第十章 第二节 二项式定理(课件 学案 练习,共3份)2026届高中数学(通用版)一轮复习

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名称 第十章 第二节 二项式定理(课件 学案 练习,共3份)2026届高中数学(通用版)一轮复习
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文件大小 4.8MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-05-14 07:57:48

文档简介

第二节 二项式定理
1.(2025·安徽六校第二次素养测试)(1-ax)6的展开式中x3的系数为160,则a=(  )
A.2    B.-2    C.4    D.-4
2.(2024·武汉四调)(2x-3)(x-1)5的展开式中x3的系数为(  )
A.-50 B.-10
C.10 D.50
3.(+)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常数项是(  )
A.180 B.90
C.45 D.360
4.(1+ax+by)n(a,b为常数,a,b,n∈N*,n≥2)的展开式中不含x的项的系数和为243,则n的值为(  )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.(2024·武汉五调)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10,则a2=(  )
A.180 B.-180
C.-90 D.90
6.〔多选〕(2025·江西重点中学盟校第一次联考)在(2x-)5的展开式中(  )
A.二项式系数之和为32 B.第3项的系数最大
C.所有项系数之和为-1 D.不含常数项
7.设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a3=2a2,则n=    .
8.(2025·鹰潭一模)的展开式中的系数为    .
9.已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=    .
10.(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(  )
A.120 B.-120
C.60 D.30
11.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值可以为(  )
A.1或-3 B.-1
C.-1或3 D.-3
12.(2025·常德模拟)已知(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8+a9(x-1)9,则a0+2a1+3a2+…+9a8+10a9=(  )
A.9 B.10
C.18 D.19
13.〔多选〕若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,则下列结论正确的是(  )
A.n=6
B.a1=21
C.(1+2x)n展开式中二项式系数和为729
D.a1+2a2+3a3+…+nan=321
14.设a∈Z,且0≤a≤13,若512 025+a能被13整除,则a=    .
15.(新定义)将杨辉三角中的每一个数都换成,得到如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质,如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和,如果n≥2(n为正整数),那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是    .
第0行
第1行   
第2行     
第3行       
… …
第n行   … 
①当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值;
②第8行第2个数是;
③=(r∈N,0≤r≤n).
第二节 二项式定理
1.B 二项式(1-ax)6展开式的通项为Tr+1=(-ax)r(其中0≤r≤6且r∈N),令r=3可得T4=(-ax)3=(-a)3·x3,所以(-a)3=160,解得a=-2.故选B.
2.A (x-1)5展开式的通项为Tr+1=x5-r·(-1)r,则T3=10x3,T4=-10x2,故(2x-3)(x-1)5展开式中x3的系数为2×(-10)+(-3)×10=-50.故选A.
3.A 由二项展开式系数的性质,得+1=6,即n=10,∴Tr+1=·()10-r·()r=2r·,令5-=0,得r=2,从而展开式的常数项是T3=4=180.
4.C 展开式中不含x的项是(1+by)n,展开式中各项系数和为(1+b)n=243=35,因为b∈N*,所以n=5,故选C.
5.A 因(1+2x)10=[2(1+x)-1]10,其二项展开式的通项为Tr+1=[2(1+x)]10-r(-1)r=(-1)r210-r(1+x)10-r,r=0,1,…,10,而a2是(1+x)2的系数,故只需取r=8,得T9=22(1+x)2=180(1+x)2,即a2=180.
6.ABD 由于二项式系数之和为++…+=25=32,故A正确;展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-)k=(-1)k··25-k·x5-2k,k=0,1,2,…,5,易知T2,T4,T6的系数均小于0,且T1=32x5,T3=80x,T5=10x-3,故第3项的系数最大,为80,故B正确;令x=1得所有项系数之和为15=1,故C错误,当5-2k=0,则k=,但k= {0,1,2,3,4,5},故展开式中不含常数项,D正确.故选A、B、D.
7.5 解析:二项式(1+2x)n的展开式的通项为Tr+1=1n-r(2x)r=2rxr,所以a2=22,a3=23,又a3=2a2,所以23=2×22,所以n=5.
8.-12 解析:的展开式通项为==26-r·(-1)rx4-ryr-4(0≤r≤6,r∈N),由题意令r-4=1,解得r=5,所以的展开式中的系数为26-5(-1)5=-6×2=-12.
