，比6月份低的有1，2，3，4，5，7，8，共7个月，故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C不正确；从折线图来看，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.
4.C 对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；对于B，因为0.6×6＝3.6，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确；对于C，这六年销量的平均数为＝410.35＞291.6，故C错误；对于D，因为2020年至2021年的增长率为≈1.6，超过其他年份的增长率，故D正确.故选C.
5.ABC 由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差大于5 ℃，而一月的平均温差小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10 ℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D不正确.故选A、B、C.
6.BC 在A中，样本中支出在[50，60]元的频率为1－（0.010＋0.024＋0.036）×10＝0.3，故A错误；在C中，n＝＝200，故C正确；在B中，样本中支出不少于40元的人数为200×（0.030＋0.036）×10＝132，故B正确；在D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人的支出在[50，60]元，故D错误.
7.40 解析：设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积和为x，根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，得x＋x＝1，则x＝，即中间一组的频率为，所以中间一组的频数为140×＝40.
8.40 解析：根据题意，设今年计划招聘的硕士生为x人，博士生为y人，又由现有研究员300人，其中本科生有300×20%＝60（人），硕士生有300×40%＝120（人），则有解得
9.6 解析：由题中频率分布直方图知，身高在[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]内的频率依次为0.05，0.35，10a，0.2，0.1，10a＝1－0.05－0.35－0.2－0.1＝0.3，因此，身高在[120，130）内的频率为0.3，则身高在[110，120），[120，130），[130，140）内的人数比为0.35∶0.3∶0.2＝7∶6∶4，所以利用分层随机抽样抽取的17人中，在[120，130）内的人数为×17＝6.
10.C 随机抽出的1 000名学生中，回答第一个问题的概率是， 其编号是奇数的概率也是， 所以回答问题1且回答是的人数大约为1 000××＝250，所以回答第二个问题，且为是的人数大约为270－250＝20， 由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为×100%＝4%，估计被调查者中约有1 000×4%＝40（人）吸烟，故表述正确的是C.
11.C 对于A，由折线图知平均AQI指数值不超过100，所以A正确；对于B，通过折线图知最小AQI指数均在50以下，说明每月至少有一天空气质量为优，所以B正确；对于C，根据折线图2月份出现最大值，并不表示空气质量为污染的天数最多的月份是2月份，所以C错误；对于D，2月，8月，9月和12月的最大值AQI指数有大于100，空气质量为污染，所以D正确.故选C.
12.ACD 对于A，44～56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；对于B，设总人数为a，则18～30周岁人群的理财总费用约为0.28a×3 500＝980a，31～43周岁人群的理财总费用约为0.3a×4 500＝1 350a，44～56周岁人群的理财总费用约为0.37a×5 500＝2 035a，57周岁及以上人群的理财总费用约为0.05a×6 200＝310a，所以57周岁及以上人群的理财总费用最少，故错误；对于C，由条形图可知B理财产品更受理财人青睐，故正确；对于D，由折线图知年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，故选A、C、D.
13.（1）36 108 （2）180 解析：（1）因为0＜m≤72≤n，从A，B两所高校中共抽取3名教授，从B，C两所高校中共抽取5名教授，所以从高校B中抽取2名教授，从高校A中抽取1名教授，从高校C中抽取3名教授，所以＝＝，解得m＝36，n＝108.
（2）因为从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授总人数的，所以（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，所以三所高校的教授总人数为m＋n＋72＝180.
4 / 4第一节 随机抽样与常用统计图表
课标要求
1.了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法；了解分层随机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法，在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.
2.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.
1.随机抽样
（1）总体、个体、样本、样本容量
统计含义
总体 把调查对象的 称为总体
个体 组成总体的每一个 称为个体
样本 在抽样调查中，从总体中抽取的那部分 称为样本
样本容量 样本中包含的 称为样本容量
（2）简单随机抽样
①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的 都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；
②常用方法： 和 .
（3）分层随机抽样
①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 .在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为 ；
②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样.
2.常用统计图表
（1）频率分布直方图
①纵轴表示，即小长方形的高＝；
②小长方形的面积＝组距×＝频率；
③各小长方形的面积的总和等于1.
（2）作频率分布直方图的步骤
①求 ；②决定 与 ；③将 分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.
