第二节 二项式定理
1.（2025·安徽六校第二次素养测试）（1－ax）6的展开式中x3的系数为160，则a＝（ ）
A.2 B.－2 C.4 D.－4
2.（2024·武汉四调）（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（ ）
A.－50 B.－10
C.10 D.50
3.（＋）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A.180 B.90
C.45 D.360
4.（1＋ax＋by）n（a，b为常数，a，b，n∈N*，n≥2）的展开式中不含x的项的系数和为243，则n的值为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
5.（2024·武汉五调）若（1＋2x）10＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a10（1＋x）10，则a2＝（ ）
A.180 B.－180
C.－90 D.90
6.〔多选〕（2025·江西重点中学盟校第一次联考）在（2x－）5的展开式中（ ）
A.二项式系数之和为32 B.第3项的系数最大
C.所有项系数之和为－1 D.不含常数项
7.设（1＋2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＝2a2，则n＝ .
8.（2025·鹰潭一模）的展开式中的系数为 .
9.已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝ .
10.（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（ ）
A.120 B.－120
C.60 D.30
11.若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值可以为（ ）
A.1或－3 B.－1
C.－1或3 D.－3
12.（2025·常德模拟）已知（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a8（x－1）8＋a9（x－1）9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝（ ）
A.9 B.10
C.18 D.19
13.〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是（ ）
A.n＝6
B.a1＝21
C.（1＋2x）n展开式中二项式系数和为729
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321
14.设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝ .
15.（新定义）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2（n为正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是 .
第0行
第1行
第2行
第3行
… …
第n行 …
①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；
②第8行第2个数是；
③＝（r∈N，0≤r≤n）.
第二节 二项式定理
1.B 二项式（1－ax）6展开式的通项为Tr＋1＝（－ax）r（其中0≤r≤6且r∈N），令r＝3可得T4＝（－ax）3＝（－a）3·x3，所以（－a）3＝160，解得a＝－2.故选B.
2.A （x－1）5展开式的通项为Tr＋1＝x5－r·（－1）r，则T3＝10x3，T4＝－10x2，故（2x－3）（x－1）5展开式中x3的系数为2×（－10）＋（－3）×10＝－50.故选A.
3.A 由二项展开式系数的性质，得＋1＝6，即n＝10，∴Tr＋1＝·（）10－r·（）r＝2r·，令5－＝0，得r＝2，从而展开式的常数项是T3＝4＝180.
4.C 展开式中不含x的项是（1＋by）n，展开式中各项系数和为（1＋b）n＝243＝35，因为b∈N*，所以n＝5，故选C.
5.A 因（1＋2x）10＝[2（1＋x）－1]10，其二项展开式的通项为Tr＋1＝[2（1＋x）]10－r（－1）r＝（－1）r210－r（1＋x）10－r，r＝0，1，…，10，而a2是（1＋x）2的系数，故只需取r＝8，得T9＝22（1＋x）2＝180（1＋x）2，即a2＝180.
6.ABD 由于二项式系数之和为＋＋…＋＝25＝32，故A正确；展开式的通项为Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k··25－k·x5－2k，k＝0，1，2，…，5，易知T2，T4，T6的系数均小于0，且T1＝32x5，T3＝80x，T5＝10x－3，故第3项的系数最大，为80，故B正确；令x＝1得所有项系数之和为15＝1，故C错误，当5－2k＝0，则k＝，但k＝ {0，1，2，3，4，5}，故展开式中不含常数项，D正确.故选A、B、D.
7.5 解析：二项式（1＋2x）n的展开式的通项为Tr＋1＝1n－r（2x）r＝2rxr，所以a2＝22，a3＝23，又a3＝2a2，所以23＝2×22，所以n＝5.
8.－12 解析：的展开式通项为＝＝26－r·（－1）rx4－ryr－4（0≤r≤6，r∈N），由题意令r－4＝1，解得r＝5，所以的展开式中的系数为26－5（－1）5＝－6×2＝－12.
9.243 解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①.令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②.①＋②，得2（a4＋a2＋a0）＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2（a5＋a3＋a1）＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝122＋121＝243.
