第六章 《平行四边形》 1 平行四边形的性质（1）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·来宾期中）如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴周长为：；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得BC，再根据平行四边形周长即可求出答案.
2．（2025八下·浙江期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边CD于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边CD于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若=6，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
解： 如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=DF+EF=4，
由折叠可知， ∠BAE=∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD =DE=4，
如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形， AB =6，
∴CD =AB=6， AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=EF=CF=2，
由折叠可知， ∠BAE =∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
由折叠可知，
综上可知，AD的长为2或4或12，
故答案为：D.
【分析】分三种情况画出图形，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到得到然后根据等角对等边得到解答即可.
3．（2024八下·漳平期中）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵是的平分线，
∴，
，
∴，
．
故选∶A．
【分析】
由角平分线的概念知，等于；由平行四边形的对边平行知，等于；等量代换得等于；则等角对等边得，等于；则等于与的差．
4．（2022八下·承德期末）已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．
又∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=∠C=120°，
∠B=180°－∠A=60°．
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质，由对角相等求出∠A的度数，继而由平行四边形的对边平行，∠A和∠B互补，求出∠B的度数即可。
5．（2024八下·长沙期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的数量关系得到：AE＝BE，AF＝DF，设AE＝x，则AF＝3﹣x，然后利用勾股定理计算即可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·惠阳期中）如图，中，的平分线交于，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2023八下·顺德期末）在中，，则 ．
【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用平行四边形的对角相等，可得到∠C的度数.
8．（2020八下·无锡期中）平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A= .
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C.
∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，∠A=∠C，∠C+∠D=180°，结合∠C=∠B+∠D即可求出结论.
9．（2024八下·赫山期中）平行四边形的周长为，的周长为，则对角线的长为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可知：，
∵=，
∴，
∵=，即，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据为得到，由为即可得到对角线.
10．（2024八下·临湘期末）如图所示，平行四边形中，，平分，，，则 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CED=∠ECB，
∵平分，
∴∠ECB=∠ECD，
∴∠ECD=∠CED，
∴DE=CD=AB=10，
∵AD=BC=16，
∴AE=16-10=6，
∵，
∴∠AEB=90°，
∴在直角三角形ABE中：BE=.
故答案为：8
【分析】首先得出∠ECD=∠CED，即可得出DE=CD=AB=10，进而得出AE=6，再根据勾股定理即可得出BE的长度。
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·沈阳月考）已知：如图，在 ABCD中，的平分线交CD于点F，的平分线交AB于点E．
（1）求证：．
（2）若，求线段BD的长．
【答案】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形
平分，BF平分
（2）解：
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
∵∠ADE=∠EDC，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，，
是等边三角形，
，
，
，
过D点作于点G，连接BD，
在中，，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，用ASA证明，根据全等三角形的性质即可证明BF=DE；
（2）证明是等边三角形，得到，过D点作于点G，在中，得到
，根据勾股定理求出，进而即可求出BD的长.
12．（2024八下·义乌期中） 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）连结，若，，的周长为16，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，∠F=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AF=CE，
∴CE-BC=AF-AD，
∴BE=DF；
（2）解：如图，连接CF，
∵EF⊥AC，AO=CO，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵，，
∴2+DC+AF=16，
∴2+DC+AD+DF=2+DC+AD+2=4+DC+AD=16，
∴DC+AD=12，
∴的周长为2（DC+AD）=2×12=24.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AO=CO，AD=BC，AD∥BC，从而得∠OAF=∠OCE，∠F=∠E，进而证出，得AF=CE，即可得证BE=DF；
（2）连接CF，先证出EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质得AF=CF，再根据得DC+AD=12，即可求解.
13． 如图， 在 中， ， 将 沿对角线 翻折， 点 落在点 处， 交 于点 ．
（1） 求 的度数．
（2）若 ， 求 的周长．
【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，，
，
，，
，
，
，
（2）解：在△DFC和△EFA中，
∵，，，
∴，
，
，
由（1）得：，
，
∴，
即 的周长 为20.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求∠BCD的度数，根据折叠的性质求∠ECD和∠BCA的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据AAS证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质，求解即可。
14．如图， 在 中， ， 连结 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又
（2）解：
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD和BC互相平行且相等，再根据平行线的性质得出内错角相等，再结合对顶角相等，可用ASA或AAS证明△ADE和△FCE全等。
（2）根据（1）中结论，结合AB＝2BC可推导出AB＝BF，得∠F＝∠BAF，再结合三角形内角和定理计算出∠B。
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，点是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得AE=CD，最后利用等量代换可得AB=AE；
（2）先证出，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可.