（3）其他统计图
①扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
②条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率（离散型数据）；
③折线图：直观描述数据随时间的变化趋势；
④雷达图：直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系（差异程度和趋势）；
⑤总体密度曲线：设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f（x）来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线（连续型数据）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（ ）
（2）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（ ）
（3）分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（ ）
（4）频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.（ ）
2.（人A必修二P224复习参考题1题改编）为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了100名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生成绩是（ ）
A.总体 B.个体
C.样本 D.样本量
3.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数之和为（ ）
A.150 B.250 C.300 D.400
4.一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按性别比例分配，那么男运动员应抽取 名，女运动员应抽取 名.
5.（人A必修二P198练习1题）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中x的值为 ；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250）内的有 户.
简单随机抽样
（基础自学过关）
1.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.02
C.63 D.01
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
练后悟通
1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）等可能抽取.
2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）.
分层抽样
（师生共研过关）
（1）某校高一年级1 000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（ ）
A.11 B.22 C.110 D.220
（2）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.
听课记录
解题技法
分层随机抽样问题的类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算；
（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中抽样比＝＝.
1.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的轿车比B型号的轿车少8辆，则n＝（ ）
A.96 B.72 C.48 D.36
2.某校为了解学生学习数学的情况，采用分层随机抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（ ）
A.15，16，19 B.15，17，18
C.14，17，19 D.14，16，20
统计图表
（定向精析突破）
考向1 扇形图与条形图
已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生近视的形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A.100，20 B.200，20
C.200，10 D.100，10
听课记录 解题技法
1.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
2.由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量.
考向2 折线图
〔多选〕某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A.该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润
B.该企业2024年1月至6月的平均收入低于2024年7月至12月的平均收入
C.该企业2024年8月至12月的支出持续增长
D.该企业2024年11月份的月利润最大
听课记录 解题技法
折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.
考向3 频率分布直方图
（1）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17].按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（ ）
A.8 B.12
C.16 D.18
（2）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.则当漏诊率p（c）＝0.5%时，误诊率q（c）＝ .
听课记录 解题技法
频率分布直方图的相关结论
（1）频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积；
（2）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；
（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
1.如图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（ ）
A.该同学数学学科成绩一定下降
B.该同学政治学科成绩一定下降
C.该同学化学学科成绩可能下降
D.该同学语文学科成绩一定提升
2.某省从2021年开始试行“3＋1＋2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目的成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是（ ）
A.甲同学的物理成绩相对他的其余科目成绩领先年级平均分最多
B.甲同学有3门科目的成绩低于年级平均分
C.甲同学的成绩从高到低排序的前3门科目依次是物理、化学、地理
D.对甲同学而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果
3.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图所示频率分布直方图，则图中t的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）.
第一节 随机抽样与常用统计图表
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）全体 调查对象 个体 个体数 （2）①概率 ②抽签法 随机数法
（3）①分层随机抽样 层 比例分配
2.（2）①极差 ②组距 组数 ③数据
对点自测诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.C 3.B 4.16 12
5.（1）0.004 4 （2）70
【考点·分类突破】
考点1
1.D 根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重复），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.故选D.
2.B 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为×1 534≈169（石）.
3.A 第一次被抽到，显然为；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为×＝.
考点2
【例1】 （1）A （2）18 解析：（1）由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的22%，所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是50×22%＝11.
（2）因为样本量n＝60，总体容量N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为＝＝.因此应从丙种型号的产品中抽取300×＝18（件）.
跟踪训练
1.B 设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x＋8）辆，则＝，解得x＝16，即A型号车为16辆，则＝，解得n＝72.
2.B 由题意可知，三个年级共有600＋680＋720＝2 000（人），则高一抽取的人数为50×＝15，高二抽取的人数为50×＝17，高三抽取的人数为50×＝18，故选B.
考点3
【例2】 B 由题图甲可知学生总数是10 000，样本量为10 000×2%＝200，抽取的高中生为2 000×2%＝40（人），由题图乙可知高中生近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.
【例3】 ABC 因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.
【例4】 （1）B （2）3.5% 解析：（1）由直方图可得第一组与第二组的频率之和为0.24＋0.16＝0.4，第一组和第二组共有20人，所以样本容量为＝50，所以第三组的人数为50×0.36＝18，第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有12人.故选B.