9.243 解析:令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①.令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②.①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121.①-②,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0|+|a1|+…+|a5|=122+121=243.
10.A 由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第k+1项为(x+y)5-k·(-2z)k,令k=2,可得第3项为(-2)2(x+y)3z2,(x+y)3的展开式的第m+1项为x3-mym,令m=2,可得第3项为xy2,所以(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(-2)2=120.
11.A 在(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9中,令x=-2,可得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=m9,即(a0+a2+…+a8)-(a1+a3+…+a9)=m9;令x=0,可得a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9=(2+m)9.∵(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,∴(a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9)·[(a0+a2+…+a8)-(a1+a3+…+a9)]=39,∴(2+m)9·m9=(2m+m2)9=39,整理得2m+m2=3,解得m=1或m=-3,故选A.
12.D 由(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8+a9(x-1)9得,(x-1)·(2x-3)9=a0(x-1)+a1(x-1)2+a2(x-1)3+…+a8(x-1)9+a9(x-1)10,分别对两边进行求导得(2x-3)9+18(x-1)(2x-3)8=a0+2a1(x-1)+3a2(x-1)2+…+9a8(x-1)8+10a9(x-1)9,令x=2,得(2×2-3)9+18(2-1)·(2×2-3)8=a0+2a1+3a2+…+9a8+10a9,得a0+2a1+3a2+…+9a8+10a9=19,故选D.
13.ABD 对于A,因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令x=1,得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an==2n+1-2,令x=0,得n=a0,因为(1+x)n中xn项为xn=xn,所以an=1,所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1=125-n,解得n=6,故A正确;对于B,a1=1+++++=21,故B正确;对于C,(1+2x)6展开式中二项式系数和为26=64,故C错误;对于D,令f(x)=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,f'(x)=1+2(x+1)+…+6(x+1)5=a1+2a2x+…+6a6x5,令x=1得f'(1)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=321,故D正确.
14.1 解析:因为a∈Z,且0≤a≤13,所以512 025+a=(52-1)2 025+a=·522 025-·522 024+·522 023-…+·52-+a,因为512 025+a能被13整除,所以-+a=-1+a能被13整除,又0≤a≤13,所以a=1.
15.②③ 解析:对于①,根据杨辉三角的特点,当n为偶数时,中间的一项取得最大值;当n为奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,所以当每一项取倒数时,再乘一个正数,可得当n是偶数时,中间的一项取得最小值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最小值,所以①错误;对于②,第7行第1个数为,第8行第1个数为,所以第8行第2个数为-=,所以②正确;对于③,根据组合数的性质可知,=,即=(r∈N,0≤r≤n),所以③正确.综上,正确的序号是②③.
2 / 2第二节 二项式定理
课标要求
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=     (n∈N*)
二项展开式的通项 Tk+1=     ,它表示展开式的第    项
二项式系数     (k=0,1,…,n)
提醒 (1)项数为n+1;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
1.若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则:
(1)h(r)=0 Tr+1是常数项;
(2)h(r)是非负整数 Tr+1是整式项;
(3)h(r)是负整数 Tr+1是分式项;
(4)h(r)是整数 Tr+1是有理项.
2.若a0,a1,…,an是公比为q的等比数列,则a0+a1+…+an=a0(1+q)n(n∈N*).
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)bk是二项展开式的第k项.(  )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(  )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(  )