（1）证明：∵，点是中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
1 / 1第六章 《平行四边形》 1 平行四边形的性质（1）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·来宾期中）如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·浙江期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边CD于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边CD于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若=6，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
3．（2024八下·漳平期中）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
4．（2022八下·承德期末）已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·长沙期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·惠阳期中）如图，中，的平分线交于，则 ．
7．（2023八下·顺德期末）在中，，则 ．
8．（2020八下·无锡期中）平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A= .
9．（2024八下·赫山期中）平行四边形的周长为，的周长为，则对角线的长为 ．
10．（2024八下·临湘期末）如图所示，平行四边形中，，平分，，，则 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·沈阳月考）已知：如图，在 ABCD中，的平分线交CD于点F，的平分线交AB于点E．
（1）求证：．
（2）若，求线段BD的长．
12．（2024八下·义乌期中） 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）连结，若，，的周长为16，求的周长．
13． 如图， 在 中， ， 将 沿对角线 翻折， 点 落在点 处， 交 于点 ．
（1） 求 的度数．
（2）若 ， 求 的周长．
14．如图， 在 中， ， 连结 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 求 的度数．
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴周长为：；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得BC，再根据平行四边形周长即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
解： 如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=DF+EF=4，
由折叠可知， ∠BAE=∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD =DE=4，
如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形， AB =6，
∴CD =AB=6， AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=EF=CF=2，
由折叠可知， ∠BAE =∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
由折叠可知，
综上可知，AD的长为2或4或12，
故答案为：D.
【分析】分三种情况画出图形，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到得到然后根据等角对等边得到解答即可.
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵是的平分线，
∴，
，
∴，
．
故选∶A．
【分析】
由角平分线的概念知，等于；由平行四边形的对边平行知，等于；等量代换得等于；则等角对等边得，等于；则等于与的差．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．
又∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=∠C=120°，
∠B=180°－∠A=60°．
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质，由对角相等求出∠A的度数，继而由平行四边形的对边平行，∠A和∠B互补，求出∠B的度数即可。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故答案为：D．
【分析】根据角之间的数量关系得到：AE＝BE，AF＝DF，设AE＝x，则AF＝3﹣x，然后利用勾股定理计算即可求解.
6．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用平行四边形的对角相等，可得到∠C的度数.
8．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C.
∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，∠A=∠C，∠C+∠D=180°，结合∠C=∠B+∠D即可求出结论.
9．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可知：，
∵=，
∴，
∵=，即，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据为得到，由为即可得到对角线.
10．【答案】8
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CED=∠ECB，
∵平分，
∴∠ECB=∠ECD，
∴∠ECD=∠CED，
∴DE=CD=AB=10，
∵AD=BC=16，
∴AE=16-10=6，
∵，
∴∠AEB=90°，
∴在直角三角形ABE中：BE=.
故答案为：8
【分析】首先得出∠ECD=∠CED，即可得出DE=CD=AB=10，进而得出AE=6，再根据勾股定理即可得出BE的长度。
11．【答案】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形
平分，BF平分
（2）解：
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
∵∠ADE=∠EDC，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，，
是等边三角形，
，
，
，
过D点作于点G，连接BD，
在中，，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，用ASA证明，根据全等三角形的性质即可证明BF=DE；
（2）证明是等边三角形，得到，过D点作于点G，在中，得到
，根据勾股定理求出，进而即可求出BD的长.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，∠F=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AF=CE，
∴CE-BC=AF-AD，
∴BE=DF；
（2）解：如图，连接CF，
∵EF⊥AC，AO=CO，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵，，
∴2+DC+AF=16，
∴2+DC+AD+DF=2+DC+AD+2=4+DC+AD=16，
∴DC+AD=12，
∴的周长为2（DC+AD）=2×12=24.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AO=CO，AD=BC，AD∥BC，从而得∠OAF=∠OCE，∠F=∠E，进而证出，得AF=CE，即可得证BE=DF；
（2）连接CF，先证出EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质得AF=CF，再根据得DC+AD=12，即可求解.
13．【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，，
，
，，
，
，
，
（2）解：在△DFC和△EFA中，
∵，，，
∴，
，
，
由（1）得：，
，
∴，
即 的周长 为20.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求∠BCD的度数，根据折叠的性质求∠ECD和∠BCA的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据AAS证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质，求解即可。
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又
（2）解：
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD和BC互相平行且相等，再根据平行线的性质得出内错角相等，再结合对顶角相等，可用ASA或AAS证明△ADE和△FCE全等。
（2）根据（1）中结论，结合AB＝2BC可推导出AB＝BF，得∠F＝∠BAF，再结合三角形内角和定理计算出∠B。
15．【答案】（1）证明：∵，点是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得AE=CD，最后利用等量代换可得AB=AE；
（2）先证出，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可.
（1）证明：∵，点是中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
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