（2）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002＞0.5%，所以95＜c＜100，所以（c－95）×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，由右边的频率分布直方图可得q（c）＝0.01×（100－97.5）＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
跟踪训练
1.D 对于A：第一次月考数学成绩占16%，第二次月考数学成绩占17%，且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考数学成绩比第一次数学成绩要高，故A错误；对于B：第一次月考政治成绩占17%，第二次月考政治成绩占16%，由于只知道第一次月考总分低于第二次月考总分，故无法判断这两次月考政治学科成绩的变化，故B错误；对于C：第一次月考化学成绩占16%，第二次月考化学成绩占17%，且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考化学成绩比第一次化学成绩要高，故C错误；对于D：第一次月考语文成绩占16%，第二次月考语文成绩占18%，且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考语文成绩比第一次语文成绩要高，故D正确.故选D.
2.A 根据雷达图可知，甲同学的物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中，物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分、1分，所以甲同学的物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确.根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述不正确.根据雷达图可知，甲同学的化学、地理成绩比物理成绩高，故C项叙述不正确.对甲同学而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果，故D项叙述不正确.故选A.
3.0.014 72.6 解析：由频率分布直方图中小矩形的总面积为1，即（0.006＋0.010＋t＋0.018＋0.020＋0.032）×10＝1，解得t＝0.014，10×（0.006×45＋0.010×95＋0.014×55＋0.018×65＋0.020×85＋0.032×75）＝72.6，故可估计全校学生的平均成绩为72.6.
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第一节 随机抽样与常用统计图表
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机
数法；了解分层随机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法，在简单的实
际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.
2. 能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，
体会合理使用统计图表的重要性.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 随机抽样
（1）总体、个体、样本、样本容量
统计含义
总体 把调查对象的 称为总体
个体 组成总体的每一个 称为个体
样本 在抽样调查中，从总体中抽取的那部分 称为样本
样本 容量 样本中包含的 称为样本容量
全体
调查对象
个体
个体数
①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个
抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取
时总体内的各个个体被抽到的 都相等，我们把这样的抽样方
法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体
内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方
法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样
统称为简单随机抽样；
②常用方法： 和 .
概率
抽签法
随机数法
（2）简单随机抽样
（3）分层随机抽样
①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个
体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，
再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称
为 ，每一个子总体称为 .在分层随机抽样中，如
果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为
；
②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往
往选用分层随机抽样.
分层随机抽样
层
比
例分配
2. 常用统计图表
（1）频率分布直方图
①纵轴表示 ，即小长方形的高＝ ；
②小长方形的面积＝组距× ＝频率；
③各小长方形的面积的总和等于1.
（2）作频率分布直方图的步骤
①求 ；②决定 与 ；③将 分组；④列频
率分布表；⑤画频率分布直方图.
（3）其他统计图
①扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
②条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率（离散型数据）；
③折线图：直观描述数据随时间的变化趋势；
④雷达图：直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系
（差异程度和趋势）；
⑤总体密度曲线：设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则
频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线
y＝f（x）来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线（连续型数据）.
极差
组距
组数
数据
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.
（ × ）
（2）抽签法和随机数法都是简单随机抽样. （ √ ）
（3）分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
（ × ）
（4）频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区
间的频率越大. （ √ ）
×
√
×
√
2. （人A必修二P224复习参考题1题改编）为了了解某地参加计算机水平
测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了100名学生的成绩进行调查分析，
在这个问题中，被抽取的100名学生成绩是（ ）
A. 总体 B. 个体
C. 样本 D. 样本量
解析： 由题意可得100名学生成绩是样本.
√
3. 甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数之和为（ ）
A. 150 B. 250
C. 300 D. 400
解析： ∵甲组人数为120，占总人数的百分比为30%，∴总人数为
120÷30%＝400.∵丙、丁两组人数之和占总人数的百分比为1－30%－
7.5%＝62.5%，∴丙、丁两组人数之和为400×62.5%＝250.
√
4. 一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层
随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按性
别比例分配，那么男运动员应抽取 名，女运动员应抽取 名.
解析：田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占
总体的比例为 ，于是应该在男运动员中随机抽取56× ＝16（名），在女
运动员中随机抽取28－16＝12（名）.
16
12
5. （人A必修二P198练习1题）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量
调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后（每组
为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中x的值为 ；
解析： 由（0.006 0＋x＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2）×50＝1，
解得x＝0.004 4.
0.004 4
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250）内的有 户.
解析： （0.003 6＋0.006 0＋0.004 4）×50×100＝70（户）.
70
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
简单随机抽样（基础自学过关）
1. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数
表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由
左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A. 08 B. 02
C. 63 D. 01
√
解析： 根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，
02，63（舍去），14，07，02（舍去，重复），43（舍去），69（舍
去），97（舍去），28（舍去），01.故选D.
2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28
粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 134石 B. 169石
C. 338石 D. 1 365石
解析： 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为 ×1 534≈169（石）.