10.A 由题意知（x＋y－2z）5＝[（x＋y）－2z]5，展开式的第k＋1项为（x＋y）5－k·（－2z）k，令k＝2，可得第3项为（－2）2（x＋y）3z2，（x＋y）3的展开式的第m＋1项为x3－mym，令m＝2，可得第3项为xy2，所以（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（－2）2＝120.
11.A 在（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）＝m9；令x＝0，可得a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9＝（2＋m）9.∵（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，∴（a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9）·[（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）]＝39，∴（2＋m）9·m9＝（2m＋m2）9＝39，整理得2m＋m2＝3，解得m＝1或m＝－3，故选A.
12.D 由（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a8（x－1）8＋a9（x－1）9得，（x－1）·（2x－3）9＝a0（x－1）＋a1（x－1）2＋a2（x－1）3＋…＋a8（x－1）9＋a9（x－1）10，分别对两边进行求导得（2x－3）9＋18（x－1）（2x－3）8＝a0＋2a1（x－1）＋3a2（x－1）2＋…＋9a8（x－1）8＋10a9（x－1）9，令x＝2，得（2×2－3）9＋18（2－1）·（2×2－3）8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19，故选D.
13.ABD 对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为xn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋＋＋＋＋＝21，故B正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝321，故D正确.
14.1 解析：因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 025＋a＝（52－1）2 025＋a＝·522 025－·522 024＋·522 023－…＋·52－＋a，因为512 025＋a能被13整除，所以－＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，所以a＝1.
15.②③ 解析：对于①，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘一个正数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①错误；对于②，第7行第1个数为，第8行第1个数为，所以第8行第2个数为－＝，所以②正确；对于③，根据组合数的性质可知，＝，即＝（r∈N，0≤r≤n），所以③正确.综上，正确的序号是②③.
2 / 2第二节 二项式定理
课标要求
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝ （n∈N*）
二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第 项
二项式系数 （k＝0，1，…，n）
提醒 （1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
1.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：
（1）h（r）＝0 Tr＋1是常数项；
（2）h（r）是非负整数 Tr＋1是整式项；
（3）h（r）是负整数 Tr＋1是分式项；
（4）h（r）是整数 Tr＋1是有理项.
2.若a0，a1，…，an是公比为q的等比数列，则a0＋a1＋…＋an＝a0（1＋q）n（n∈N*）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）bk是二项展开式的第k项.（ ）
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（ ）
（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.（ ）
2.（人A选三P31练习4题改编）（－）10的展开式中x2的系数等于（ ）
A.45 B.20
C.－30 D.－90
3.（人A选三P38复习参考题3（5）题改编）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（ ）
A.40 B.41
C.－40 D.－41
4.若（x＋）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .
5.的值为 .
二项式中的特定项及系数问题
（基础自学过关）
1.（2025·沈阳质量监测）已知二项式（2x2－）7的展开式中x2的系数是280，则实数a的值等于（ ）
A.1 B.2
C.±1 D.±2
2.（＋）30的展开式中无理项的项数为（ ）
A.27 B.24
C.26 D.25
3.二项式（x＋）n（n∈N*）的展开式中只有一项的系数为有理数，则下列选项中满足题意的n的取值为（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
4.（2024·湖南长郡中学模拟）已知（x＋）6的展开式中常数项为20，则实数m的值为 .
练后悟通
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和
（定向精析突破）
考向1 二项展开式中的系数和问题
在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值之和.
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；
（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
考向2 二项式系数的最值问题
在（x－）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为（ ）
A.－126 B.－70
C.－56 D.－28
听课记录 解题技法
1.求二项式系数最大项
（1）如果n是偶数，那么中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；
（2）如果n是奇数，那么中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等且最大.
2.求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k.
1.〔多选〕在（－x）6的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A.常数项为160
B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大
D.所有项的系数和为64
2.设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝ .
多项式展开式中特定项（系数）问题
（定向精析突破）
考向1 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题
在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A.25 B.30 C.35 D.40
听课记录 解题技法
对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.
