第六章 《平行四边形》 2 平行四边形的判定（2）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·广安期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八下·柯桥期末）如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，下列条件不能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2025八下·鄞州期中） 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．OA=OC，OB=OD
C．AB//CD，AD//BC D．AB//CD，AD=BC
4．（2024八下·惠阳期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 在四边形 中， 交于点 ， 且 ， 则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
7． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 要使四边形 成为平行四边形， 则点 的坐标为 .
8．（2024八下·济南期中） 在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
9．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
10．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O已知OA=OC，添加①AB=DC，②AB∥DC③OB=OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是 。（填序号）
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·越城期末）如图、在矩形 中， ， 分别过点 作 于点 ， ， 连接 .
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2） 分别取 的中点 ， 连结 . 若 ， 求四边形 的面积.
12．如图，在 ABCD 中，O是边BC 的中点，连结AO并延长，交 DC的延长线于点E，连结AC，BE.
（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形.
（2）若∠D=50°，∠AOC=100°，求∠ABE的度数.
13．（2023八下·凤城期末）如图，已知，、、、在一条直线上，，．
求证：
（1）≌；
（2）四边形是平行四边形．
14．（2022八下·宝安期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
15．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.∵四边形ABCD中， 根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，
故A选项不符合题意；
B.∵四边形ABCD中， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，
故B选项不符合题意；
C.∵四边形ABCD中， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还有可能是等腰梯形，
∴不能证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项符合题意；
D.∵四边形ABCD中， . ∴四边形ABCD的两条对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判定即可.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意；
B、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意；
C、 ， ，不可以证明四边形 为平行四边形，符合题意；
D、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】直接根据平行四边形的判定定理进行判断.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
B、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
C、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
D、∵一组对边平行（AB//CD）且另一组对边相等（AD=BC），
无法推出四边形ABCD是平行四边形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法包括两组对边相等、两组对边分别平行、对角线互相平分、一组对边平行且相等；据此逐项分析即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．根据AB//CD，AD=BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．根据AB//CD，AD=AB不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，加上四选项中的条件，逐一进行验证．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC.
故选项A，B，D正确，选项C不确定.
故答案为：C.
【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对4个选项注意判断即可.
6．【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
7．【答案】（0，3）
【知识点】点的坐标；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴OA=OC=2，OB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB=3，
∵点D在y轴的正半轴，
∴点D的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法可得OD=OB=3，再求出点D的坐标即可.
8．【答案】4s或s
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=4-2t，解得t=，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-4，解得t=4，
综上所述，t=4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s.
【分析】分两种情形①当点F在线段BM上，可得方程t=4-2t；②当F在线段CM上，可得方程t=2t-4。求出以上两个方程的解即可解决本题。
9．【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
10．【答案】①
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中，
①∵OA=OC，AB=CD， 不能判定这个四边形是平行四边形 ，①符合题意；
②∵OA=OC，AB∥DC，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠CDO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD的平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），②不符合题意；
③∵OA=OC，OB=OD ，∴四边形ABCD的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），③不符合题意；
综上，符合题意得是 ① .
故答案为：①.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合各项条件，分别解答判断，即可作答.
11．【答案】（1）证明：
矩形 ，
四边形 为平行四边形
（2）解： 矩形
，∠DAC=∠ACB=60°
∴∠ADF＋∠DAC=90°，
由（1）知：
的中点为
同理：
∴ 四边形 的面积 为：.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线
【解析】【分析】
（1）先根据矩形的性质：证明，得出DF=BE，又因为，得出： 四边形 为平行四边形
（2）先根据矩形的性质得出：，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF，AF，由（1）知：，可得：，求出，根据中点的性质得出：即可 .
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD，即ABDE.
∴∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠CEA.
又∵O是边BC 的中点.
∴BO=CO.
∴在△ABO和△ECO中，
∠BAE=∠CEA
∠ABC=∠ECB
BO=CO
∴△ABO△ECO（AAS）
∴AO=EO
又∵BO=CO
∴四边形ABEC 是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥DE，AD∥BC.
又∵∠D=50°，∠AOC=100°.
∴∠D=∠ABC=50°.
∵∠AOC=∠ABC+∠BAO
∴∠BAO=100°-50°=50°.
即∠ABC=∠BAO=50°.
∴AO=BO
又∵四边形ABEC 是平行四边形.
∴AE=BC
∴四边形ABEC是矩形.
∴∠ABE=90°.