2.(人A选三P31练习4题改编)(-)10的展开式中x2的系数等于(  )
A.45 B.20
C.-30 D.-90
3.(人A选三P38复习参考题3(5)题改编)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(  )
A.40 B.41
C.-40 D.-41
4.若(x+)n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项为    .
5.的值为    .
二项式中的特定项及系数问题
(基础自学过关)
1.(2025·沈阳质量监测)已知二项式(2x2-)7的展开式中x2的系数是280,则实数a的值等于(  )
A.1 B.2
C.±1 D.±2
2.(+)30的展开式中无理项的项数为(  )
A.27 B.24
C.26 D.25
3.二项式(x+)n(n∈N*)的展开式中只有一项的系数为有理数,则下列选项中满足题意的n的取值为(  )
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(2024·湖南长郡中学模拟)已知(x+)6的展开式中常数项为20,则实数m的值为    .
练后悟通
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和
(定向精析突破)
考向1 二项展开式中的系数和问题
在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)系数绝对值之和.
解题技法
赋值法的应用
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可;
(2)对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可;
(3)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
考向2 二项式系数的最值问题
在(x-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为(  )
A.-126 B.-70
C.-56 D.-28
听课记录                                                                                        解题技法
1.求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数,那么中间一项(第+1项)的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,那么中间两项(第项与第+1项)的二项式系数相等且最大.
2.求展开式系数最大项
求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用解出k.
1.〔多选〕在(-x)6的展开式中,下列说法正确的是(  )
A.常数项为160
B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大
D.所有项的系数和为64
2.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=    .
多项式展开式中特定项(系数)问题
(定向精析突破)
考向1 几个多项式和展开式中特定项(系数)问题
在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是(  )
A.25   B.30   C.35   D.40
听课记录                                                                                        解题技法
  对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项,从每一个二项式中分别得到特定的项,再求和即可.也可以先对二项式求和,化简后再依据通项公式确定特定项(系数).
考向2 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题
(1)(2024·蚌埠第三次质量检测)(1-x+x2)2·(1+x)3的展开式中,x4的系数为(  )
A.1 B.2 C.4 D.5
(2)(2025·南京六校联考)已知(-2y)·(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为    .
听课记录                                                                                        解题技法
  对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
考向3 三项式展开式中特定项(系数)问题
(2025·德州一模)(1+x-)8展开式中x2y-2的系数为(  )
A.-840 B.-420 C.420 D.840
听课记录                                                                                        解题技法
(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法
1.(2+)(x-2y)6的展开式中x4y2的系数为   .(用数字作答)
2.(x-3y+2)5的展开式中,常数项为    ,所有不含字母x的项的系数之和为    .
3.已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=    ;a2+a3+a4=    .
第二节 二项式定理
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn an-kbk k+1 