考向2 几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题
（1）（2024·蚌埠第三次质量检测）（1－x＋x2）2·（1＋x）3的展开式中，x4的系数为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
（2）（2025·南京六校联考）已知（－2y）·（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为 .
听课记录 解题技法
对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
考向3 三项式展开式中特定项（系数）问题
（2025·德州一模）（1＋x－）8展开式中x2y－2的系数为（ ）
A.－840 B.－420 C.420 D.840
听课记录 解题技法
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
1.（2＋）（x－2y）6的展开式中x4y2的系数为 .（用数字作答）
2.（x－3y＋2）5的展开式中，常数项为 ，所有不含字母x的项的系数之和为 .
3.已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝ ；a2＋a3＋a4＝ .
第二节 二项式定理
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn an－kbk k＋1
2.＝ k＜ k＞ 2n
2n－1
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.A 3.B 4.20 5.1
【考点·分类突破】
考点1
1.C 由二项式（2x2－）7展开式的通项为Tr＋1＝（2x2）7－r（－）r＝27－r·（－a）r·x14－3r，令14－3r＝2，解得r＝4，所以23·（－a）4·＝280，解得a＝±1.故选C.
2.D （＋）30展开式的通项为Tr＋1＝·（）30－r·（）r＝·，r＝0，1，2，…，30，若x的指数15－r为整数，则r是6的倍数，所以当r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项的项数为31－6＝25，故选D.
3.B ＝···，因为系数是有理数，所以n－r是2的倍数，r是3的倍数，又展开式中只有一项的系数为有理数，所以n＝7，r＝3符合题意，故选B.
4.1 解析：展开式的通项为x6－r（）r＝mrx6－2r，令6－2r＝0解得r＝3，∴m3＝20.∴m＝1.
考点2
【例1】 解：设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为＋＋＋…＋＝29.
（2）各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.
（3）由（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
将两式相加，整理得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即所有奇数项系数之和为.
（4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.
【例2】 C ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，（x－）n的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3＝－56.
跟踪训练
1.BC 展开式的通项为＝·（）6－k·（－x）k＝26－k（－1）k·x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得（－1）6＝1，所有项的系数和为1，D错误.
2.6 解析：根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为，则＝a，＝b.又13a＝7b，所以13＝7，即13×＝7×，解得m＝6.
考点3
【例3】 C 法一 （1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝xr，当n依次取3，4，5，6，r取3得到含x3的系数为＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝35.
法二 多项式可化为＝，二项式（x＋1）7的通项公式为Tr＋1＝x7－r，令7－r＝4 r＝3，故原多项式的展开式中含x3项的系数为＝35.故选C.
【例4】 （1）B （2）±2 解析：（1）依题意，（1－x＋x2）2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x＋3x2－2x3＋x4，（1＋x）3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以（1－x＋x2）2·（1＋x）3的展开式中，x4的系数为－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2.故选B.
（2）由题意可知，（－2y）（mx－y）5＝（mx－y）5－2y（mx－y）5，在（mx－y）5的展开式中，由x－1·（mx）5－r（－y）r＝（－1）rm5－rx4－ryr，令得r无解，即（mx－y）5的展开式中没有x2y4的项；在2y（mx－y）5的展开式中，由2y（mx）5－r（－y）r＝2（－1）rm5－rx5－ryr＋1，令解得r＝3，即2y（mx－y）5的展开式中x2y4的项的系数为2（－1）3m5－3＝－20m2，所以（－2y）（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为20m2，又因为（－2y）（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为80，所以20m2＝80，解得m＝±2.所以m的值为±2.
【例5】 C （1＋x－）8是8个因式（1＋x－）的乘积，其展开式的每一项都是由8个因式中的每一个因式各取一项相乘得到的，要想得到含x2y－2的项，则8个因式中的2个因式取x，2个因式取－，其余4个因式取1相乘，故展开式中含x2y－2的项为x2·（－）2··14＝420x2y－2，故展开式中x2y－2的项的系数为420.选C.
