第六章 《平行四边形》 1 平行四边形的性质（2）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·惠阳期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝9，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长为（ ）
A．31 B．15.5 C．20 D．15
2．（2025八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，下列结论错误的是
A． B． C． D．
3．（2024八下·越秀期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·赫山期中）如图，的对角线，交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．
C． D．
5．（2024八下·荆州期末）如图，平行四边形的周长为，，、相交于点，交于点，则的周长为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度．
7．（2024八下·海珠期末）如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交于点，若，，，则四边形的周长是 ．
8．（2024八下·内江期中）已知的对角线、交于点O，、，的周长为20，则的周长为 ．
9．（2024八下·临湘期中）如图，在平行四边形中，，，，则的长为 。
10．（2024八下·新城期中）公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则OC的长为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·苍南期中）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连结，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的周长.
12． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
13．（2024八下·临平月考）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交、于点E、F.
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长.
14．（2024八下·天元月考）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
15．如图，在□ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，分别过点 A，C 作BD 的垂线，垂足分别为 E，F.
（1）求证：AE=CF.
（2）若 AC平分∠DAE，求证：CA平分∠BCF.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=9，BD=14，AC=8，
∴AD=9，OA=4，OD=7，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质进行边之间的转换即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，故A，B，C正确；
不一定等于，故D错误；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：四边形是平行四边形，
A、，，对边相等，A正确，不符合题意，
B、，对边平行，B正确，不符合题意，
C、，对角相等，C正确，不符合题意，
D、，D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质逐一进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm，
∴OB=OD，AB+AD=10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm.
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形且周长为20cm，可求得OB=OD，AB+AD=10cm，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE=DE，继而可得△ABE的周长=AB+AD。
6．【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
7．【答案】26
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，由等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
8．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点O对角线、交于点O，
，，，，
，
又的周长，
的周长的周长，
故答案为：18．
【分析】由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分、对边相等”可得，，，，由线段的和差可得，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、用勾股定理解三角形，先根据已知条件得到的各个边长，满足勾股定理，即为直角三角形，即可得到，即可得到结果，得到为直角三角形是解题的关键．
10．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ BC=AD=12cm，
∵ AB=15cm，AC⊥BC，
∴ AC=9cm，
∴ OC==.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形的性质可得 OC=，即可求得.
11．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，.
点，分别为，的中点，
，
，
（SAS）
（2）解：，点为中点，
.
，
.
，
.
.
.
平行四边形的周长
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质及中点定义可证得与q全等，即可得证；
（2）根据题意及勾股定理可得AO的长度，再根据勾股定理可得BC的长度，即可得平行四边形的周长.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
（2）解：由（1）知OE=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得CF=.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，结合OB＝OE可得出OD＝OB＝OE，根据等边对等角及三角形内角和推导出∠BED＝90°；
（2）先证明△OFD是直角三角形，∠OFD＝90°，用勾股定理计算出CD的长，再用面积法计算出EF，再用勾股定理计算出CF。
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴CF=AE，OE=OF，
∵AB=7，BC=5，OE=2，
∴EF=2OE=4，BE+CF=BE+AE=AB=7，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=4+7+5=16．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，从而用ASA证得△AOE≌△COF，即可得OE=OF；
（2）由（1）可知△AOE≌△COF，可得EF=2OE=4，BE+CF=AB=7，继而求得答案．
14．【答案】（1）解：∵AO∶BO＝2∶3，
∴设AO＝2x，BO＝3x(x＞0)．
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.
解得x＝2.
∴AO＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝8.
（2）解：∵S△ABC＝AB·AC
＝×2×8
＝8，
∴S ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且 OA：OB=2：3，设AO=2x，OB=3x，又由AB=2，即可求得OA的长，继而求得答案；
（2）由平行四边形的面积等于△ABC面积的二倍可得结果．
15．【答案】（1）证明：在□ABCD中 ，OA=OC，
∵AE⊥DB，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF；
（2）证明：由（1）知△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
在□ABCD中 ，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCO，
∵ AC平分∠DAE ，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠BCA=∠ACF，
∴ CA平分∠BCF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）可用AAS证明△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等可得AE=CF；
（2）由全等三角形的对应角相等可得∠OAE=∠OCF，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BCA=∠ACF，继而得解.