√
3. 用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样
本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可
能性分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解析： 第一次被抽到，显然为 ；第二次被抽到，首先第一次不能被
抽到，第二次才被抽到，可能性为 × ＝ .
√
练后悟通
1. 简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐
个抽取；（3）等可能抽取.
2. 简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数
法（适用于总体中个体数较多的情况）.
分层抽样（师生共研过关）
（1）某校高一年级1 000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小
组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽
取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是
（ A ）
A
A. 11 B. 22
C. 110 D. 220
解析： 由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的
22%，所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是
50×22%＝11.
（2）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为
200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方
法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中
抽取 件.
解析： 因为样本量n＝60，总体容量N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为 ＝ ＝ .因此应从丙种型号的产品中抽取300× ＝18（件）.
18
解题技法
分层随机抽样问题的类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就
是按比例抽样，列比例式进行计算；
（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中抽样比＝
＝ .
1. 某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，
为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样
本，若样本中A型号的轿车比B型号的轿车少8辆，则n＝（ ）
A. 96 B. 72
C. 48 D. 36
解析： 设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x＋8）辆，则 ＝
，解得x＝16，即A型号车为16辆，则 ＝ ，解得n＝72.
√
2. 某校为了解学生学习数学的情况，采用分层随机抽样的方法从高一600
人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、
高三抽取的人数分别是（ ）
A. 15，16，19 B. 15，17，18
C. 14，17，19 D. 14，16，20
解析： 由题意可知，三个年级共有600＋680＋720＝2 000（人），则高
一抽取的人数为50× ＝15，高二抽取的人数为50× ＝17，高三抽
取的人数为50× ＝18，故选B.
√
统计图表（定向精析突破）
考向1 扇形图与条形图
已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了
了解该地区中小学生近视的形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学
生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A. 100，20
B. 200，20
C. 200，10
D. 100，10
√
解析： 由题图甲可知学生总数是10 000，样本量为10 000×2%＝200，
抽取的高中生为2 000×2%＝40（人），由题图乙可知高中生近视率为
50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.
解题技法
1. 通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
2. 由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量.
考向2 折线图
〔多选〕某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入－支出，根据该
折线图，下列说法正确的是（ ）
A. 该企业2024年1月至6月的总利润低于
2024年7月至12月的总利润
B. 该企业2024年1月至6月的平均收入低
于2024年7月至12月的平均收入
C. 该企业2024年8月至12月的支出持续增长
D. 该企业2024年11月份的月利润最大
√
√
√
解析： 因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统
计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，
故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收
入，故B正确；由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的，所以支出持
续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要
小，故D错误.
解题技法
折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因
此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.
考向3 频率分布直方图
（1）为研究某药品的疗效，选取若干
名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张
压（单位：kPa）的分组区间为[12，13），
[13，14），[14，15），[15，16），[16，
17].按从左到右的顺序分别编号为第一组，
第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.
已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中
有疗效的人数是（ B ）
B
A. 8 B. 12
C. 16 D. 18
解析： 由直方图可得第一组与第二组的频率之和为0.24＋0.16＝
0.4，第一组和第二组共有20人，所以样本容量为 ＝50，所以第三组的
人数为50×0.36＝18，第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有
12人.故选B.
（2）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学
指标有明显差异，经过大量调查，得到如图所示的患病者和未患病者该指
标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判
定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者
判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概
率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应
事件发生的概率.则当漏诊率p（c）＝0.5%时，误诊率q（c）
＝ .
解析： 依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002＞
0.5%，所以95＜c＜100，所以（c－95）×0.002＝0.5%，解得c＝
97.5，由右边的频率分布直方图可得q（c）＝0.01×（100－97.5）＋
5×0.002＝0.035＝3.5%.
3.5%
解题技法
频率分布直方图的相关结论
（1）频率分布直方图中纵轴表示 ，故每组样本的频率为组距
× ，即矩形的面积；
（2）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；
（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
1. 如图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学
第一次月考总分低于第二次月考总分，则（ ）
A. 该同学数学学科成绩一定下降
B. 该同学政治学科成绩一定下降
C. 该同学化学学科成绩可能下降
D. 该同学语文学科成绩一定提升
√
解析： 对于A：第一次月考数学成绩占16%，第二次月考数学成绩占
17%，且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考数学成绩
比第一次数学成绩要高，故A错误；对于B：第一次月考政治成绩占17%，
第二次月考政治成绩占16%，由于只知道第一次月考总分低于第二次月考
总分，故无法判断这两次月考政治学科成绩的变化，故B错误；对于C：第
一次月考化学成绩占16%，第二次月考化学成绩占17%，且第一次月考总
分低于第二次月考总分，所以第二次月考化学成绩比第一次化学成绩要
高，故C错误；对于D：第一次月考语文成绩占16%，第二次月考语文成绩
占18%，且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考语文成
绩比第一次语文成绩要高，故D正确.故选D.