跟踪训练
1.－40 解析：（x－2y）6的通项公式为Tr＋1＝x6－r（－2y）r＝（－2）rx6－ryr，令r＝2得，T3＝（－2）2x4y2＝60x4y2，此时60x4y2·2＝120x4y2，令r＝3得，T4＝（－2）3x3y3＝－160x3y3，此时－160x3y3·＝－160x4y2，故x4y2的系数为120－160＝－40.
2.32 －1 解析：由多项式知常数项为25＝32.令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x的项的系数之和，所以所求系数之和为（0－3×1＋2）5＝（－1）5＝－1.
3.5 10 解析：（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝x3－r·（－1）r，（x＋1）4展开式的通项Tk＋1＝x4－k，则a1＝＋＝1＋4＝5；a2＝（－1）1＋＝3；a3＝（－1）2＋＝7；a4＝（－1）3＋＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
4 / 4(共65张PPT)
第二节 二项式定理
高中总复习·数学
课标要求
1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二项展开式的
通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第 项
二项式系数 （k＝0，1，…，n）
an＋ an－1b1＋…＋ an－kbk＋…＋
bn
an－kbk
k＋1
提醒 （1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，
即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数
由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增
1直到n.
2. 二项式系数的性质
1. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：
（1）h（r）＝0 Tr＋1是常数项；
（2）h（r）是非负整数 Tr＋1是整式项；
（3）h（r）是负整数 Tr＋1是分式项；
（4）h（r）是整数 Tr＋1是有理项.
2. 若a0，a1，…，an是公比为q的等比数列，则a0 ＋a1 ＋…＋an
＝a0（1＋q）n（n∈N*）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） bk是二项展开式的第k项. （ × ）
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项. （ × ）
（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.
（ √ ）
×
×
√
2. （人A选三P31练习4题改编）（ － ）10的展开式中x2的系数等于
（ ）
A. 45 B. 20
C. －30 D. －90
解析： 因为展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k ·x－（10－k）＝（－
1）k ，令－10＋ k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为
（－1）8× ＝45.
√
3. （人A选三P38复习参考题3（5）题改编）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋
a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（ ）
A. 40 B. 41
C. －40 D. －41
解析： 法一（赋值法） 依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋
a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2
（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
法二（通项公式法） 二项式（2x－1）4展开式的通项为Tr＋1＝ （2x）4
－r（－1）r，分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所
以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
√
4. 若（x＋ ）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项
为 .
解析：因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝ ·x6－
k·（ ）k＝ x6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝ ＝20.
5. 的值为 .
解析：原式＝ ＝ ＝1.
20
1
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
二项式中的特定项及系数问题（基础自学过关）
1. （2025·沈阳质量监测）已知二项式（2x2－ ）7的展开式中x2的系数是
280，则实数a的值等于（ ）
A. 1 B. 2 C. ±1 D. ±2
解析： 由二项式（2x2－ ）7展开式的通项为Tr＋1＝ （2x2）7－r（－
）r＝27－r·（－a）r· x14－3r，令14－3r＝2，解得r＝4，所以23·（－
a）4· ＝280，解得a＝±1.故选C.
√
2. （ ＋ ）30的展开式中无理项的项数为（ ）
A. 27 B. 24 C. 26 D. 25
解析： （ ＋ ）30展开式的通项为Tr＋1＝ ·（ ）30－r·（ ）
r＝ · ，r＝0，1，2，…，30，若x的指数15－ r为整数，则r是
6的倍数，所以当r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理
项的项数为31－6＝25，故选D.
√
3. 二项式（ x＋ ）n（n∈N*）的展开式中只有一项的系数为有理
数，则下列选项中满足题意的n的取值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析： ＝ · · · ，因为系数是有理数，所以n－r是2
的倍数，r是3的倍数，又展开式中只有一项的系数为有理数，所以n＝
7，r＝3符合题意，故选B.
√
4. （2024·湖南长郡中学模拟）已知（x＋ ）6的展开式中常数项为20，
则实数m的值为 .
解析：展开式的通项为 x6－r（ ）r＝ mrx6－2r，令6－2r＝0解得r＝
3，∴ m3＝20.∴m＝1.
1
练后悟通
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和（定向精析突破）
考向1 二项展开式中的系数和问题
在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（1）二项式系数之和为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝29.