2.= k< k> 2n
2n-1
对点自测诊断
1.(1)× (2)× (3)√
2.A 3.B 4.20 5.1
【考点·分类突破】
考点1
1.C 由二项式(2x2-)7展开式的通项为Tr+1=(2x2)7-r(-)r=27-r·(-a)r·x14-3r,令14-3r=2,解得r=4,所以23·(-a)4·=280,解得a=±1.故选C.
2.D (+)30展开式的通项为Tr+1=·()30-r·()r=·,r=0,1,2,…,30,若x的指数15-r为整数,则r是6的倍数,所以当r=0,6,12,18,24,30时为有理项,共6项,故无理项的项数为31-6=25,故选D.
3.B =···,因为系数是有理数,所以n-r是2的倍数,r是3的倍数,又展开式中只有一项的系数为有理数,所以n=7,r=3符合题意,故选B.
4.1 解析:展开式的通项为x6-r()r=mrx6-2r,令6-2r=0解得r=3,∴m3=20.∴m=1.
考点2
【例1】 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为+++…+=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,
将两式相加,整理得a0+a2+a4+a6+a8=,即所有奇数项系数之和为.
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,由(3)知|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.
【例2】 C ∵只有第5项的二项式系数最大,∴n=8,(x-)n的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0,1,2,…,8),∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数,而展开式中第5项的二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3=-56.
跟踪训练
1.BC 展开式的通项为=·()6-k·(-x)k=26-k(-1)k·x2k-6,由2k-6=0,得k=3,所以常数项为23(-1)3=-160,A错误;展开式共有7项,所以第4项的二项式系数最大,B正确;第3项的系数最大,C正确;令x=1,得(-1)6=1,所有项的系数和为1,D错误.
2.6 解析:根据二项式系数的性质,知(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为,而(x+y)2m+1展开式中二项式系数的最大值为,则=a,=b.又13a=7b,所以13=7,即13×=7×,解得m=6.
考点3
【例3】 C 法一 (1+x)n的通项公式为Tr+1=xr,当n依次取3,4,5,6,r取3得到含x3的系数为+++=++=+==35.
法二 多项式可化为=,二项式(x+1)7的通项公式为Tr+1=x7-r,令7-r=4 r=3,故原多项式的展开式中含x3项的系数为=35.故选C.
【例4】 (1)B (2)±2 解析:(1)依题意,(1-x+x2)2=1+x2+x4-2x+2x2-2x3=1-2x+3x2-2x3+x4,(1+x)3=1+3x+3x2+x3,所以(1-x+x2)2·(1+x)3的展开式中,x4的系数为-2×1+3×3-2×3+1×1=2.故选B.
(2)由题意可知,(-2y)(mx-y)5=(mx-y)5-2y(mx-y)5,在(mx-y)5的展开式中,由x-1·(mx)5-r(-y)r=(-1)rm5-rx4-ryr,令得r无解,即(mx-y)5的展开式中没有x2y4的项;在2y(mx-y)5的展开式中,由2y(mx)5-r(-y)r=2(-1)rm5-rx5-ryr+1,令解得r=3,即2y(mx-y)5的展开式中x2y4的项的系数为2(-1)3m5-3=-20m2,所以(-2y)(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为20m2,又因为(-2y)(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80,所以20m2=80,解得m=±2.所以m的值为±2.
【例5】 C (1+x-)8是8个因式(1+x-)的乘积,其展开式的每一项都是由8个因式中的每一个因式各取一项相乘得到的,要想得到含x2y-2的项,则8个因式中的2个因式取x,2个因式取-,其余4个因式取1相乘,故展开式中含x2y-2的项为x2·(-)2··14=420x2y-2,故展开式中x2y-2的项的系数为420.选C.
跟踪训练
1.-40 解析:(x-2y)6的通项公式为Tr+1=x6-r(-2y)r=(-2)rx6-ryr,令r=2得,T3=(-2)2x4y2=60x4y2,此时60x4y2·2=120x4y2,令r=3得,T4=(-2)3x3y3=-160x3y3,此时-160x3y3·=-160x4y2,故x4y2的系数为120-160=-40.
2.32 -1 解析:由多项式知常数项为25=32.令x=0,y=1,即得所有不含字母x的项的系数之和,所以所求系数之和为(0-3×1+2)5=(-1)5=-1.
3.5 10 解析:(x-1)3展开式的通项Tr+1=x3-r·(-1)r,(x+1)4展开式的通项Tk+1=x4-k,则a1=+=1+4=5;a2=(-1)1+=3;a3=(-1)2+=7;a4=(-1)3+=0.所以a2+a3+a4=3+7+0=10.
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第二节 二项式定理
高中总复习·数学
课标要求
1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 二项式定理
二项式定理 (a+b)n=
(n∈N*)
二项展开式的
通项 Tk+1= ,它表示展开式的第 项
二项式系数 (k=0,1,…,n)
an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+
bn 
an-kbk 
k+1 
 