2. 某省从2021年开始试行“3＋1＋2”的普通高考新模式，即除语文、数
学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、
地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一
每个学生的六门科目的成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学
的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是（ ）
A. 甲同学的物理成绩相对他的其余科目成绩领先年级平均分最多
B. 甲同学有3门科目的成绩低于年级平均分
C. 甲同学的成绩从高到低排序的前3门科目依次是物理、化学、地理
D. 对甲同学而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果
√
解析： 根据雷达图可知，甲同学的物理、化学、地理成绩领先年级平
均分，其中，物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1
分、1分，所以甲同学的物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确.
根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述
不正确.根据雷达图可知，甲同学的化学、地理成绩比物理成绩高，故C项
叙述不正确.对甲同学而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结
果，故D项叙述不正确.故选A.
3. 某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，
记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，
60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图
所示频率分布直方图，则图中t的值为 ，若全校学生参加同样的
测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）.
0.014
72.6
解析：由频率分布直方图中小矩形的总面积为1，即（0.006＋0.010＋t＋0.018＋0.020＋0.032）×10＝1，解得t＝0.014，10×（0.006×45＋0.010×95＋0.014×55＋0.018×65＋0.020×85＋0.032×75）＝72.6，故可估计全校学生的平均成绩为72.6.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. “神舟十六号”的成功发射，再次激起国人对载人航天工程的兴趣.某
中学为此举行了“航天知识知多少”的主题抢答比赛.若将报名的30位同
学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了36个随机数如下，则选出来
的第7个个体的编号为（ ）
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
46 52 73 64
A. 12 B. 20
C. 29 D. 23
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
解析： 有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7
个个体的编号为29.故选C.
2. （2024·驻马店二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的
热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480
人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随
机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A. 6人 B. 9人
C. 12人 D. 18人
解析： 设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知
＝ ， ＝ ，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人.故选B.
√
3. 某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2024年1月至2024年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月份
D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳
√
解析： 由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9，10，11，共3
个月，比6月份低的有1，2，3，4，5，7，8，共7个月，故6月份对应里程
数不是中位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7
月到8月，10月到11月都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；月跑
步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C
不正确；从折线图来看，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，
波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.
4. 如图是我国2019—2024年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的
是（ ）
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长
趋势
B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 2021年销量高于这六年销量的平均值
D. 这六年增长率最大的为2020年至2021年
√
解析： 对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正
确；对于B，因为0.6×6＝3.6，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以
销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确；对于C，这六年销
量的平均数为 ＝410.35＞291.6，故C错
误；对于D，因为2020年至2021年的增长率为 ≈1.6，超过其他年
份的增长率，故D正确.故选C.
5. 〔多选〕某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是（ ）
A. 各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
√
√
√
解析： 由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0
℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差大于5 ℃，而一月的平均温差
小于5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三
月和十一月的平均最高气温都大约在10 ℃，基本相同，C正确；由图可知
平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D不正确.故选A、B、C.
6. 〔多选〕某学校为了调查学生在生活方面一周的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本中支出在[50，60]元的频率为0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2 000名学生，则一定有600人的支出在[50，60]元
√
√
解析： 在A中，样本中支出在[50，60]元的频率为1－（0.010＋
0.024＋0.036）×10＝0.3，故A错误；在C中，n＝ ＝200，故C正确；
在B中，样本中支出不少于40元的人数为200×（0.030＋0.036）×10＝
132，故B正确；在D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人的支出在
[50，60]元，故D错误.
7. 在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形面
积等于其他8个小长方形的面积和的 ，且样本容量为140，则中间一组的
频数为 .
解析：设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积和为
x，根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，得x＋ x＝1，则x＝
，即中间一组的频率为 ，所以中间一组的频数为140× ＝40.
40
8. 某汽车研究院现有300名研究员，他们的学历情况如图所示，该研究院
今年计划招聘一批新研究员，并决定不再招聘本科生，且使得招聘后本科
生的比例下降到15%，硕士生的比例不变，则该研究院今年计划招聘的硕
士生人数为 .