解：设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（2）各项系数之和；
解：各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.
（3）所有奇数项系数之和；
解：由（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1
＋a2－…－a9＝59，
将两式相加，整理得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，即所有奇数项系数之和
为 .
（4）系数绝对值之和.
解： ｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由
（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；
（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数
之和，只需令x＝y＝1即可；
（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中
各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
考向2 二项式系数的最值问题
在（x－ ）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式
中系数最小的项的系数为（ ）
A. －126 B. －70
C. －56 D. －28
√
解析： ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，（x－ ）n的展开
式的通项为Tk＋1＝（－1）k （k＝0，1，2，…，8），∴展开式中
奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相
应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此
展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3 ＝－56.
解题技法
1. 求二项式系数最大项
（1）如果n是偶数，那么中间一项（第 ＋1项）的二项式系数最大；
（2）如果n是奇数，那么中间两项（第 项与第 ＋1项）的二项式系
数相等且最大.
2. 求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定
系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最
大，应用 解出k.
1. 〔多选〕在（ －x）6的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为160
B. 第4项的二项式系数最大
C. 第3项的系数最大
D. 所有项的系数和为64
√
√
解析： 展开式的通项为 ＝ ·（ ）6－k·（－x）k＝26－k（－
1）k· x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3 ＝－
160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；第3
项的系数最大，C正确；令x＝1，得（ －1）6＝1，所有项的系数和为1，
D错误.
2. 设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋
y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝ .
解析：根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大
值为 ，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为 ，则
＝a， ＝b.又13a＝7b，所以13 ＝7 ，即13×
＝7× ，解得m＝6.
6
多项式展开式中特定项（系数）问题（定向精析突破）
考向1 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题
在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋
（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（ ）
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
√
解析： 法一 （1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝ xr，当n依次取3，4，
5，6，r取3得到含x3的系数为 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝ ＝35.
法二 多项式可化为 ＝ ，二项式（x＋1）7的通项公式
为Tr＋1＝ x7－r，令7－r＝4 r＝3，故原多项式的展开式中含x3项的系
数为 ＝35.故选C.
解题技法
对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项
展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可
以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.
考向2 几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题
（1）（2024·蚌埠第三次质量检测）（1－x＋x2）2·（1＋x）3的展
开式中，x4的系数为（ B ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
解析： 依题意，（1－x＋x2）2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x
＋3x2－2x3＋x4，（1＋x）3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以（1－x＋x2）2·（1
＋x）3的展开式中，x4的系数为－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2.故选B.
B
（2）（2025·南京六校联考）已知（ －2y）·（mx－y）5的展开式中x2y4
的系数为80，则m的值为 .
解析： 由题意可知，（ －2y）（mx－y）5＝ （mx－y）5－2y
（mx－y）5，在 （mx－y）5的展开式中，由x－1 （mx）5－r（－y）
r＝（－1）rm5－r x4－ryr，令 得r无解，即 （mx－y）5的
展开式中没有x2y4的项；
±2
在2y（mx－y）5的展开式中，由2y （mx）5－r（－y）r＝2（－1）
rm5－r x5－ryr＋1，令 解得r＝3，即2y（mx－y）5的展开式
中x2y4的项的系数为2（－1）3m5－3 ＝－20m2，所以（ －2y）（mx－
y）5的展开式中x2y4的系数为20m2，又因为（ －2y）（mx－y）5的展开
式中x2y4的系数为80，所以20m2＝80，解得m＝±2.所以m的值为±2.
解题技法
对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根
据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，
以免重复或遗漏.
考向3 三项式展开式中特定项（系数）问题
（2025·德州一模）（1＋x－ ）8展开式中x2y－2的系数为（ ）
A. －840 B. －420
C. 420 D. 840
√
解析： （1＋x－ ）8是8个因式（1＋x－ ）的乘积，其展开式的每一
项都是由8个因式中的每一个因式各取一项相乘得到的，要想得到含x2y－2
的项，则8个因式中的2个因式取x，2个因式取－ ，其余4个因式取1相
乘，故展开式中含x2y－2的项为 x2· （－ ）2· ·14＝420x2y－2，故展
开式中x2y－2的项的系数为420.选C.