提醒 (1)项数为n+1;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,
即a与b的指数的和为n;(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数
由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增
1直到n.
2. 二项式系数的性质
1. 若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则:
(1)h(r)=0 Tr+1是常数项;
(2)h(r)是非负整数 Tr+1是整式项;
(3)h(r)是负整数 Tr+1是分式项;
(4)h(r)是整数 Tr+1是有理项.
2. 若a0,a1,…,an是公比为q的等比数列,则a0 +a1 +…+an
=a0(1+q)n(n∈N*).
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1) bk是二项展开式的第k项. ( × )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ( × )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.
( √ )
×
×

2. (人A选三P31练习4题改编)( - )10的展开式中x2的系数等于
(  )
A. 45 B. 20
C. -30 D. -90
解析:  因为展开式的通项为Tk+1=(-1)k ·x-(10-k)=(-
1)k ,令-10+ k=2,得k=8,所以展开式中x2的系数为
(-1)8× =45.

3. (人A选三P38复习参考题3(5)题改编)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+
a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(  )
A. 40 B. 41
C. -40 D. -41
解析:  法一(赋值法) 依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+
a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2
(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41,故选B.
法二(通项公式法) 二项式(2x-1)4展开式的通项为Tr+1= (2x)4
-r(-1)r,分别令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所
以a0+a2+a4=41,故选B.

4. 若(x+ )n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项
为 .
解析:因为二项式系数之和为2n=64,所以n=6,则Tk+1= ·x6-
k·( )k= x6-2k,当6-2k=0,即k=3时为常数项,T4= =20.
5. 的值为 .
解析:原式= = =1.
20
1
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
二项式中的特定项及系数问题(基础自学过关)
1. (2025·沈阳质量监测)已知二项式(2x2- )7的展开式中x2的系数是
280,则实数a的值等于(  )
A. 1 B. 2 C. ±1 D. ±2
解析:  由二项式(2x2- )7展开式的通项为Tr+1= (2x2)7-r(-
)r=27-r·(-a)r· x14-3r,令14-3r=2,解得r=4,所以23·(-
a)4· =280,解得a=±1.故选C.

2. ( + )30的展开式中无理项的项数为(  )
A. 27 B. 24 C. 26 D. 25
解析:  ( + )30展开式的通项为Tr+1= ·( )30-r·( )
r= · ,r=0,1,2,…,30,若x的指数15- r为整数,则r是
6的倍数,所以当r=0,6,12,18,24,30时为有理项,共6项,故无理
项的项数为31-6=25,故选D.

3. 二项式( x+ )n(n∈N*)的展开式中只有一项的系数为有理
数,则下列选项中满足题意的n的取值为(  )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析:   = · · · ,因为系数是有理数,所以n-r是2
的倍数,r是3的倍数,又展开式中只有一项的系数为有理数,所以n=
7,r=3符合题意,故选B.

4. (2024·湖南长郡中学模拟)已知(x+ )6的展开式中常数项为20,
则实数m的值为 .
解析:展开式的通项为 x6-r( )r= mrx6-2r,令6-2r=0解得r=
3,∴ m3=20.∴m=1.
1
练后悟通
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和(定向精析突破)
考向1 二项展开式中的系数和问题
在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(1)二项式系数之和为 + + +…+ =29.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(2)各项系数之和;
解:各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)所有奇数项系数之和;
解:由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,令x=1,y=-1,得a0-a1
+a2-…-a9=59,
将两式相加,整理得a0+a2+a4+a6+a8= ,即所有奇数项系数之和
为 .
(4)系数绝对值之和.
解: |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,由
(3)知|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.
解题技法
赋值法的应用
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,
n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可;
(2)对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数
之和,只需令x=y=1即可;
(3)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中
各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
考向2 二项式系数的最值问题
在(x- )n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式
中系数最小的项的系数为(  )
A. -126 B. -70
C. -56 D. -28

解析:  ∵只有第5项的二项式系数最大,∴n=8,(x- )n的展开
式的通项为Tk+1=(-1)k (k=0,1,2,…,8),∴展开式中
奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶数项的二项式系数与相
应偶数项的系数互为相反数,而展开式中第5项的二项式系数最大,因此
展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3 =-56.
解题技法
1. 求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数,那么中间一项(第 +1项)的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,那么中间两项(第 项与第 +1项)的二项式系
数相等且最大.
2. 求展开式系数最大项
求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定
系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最
大,应用 解出k.
1. 〔多选〕在( -x)6的展开式中,下列说法正确的是(  )
A. 常数项为160
B. 第4项的二项式系数最大
C. 第3项的系数最大
D. 所有项的系数和为64