40
解析：根据题意，设今年计划招聘的硕士生为x人，博士生为y人，又由现
有研究员300人，其中本科生有300×20%＝60（人），硕士生有300×40%
＝120（人），则有 解得
9. 从某学校一年级随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数
据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[110，120），[120，
130），[130，140）三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取17人参
加一项活动，则从身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为 .
6
解析：由题中频率分布直方图知，身高在[100，110），[110，120），
[120，130），[130，140），[140，150]内的频率依次为0.05，0.35，
10a，0.2，0.1，10a＝1－0.05－0.35－0.2－0.1＝0.3，因此，身高在
[120，130）内的频率为0.3，则身高在[110，120），[120，130），
[130，140）内的人数比为0.35∶0.3∶0.2＝7∶6∶4，所以利用分层随机
抽样抽取的17人中，在[120，130）内的人数为 ×17＝6.
10. 某地区公共部门为调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号
为1～1 000的1 000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：您
的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机
装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个）中摸出一个小
球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答
“是”，则下述正确的是（ ）
A. 估计被调查者中约有520人吸烟
B. 估计约有10人对问题2的回答为“是”
C. 估计该地区约有4%的中学生吸烟
D. 估计该地区约有2%的中学生吸烟
√
解析： 随机抽出的1 000名学生中，回答第一个问题的概率是 ， 其编
号是奇数的概率也是 ， 所以回答问题1且回答是的人数大约为1 000×
× ＝250，所以回答第二个问题，且为是的人数大约为270－250＝20， 由
此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为 ×100%＝4%，估计被调查者
中约有1 000×4%＝40（人）吸烟，故表述正确的是C.
11. 空气质量的指标AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，
表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为优，AQI指数大于50
且不超过100，空气质量为良，AQI指数大于100，空气质量为污染，如图
是某市2024年空气质量指标AQI的月折线图.下列关于该市2024年空气质量
的叙述中不一定正确的是（ ）
A. 全年的平均AQI指数对应的空气
质量等级为优或良
B. 每月都至少有一天空气质量为优
C. 空气质量为污染的天数最多的月份是2月份
D. 2月，8月，9月和12月均出现污染天气
√
解析： 对于A，由折线图知平均AQI指数值不超过100，所以A正确；对
于B，通过折线图知最小AQI指数均在50以下，说明每月至少有一天空气质
量为优，所以B正确；对于C，根据折线图2月份出现最大值，并不表示空
气质量为污染的天数最多的月份是2月份，所以C错误；对于D，2月，8
月，9月和12月的最大值AQI指数有大于100，空气质量为污染，所以D正
确.故选C.
12. 〔多选〕某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并
对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图.
用该样本估计总体，以下四个说法正确的是（ ）
A. 44～56周岁人群理财人数最多
B. 18～30周岁人群理财总费用最少
C. B理财产品更受理财人青睐
D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
√
√
√
解析： 对于A，44～56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多
的，故正确；对于B，设总人数为a，则18～30周岁人群的理财总费用约为
0.28a×3 500＝980a，31～43周岁人群的理财总费用约为0.3a×4 500＝
1 350a，44～56周岁人群的理财总费用约为0.37a×5 500＝2 035a，57周
岁及以上人群的理财总费用约为0.05a×6 200＝310a，所以57周岁及以上
人群的理财总费用最少，故错误；对于C，由条形图可知B理财产品更受
理财人青睐，故正确；对于D，由折线图知年龄越大的年龄段的人均理财
费用越高，故正确，故选A、C、D.
13. 为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样
的方法抽取若干名教授组成研究小组.已知高校A有m名教授，高校B有72
名教授，高校C有n名教授（0＜m≤72≤n）.
（1）若从A，B两所高校中共抽取3名教授，从B，C两所高校中共抽取5
名教授，则m＝ ，n＝ ；
解析： 因为0＜m≤72≤n，从A，B两所高校中共抽取3名教授，从
B，C两所高校中共抽取5名教授，所以从高校B中抽取2名教授，从高校A
中抽取1名教授，从高校C中抽取3名教授，所以 ＝ ＝ ，解得m＝
36，n＝108.
36
108
（2）若从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授总人数的
，则三所高校的教授总人数为 .
解析： 因为从高校B中抽取的教授人数是从高校A和C中抽取的教授
总人数的 ，所以 （m＋n）＝72，解得m＋n＝108，所以三所高校的教
授总人数为m＋n＋72＝180.
180
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