解题技法
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
1. （2＋ ）（x－2y）6的展开式中x4y2的系数为 .（用数字作
答）
解析：（x－2y）6的通项公式为Tr＋1＝ x6－r（－2y）r＝ （－2）rx6
－ryr，令r＝2得，T3＝ （－2）2x4y2＝60x4y2，此时60x4y2·2＝
120x4y2，令r＝3得，T4＝ （－2）3x3y3＝－160x3y3，此时－160x3y3·
＝－160x4y2，故x4y2的系数为120－160＝－40.
－40
2. （x－3y＋2）5的展开式中，常数项为 ，所有不含字母x的项的
系数之和为 .
解析：由多项式知常数项为25＝32.令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x
的项的系数之和，所以所求系数之和为（0－3×1＋2）5＝（－1）5＝－1.
3. 已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1
＝ ；a2＋a3＋a4＝ .
解析：（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝ x3－r·（－1）r，（x＋1）4展开
式的通项Tk＋1＝ x4－k，则a1＝ ＝1＋4＝5；a2＝
＝3；a3＝ （－1）2＋ 7；a4＝ （－1）3＋ ＝0.所以a2＋a3
＋a4＝3＋7＋0＝10.
32
－1
5
10
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·安徽六校第二次素养测试）（1－ax）6的展开式中x3的系数为
160，则a＝（ ）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －4
解析： 二项式（1－ax）6展开式的通项为Tr＋1＝ （－ax）r（其中
0≤r≤6且r∈N），令r＝3可得T4＝ （－ax）3＝ （－a）3·x3，所
以 （－a）3＝160，解得a＝－2.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2024·武汉四调）（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为
（ ）
A. －50 B. －10
C. 10 D. 50
解析： （x－1）5展开式的通项为Tr＋1＝ x5－r·（－1）r，则T3＝
10x3，T4＝－10x2，故（2x－3）（x－1）5展开式中x3的系数为2×（－
10）＋（－3）×10＝－50.故选A.
√
3. （ ＋ ）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常
数项是（ ）
A. 180 B. 90
C. 45 D. 360
解析： 由二项展开式系数的性质，得 ＋1＝6，即n＝10，∴Tr＋1＝
·（ ）10－r（ ）r＝2r · ，令5－ ＝0，得r＝2，从而展开
式的常数项是T3＝4 ＝180.
√
4. （1＋ax＋by）n（a，b为常数，a，b，n∈N*，n≥2）的展开式中
不含x的项的系数和为243，则n的值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 展开式中不含x的项是（1＋by）n，展开式中各项系数和为（1
＋b）n＝243＝35，因为b∈N*，所以n＝5，故选C.
√
5. （2024·武汉五调）若（1＋2x）10＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2
＋…＋a10（1＋x）10，则a2＝（ ）
A. 180 B. －180
C. －90 D. 90
解析： 因（1＋2x）10＝[2（1＋x）－1]10，其二项展开式的通项为Tr
＋1＝ [2（1＋x）]10－r（－1）r＝（－1）r210－r （1＋x）10－r，r
＝0，1，…，10，而a2是（1＋x）2的系数，故只需取r＝8，得T9＝22
（1＋x）2＝180（1＋x）2，即a2＝180.
√
6. 〔多选〕（2025·江西重点中学盟校第一次联考）在（2x－ ）5的展开
式中（ ）
A. 二项式系数之和为32
B. 第3项的系数最大
C. 所有项系数之和为－1
D. 不含常数项
√
√
√
解析： 由于二项式系数之和为 ＋ ＋…＋ ＝25＝32，故A正
确；展开式的通项为Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k· ·25－
k·x5－2k，k＝0，1，2，…，5，易知T2，T4，T6的系数均小于0，且T1＝
32x5，T3＝80x，T5＝10x－3，故第3项的系数最大，为80，故B正确；令x
＝1得所有项系数之和为15＝1，故C错误，当5－2k＝0，则k＝ ，但k＝
{0，1，2，3，4，5}，故展开式中不含常数项，D正确.故选A、B、D.