解析:  展开式的通项为 = ·( )6-k·(-x)k=26-k(-
1)k· x2k-6,由2k-6=0,得k=3,所以常数项为23(-1)3 =-
160,A错误;展开式共有7项,所以第4项的二项式系数最大,B正确;第3
项的系数最大,C正确;令x=1,得( -1)6=1,所有项的系数和为1,
D错误.
2. 设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+
y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= .
解析:根据二项式系数的性质,知(x+y)2m展开式中二项式系数的最大
值为 ,而(x+y)2m+1展开式中二项式系数的最大值为 ,则
=a, =b.又13a=7b,所以13 =7 ,即13×
=7× ,解得m=6.
6
多项式展开式中特定项(系数)问题(定向精析突破)
考向1 几个多项式和展开式中特定项(系数)问题
在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+
(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是(  )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

解析:  法一 (1+x)n的通项公式为Tr+1= xr,当n依次取3,4,
5,6,r取3得到含x3的系数为 + + + = + + = +
= =35.
法二 多项式可化为 = ,二项式(x+1)7的通项公式
为Tr+1= x7-r,令7-r=4 r=3,故原多项式的展开式中含x3项的系
数为 =35.故选C.
解题技法
  对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项
展开式的通项,从每一个二项式中分别得到特定的项,再求和即可.也可
以先对二项式求和,化简后再依据通项公式确定特定项(系数).
考向2 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题
(1)(2024·蚌埠第三次质量检测)(1-x+x2)2·(1+x)3的展
开式中,x4的系数为( B )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
解析: 依题意,(1-x+x2)2=1+x2+x4-2x+2x2-2x3=1-2x
+3x2-2x3+x4,(1+x)3=1+3x+3x2+x3,所以(1-x+x2)2·(1
+x)3的展开式中,x4的系数为-2×1+3×3-2×3+1×1=2.故选B.
B
(2)(2025·南京六校联考)已知( -2y)·(mx-y)5的展开式中x2y4
的系数为80,则m的值为 .
解析: 由题意可知,( -2y)(mx-y)5= (mx-y)5-2y
(mx-y)5,在 (mx-y)5的展开式中,由x-1 (mx)5-r(-y)
r=(-1)rm5-r x4-ryr,令 得r无解,即 (mx-y)5的
展开式中没有x2y4的项;
±2
在2y(mx-y)5的展开式中,由2y (mx)5-r(-y)r=2(-1)
rm5-r x5-ryr+1,令 解得r=3,即2y(mx-y)5的展开式
中x2y4的项的系数为2(-1)3m5-3 =-20m2,所以( -2y)(mx-
y)5的展开式中x2y4的系数为20m2,又因为( -2y)(mx-y)5的展开
式中x2y4的系数为80,所以20m2=80,解得m=±2.所以m的值为±2.
解题技法
  对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,一般都可以根
据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,
以免重复或遗漏.
考向3 三项式展开式中特定项(系数)问题
(2025·德州一模)(1+x- )8展开式中x2y-2的系数为(  )
A. -840 B. -420
C. 420 D. 840

解析:  (1+x- )8是8个因式(1+x- )的乘积,其展开式的每一
项都是由8个因式中的每一个因式各取一项相乘得到的,要想得到含x2y-2
的项,则8个因式中的2个因式取x,2个因式取- ,其余4个因式取1相
乘,故展开式中含x2y-2的项为 x2· (- )2· ·14=420x2y-2,故展
开式中x2y-2的项的系数为420.选C.
解题技法
(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法
1. (2+ )(x-2y)6的展开式中x4y2的系数为 .(用数字作
答)
解析:(x-2y)6的通项公式为Tr+1= x6-r(-2y)r= (-2)rx6
-ryr,令r=2得,T3= (-2)2x4y2=60x4y2,此时60x4y2·2=
120x4y2,令r=3得,T4= (-2)3x3y3=-160x3y3,此时-160x3y3·
=-160x4y2,故x4y2的系数为120-160=-40.
-40
2. (x-3y+2)5的展开式中,常数项为 ,所有不含字母x的项的
系数之和为 .
解析:由多项式知常数项为25=32.令x=0,y=1,即得所有不含字母x
的项的系数之和,所以所求系数之和为(0-3×1+2)5=(-1)5=-1.
3. 已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1
= ;a2+a3+a4= .
解析:(x-1)3展开式的通项Tr+1= x3-r·(-1)r,(x+1)4展开
式的通项Tk+1= x4-k,则a1= =1+4=5;a2=
=3;a3= (-1)2+ 7;a4= (-1)3+ =0.所以a2+a3
+a4=3+7+0=10.
32
-1
5 
10
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. (2025·安徽六校第二次素养测试)(1-ax)6的展开式中x3的系数为
160,则a=(  )
A. 2 B. -2
C. 4 D. -4
解析:  二项式(1-ax)6展开式的通项为Tr+1= (-ax)r(其中
0≤r≤6且r∈N),令r=3可得T4= (-ax)3= (-a)3·x3,所
以 (-a)3=160,解得a=-2.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25