1 / 1第六章 《平行四边形》 1 平行四边形的性质（2）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·惠阳期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝9，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长为（ ）
A．31 B．15.5 C．20 D．15
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=9，BD=14，AC=8，
∴AD=9，OA=4，OD=7，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质进行边之间的转换即可求出答案.
2．（2025八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，下列结论错误的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，故A，B，C正确；
不一定等于，故D错误；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质即可求出答案.
3．（2024八下·越秀期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质即可求出答案.
4．（2024八下·赫山期中）如图，的对角线，交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：四边形是平行四边形，
A、，，对边相等，A正确，不符合题意，
B、，对边平行，B正确，不符合题意，
C、，对角相等，C正确，不符合题意，
D、，D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质逐一进行判断即可.
5．（2024八下·荆州期末）如图，平行四边形的周长为，，、相交于点，交于点，则的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm，
∴OB=OD，AB+AD=10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm.
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形且周长为20cm，可求得OB=OD，AB+AD=10cm，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE=DE，继而可得△ABE的周长=AB+AD。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度．
【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
7．（2024八下·海珠期末）如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交于点，若，，，则四边形的周长是 ．
【答案】26
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，由等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
8．（2024八下·内江期中）已知的对角线、交于点O，、，的周长为20，则的周长为 ．
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点O对角线、交于点O，
，，，，
，
又的周长，
的周长的周长，
故答案为：18．
【分析】由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分、对边相等”可得，，，，由线段的和差可得，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
9．（2024八下·临湘期中）如图，在平行四边形中，，，，则的长为 。
【答案】5
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：5．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、用勾股定理解三角形，先根据已知条件得到的各个边长，满足勾股定理，即为直角三角形，即可得到，即可得到结果，得到为直角三角形是解题的关键．
10．（2024八下·新城期中）公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则OC的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ BC=AD=12cm，
∵ AB=15cm，AC⊥BC，
∴ AC=9cm，
∴ OC==.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形的性质可得 OC=，即可求得.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·苍南期中）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连结，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的周长.
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，.
点，分别为，的中点，
，
，
（SAS）
（2）解：，点为中点，
.
，
.
，
.
.
.
平行四边形的周长
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质及中点定义可证得与q全等，即可得证；
（2）根据题意及勾股定理可得AO的长度，再根据勾股定理可得BC的长度，即可得平行四边形的周长.
12． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
（2）解：由（1）知OE=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得CF=.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，结合OB＝OE可得出OD＝OB＝OE，根据等边对等角及三角形内角和推导出∠BED＝90°；
（2）先证明△OFD是直角三角形，∠OFD＝90°，用勾股定理计算出CD的长，再用面积法计算出EF，再用勾股定理计算出CF。
13．（2024八下·临平月考）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交、于点E、F.
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴CF=AE，OE=OF，
∵AB=7，BC=5，OE=2，
∴EF=2OE=4，BE+CF=BE+AE=AB=7，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=4+7+5=16．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，从而用ASA证得△AOE≌△COF，即可得OE=OF；
（2）由（1）可知△AOE≌△COF，可得EF=2OE=4，BE+CF=AB=7，继而求得答案．
14．（2024八下·天元月考）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵AO∶BO＝2∶3，
∴设AO＝2x，BO＝3x(x＞0)．
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.
解得x＝2.
∴AO＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝8.
（2）解：∵S△ABC＝AB·AC
＝×2×8
＝8，
∴S ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且 OA：OB=2：3，设AO=2x，OB=3x，又由AB=2，即可求得OA的长，继而求得答案；
（2）由平行四边形的面积等于△ABC面积的二倍可得结果．
15．如图，在□ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，分别过点 A，C 作BD 的垂线，垂足分别为 E，F.
（1）求证：AE=CF.
（2）若 AC平分∠DAE，求证：CA平分∠BCF.
【答案】（1）证明：在□ABCD中 ，OA=OC，
∵AE⊥DB，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF；
（2）证明：由（1）知△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
在□ABCD中 ，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCO，
∵ AC平分∠DAE ，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠BCA=∠ACF，
∴ CA平分∠BCF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）可用AAS证明△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等可得AE=CF；
（2）由全等三角形的对应角相等可得∠OAE=∠OCF，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BCA=∠ACF，继而得解.
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