7. 设（1＋2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＝2a2，则n＝ .
解析：二项式（1＋2x）n的展开式的通项为Tr＋1＝ 1n－r（2x）r＝
2rxr，所以a2＝ 22，a3＝ 23，又a3＝2a2，所以 23＝2× 22，所
以n＝5.
5
8. （2025·鹰潭一模） 的展开式中 的系数为 .
解析： 的展开式通项为 ＝ ＝ 26－r（－
1）rx4－ryr－4（0≤r≤6，r∈N），由题意令r－4＝1，解得r＝5，所以
的展开式中 的系数为 26－5（－1）5＝－6×2＝－12.
－12
9. 已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则｜a0｜＋｜
a1｜＋…＋｜a5｜＝ .
解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①.令x＝－1，得－a5＋
a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②.①＋②，得2（a4＋a2＋a0）＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2（a5＋a3＋a1）＝244，即a5＋a3＋a1
＝122.所以｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝122＋121＝243.
243
10. （x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（ ）
A. 120 B. －120
C. 60 D. 30
解析： 由题意知（x＋y－2z）5＝[（x＋y）－2z]5，展开式的第k＋
1项为 （x＋y）5－k（－2z）k，令k＝2，可得第3项为（－2）2 （x
＋y）3z2，（x＋y）3的展开式的第m＋1项为 x3－mym，令m＝2，可得
第3项为 xy2，所以（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（－2）
2 ＝120.
√
11. 若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）
9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值可
以为（ ）
A. 1或－3 B. －1
C. －1或3 D. －3
√
解析： 在（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9
（x＋1）9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即
（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）＝m9；令x＝0，可得a0＋a2
＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9＝（2＋m）9.∵（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1
＋a3＋…＋a9）2＝39，∴（a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9）·[（a0＋
a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）]＝39，∴（2＋m）9·m9＝（2m＋
m2）9＝39，整理得2m＋m2＝3，解得m＝1或m＝－3，故选A.
12. （2025·常德模拟）已知（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2
＋…＋a8（x－1）8＋a9（x－1）9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝
（ ）
A. 9 B. 10
C. 18 D. 19
√
解析： 由（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a8（x－
1）8＋a9（x－1）9得，（x－1）·（2x－3）9＝a0（x－1）＋a1（x－1）
2＋a2（x－1）3＋…＋a8（x－1）9＋a9（x－1）10，分别对两边进行求导
得（2x－3）9＋18（x－1）（2x－3）8＝a0＋2a1（x－1）＋3a2（x－
1）2＋…＋9a8（x－1）8＋10a9（x－1）9，令x＝2，得（2×2－3）9＋18
（2－1）·（2×2－3）8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2
＋…＋9a8＋10a9＝19，故选D.
13. 〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2
＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是
（ ）
A. n＝6
B. a1＝21
C. （1＋2x）n展开式中二项式系数和为729
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321
√
√
√
解析： 对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋
a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an
＝ ＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为
xn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，
解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝21，故
B正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；
对于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋
a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x
＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25
＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝321，故D正确.
14. 设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝ .
解析：因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 025＋a＝（52－1）2 025＋a＝
·522 025－ ·522 024＋ ·522 023－…＋ ·52－ ＋
a，因为512 025＋a能被13整除，所以－ ＋a＝－1＋a能被13整除，
又0≤a≤13，所以a＝1.
1
15. （新定义）将杨辉三角中的每一个数 都换成 ，得到如图
所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美
的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果
n≥2（n为正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号
是 .
②③
第0行
第1行
第2行
第3行
… …
第n行 …
①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相
等，且同时取得最大值；
②第8行第2个数是 ；
③ ＝ （r∈N，0≤r≤n）.
解析：对于①，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最
大值；当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一
项取倒数时，再乘一个正数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小
值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①错误；
对于②，第7行第1个数为 ，第8行第1个数为 ，所以第8行第2个数为 －
＝ ，所以②正确；对于③，根据组合数的性质可知， ＝ ，即
＝ （r∈N，0≤r≤n），所以③正确.综上，正确
的序号是②③.
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