2. (2024·武汉四调)(2x-3)(x-1)5的展开式中x3的系数为
(  )
A. -50 B. -10
C. 10 D. 50
解析:  (x-1)5展开式的通项为Tr+1= x5-r·(-1)r,则T3=
10x3,T4=-10x2,故(2x-3)(x-1)5展开式中x3的系数为2×(-
10)+(-3)×10=-50.故选A.

3. ( + )n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常
数项是(  )
A. 180 B. 90
C. 45 D. 360
解析:  由二项展开式系数的性质,得 +1=6,即n=10,∴Tr+1=
·( )10-r( )r=2r · ,令5- =0,得r=2,从而展开
式的常数项是T3=4 =180.

4. (1+ax+by)n(a,b为常数,a,b,n∈N*,n≥2)的展开式中
不含x的项的系数和为243,则n的值为(  )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析:  展开式中不含x的项是(1+by)n,展开式中各项系数和为(1
+b)n=243=35,因为b∈N*,所以n=5,故选C.

5. (2024·武汉五调)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2
+…+a10(1+x)10,则a2=(  )
A. 180 B. -180
C. -90 D. 90
解析:  因(1+2x)10=[2(1+x)-1]10,其二项展开式的通项为Tr
+1= [2(1+x)]10-r(-1)r=(-1)r210-r (1+x)10-r,r
=0,1,…,10,而a2是(1+x)2的系数,故只需取r=8,得T9=22
(1+x)2=180(1+x)2,即a2=180.

6. 〔多选〕(2025·江西重点中学盟校第一次联考)在(2x- )5的展开
式中(  )
A. 二项式系数之和为32
B. 第3项的系数最大
C. 所有项系数之和为-1
D. 不含常数项



解析:  由于二项式系数之和为 + +…+ =25=32,故A正
确;展开式的通项为Tk+1= (2x)5-k(- )k=(-1)k· ·25-
k·x5-2k,k=0,1,2,…,5,易知T2,T4,T6的系数均小于0,且T1=
32x5,T3=80x,T5=10x-3,故第3项的系数最大,为80,故B正确;令x
=1得所有项系数之和为15=1,故C错误,当5-2k=0,则k= ,但k=
{0,1,2,3,4,5},故展开式中不含常数项,D正确.故选A、B、D.
7. 设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a3=2a2,则n= .
解析:二项式(1+2x)n的展开式的通项为Tr+1= 1n-r(2x)r=
2rxr,所以a2= 22,a3= 23,又a3=2a2,所以 23=2× 22,所
以n=5.
5
8. (2025·鹰潭一模) 的展开式中 的系数为 .
解析: 的展开式通项为 = = 26-r(-
1)rx4-ryr-4(0≤r≤6,r∈N),由题意令r-4=1,解得r=5,所以
的展开式中 的系数为 26-5(-1)5=-6×2=-12.
-12
9. 已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|
a1|+…+|a5|= .
解析:令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①.令x=-1,得-a5+
a4-a3+a2-a1+a0=-243,②.①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,
即a4+a2+a0=-121.①-②,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1
=122.所以|a0|+|a1|+…+|a5|=122+121=243.
243
10. (x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(  )
A. 120 B. -120
C. 60 D. 30
解析:  由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第k+
1项为 (x+y)5-k(-2z)k,令k=2,可得第3项为(-2)2 (x
+y)3z2,(x+y)3的展开式的第m+1项为 x3-mym,令m=2,可得
第3项为 xy2,所以(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(-2)
2 =120.

11. 若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)
9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值可
以为(  )
A. 1或-3 B. -1
C. -1或3 D. -3

解析:  在(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9
(x+1)9中,令x=-2,可得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=m9,即
(a0+a2+…+a8)-(a1+a3+…+a9)=m9;令x=0,可得a0+a2
+…+a8+a1+a3+…+a9=(2+m)9.∵(a0+a2+…+a8)2-(a1
+a3+…+a9)2=39,∴(a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9)·[(a0+
a2+…+a8)-(a1+a3+…+a9)]=39,∴(2+m)9·m9=(2m+
m2)9=39,整理得2m+m2=3,解得m=1或m=-3,故选A.
12. (2025·常德模拟)已知(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2
+…+a8(x-1)8+a9(x-1)9,则a0+2a1+3a2+…+9a8+10a9=
(  )
A. 9 B. 10
C. 18 D. 19

解析:  由(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-
1)8+a9(x-1)9得,(x-1)·(2x-3)9=a0(x-1)+a1(x-1)
2+a2(x-1)3+…+a8(x-1)9+a9(x-1)10,分别对两边进行求导
得(2x-3)9+18(x-1)(2x-3)8=a0+2a1(x-1)+3a2(x-
1)2+…+9a8(x-1)8+10a9(x-1)9,令x=2,得(2×2-3)9+18
(2-1)·(2×2-3)8=a0+2a1+3a2+…+9a8+10a9,得a0+2a1+3a2
+…+9a8+10a9=19,故选D.
13. 〔多选〕若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2
+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,则下列结论正确的是
(  )
A. n=6
B. a1=21
C. (1+2x)n展开式中二项式系数和为729
D. a1+2a2+3a3+…+nan=321



解析:  对于A,因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+
a1x+a2x2+…+anxn,令x=1,得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an
= =2n+1-2,令x=0,得n=a0,因为(1+x)n中xn项为
xn=xn,所以an=1,所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1=125-n,
解得n=6,故A正确;对于B,a1=1+ + + + + =21,故
B正确;对于C,(1+2x)6展开式中二项式系数和为26=64,故C错误;
对于D,令f(x)=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+
a2x2+…+a6x6,f'(x)=1+2(x+1)+…+6(x+1)5=a1+2a2x
+…+6a6x5,令x=1得f'(1)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25
=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=321,故D正确.
14. 设a∈Z,且0≤a≤13,若512 025+a能被13整除,则a= .
解析:因为a∈Z,且0≤a≤13,所以512 025+a=(52-1)2 025+a=
·522 025- ·522 024+ ·522 023-…+ ·52- +
a,因为512 025+a能被13整除,所以- +a=-1+a能被13整除,
又0≤a≤13,所以a=1.
1
15. (新定义)将杨辉三角中的每一个数 都换成 ,得到如图
所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美
的性质,如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和,如果
n≥2(n为正整数),那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号
是 .
②③
第0行
第1行   
第2行      
第3行         
… …
第n行    … 
①当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相
等,且同时取得最大值;
②第8行第2个数是 ;
③ = (r∈N,0≤r≤n).
解析:对于①,根据杨辉三角的特点,当n为偶数时,中间的一项取得最
大值;当n为奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,所以当每一
项取倒数时,再乘一个正数,可得当n是偶数时,中间的一项取得最小
值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最小值,所以①错误;
对于②,第7行第1个数为 ,第8行第1个数为 ,所以第8行第2个数为 -
= ,所以②正确;对于③,根据组合数的性质可知, = ,即
= (r∈N,0≤r≤n),所以③正确.综上,正确
的序号是②③.
THANKS
演示完毕 感谢观看
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