故答案为：90°.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形得出AB∥DE，由此可得出∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠CEA，然后根据已知条件：O是边BC 的中点得出BO=CO，通过证明△ABO△ECO（AAS）得出AO=EO，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明出四边形ABEC 是平行四边形.
（2）根据四边形ABCD是平行四边形即可得出∠D=∠ABC=50°，然后根据三角形外角性质即可求出∠BAO=∠ABC=50°，由此即可得出AO=BO，再根据四边形ABEC是平行四边形可得出AE=BC，进而可得出结论：四边形ABEC是矩形，最后可求出∠ABE=90°.
13．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
∴≌（HL）；
（2）解：≌
，
，
四边形BCDF是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知信息推出AC=EF，即可根据“HL”证Rt△ABC≌Rt△EDF ；
（2）根据全等三角形性质得BC=DF，∠ACB=∠DFE，根据等角的补角相等得∠BCF=∠DFC，再根据内错角相等，两直线平行，得BC∥DF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论.
14．【答案】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD=CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解： DE⊥AC，BF⊥AC，
，
，
∠DAH＝∠GBA，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
中，，
，
在中，，，
解得．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1) 根据ASA证明 △DAE≌△BCF ，得到 AD=CB ，又因为 AD∥BC ，即可证得平行四边形。
(2)勾股定理证得CG，EH，最后在中， 利用勾股定理即可证得。
15．【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
1 / 1第六章 《平行四边形》 2 平行四边形的判定（2）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·广安期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.∵四边形ABCD中， 根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，
故A选项不符合题意；
B.∵四边形ABCD中， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，
故B选项不符合题意；
C.∵四边形ABCD中， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还有可能是等腰梯形，
∴不能证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项符合题意；
D.∵四边形ABCD中， . ∴四边形ABCD的两条对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD为平行四边形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判定即可.
2．（2021八下·柯桥期末）如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，下列条件不能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意；
B、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意；
C、 ， ，不可以证明四边形 为平行四边形，符合题意；
D、 ， ，可以证明四边形 为平行四边形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】直接根据平行四边形的判定定理进行判断.
3．（2025八下·鄞州期中） 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．OA=OC，OB=OD
C．AB//CD，AD//BC D．AB//CD，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
B、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
C、∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，则本项不符合题意；
D、∵一组对边平行（AB//CD）且另一组对边相等（AD=BC），
无法推出四边形ABCD是平行四边形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法包括两组对边相等、两组对边分别平行、对角线互相平分、一组对边平行且相等；据此逐项分析即可.
4．（2024八下·惠阳期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．根据AB//CD，AD=BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．根据AB//CD，AD=AB不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，加上四选项中的条件，逐一进行验证．
5．如图， 在四边形 中， 交于点 ， 且 ， 则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC.
故选项A，B，D正确，选项C不确定.
故答案为：C.
【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对4个选项注意判断即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
7． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 要使四边形 成为平行四边形， 则点 的坐标为 .
【答案】（0，3）
【知识点】点的坐标；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴OA=OC=2，OB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB=3，
∵点D在y轴的正半轴，
∴点D的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法可得OD=OB=3，再求出点D的坐标即可.
8．（2024八下·济南期中） 在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】4s或s
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=4-2t，解得t=，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-4，解得t=4，
综上所述，t=4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s.
【分析】分两种情形①当点F在线段BM上，可得方程t=4-2t；②当F在线段CM上，可得方程t=2t-4。求出以上两个方程的解即可解决本题。
9．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
10．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O已知OA=OC，添加①AB=DC，②AB∥DC③OB=OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是 。（填序号）
【答案】①
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中，
①∵OA=OC，AB=CD， 不能判定这个四边形是平行四边形 ，①符合题意；
②∵OA=OC，AB∥DC，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠CDO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD的平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），②不符合题意；
③∵OA=OC，OB=OD ，∴四边形ABCD的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），③不符合题意；
综上，符合题意得是 ① .
故答案为：①.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合各项条件，分别解答判断，即可作答.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·越城期末）如图、在矩形 中， ， 分别过点 作 于点 ， ， 连接 .
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2） 分别取 的中点 ， 连结 . 若 ， 求四边形 的面积.
【答案】（1）证明：
矩形 ，
四边形 为平行四边形
（2）解： 矩形
，∠DAC=∠ACB=60°
∴∠ADF＋∠DAC=90°，
由（1）知：
的中点为
同理：
∴ 四边形 的面积 为：.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线
【解析】【分析】
（1）先根据矩形的性质：证明，得出DF=BE，又因为，得出： 四边形 为平行四边形
（2）先根据矩形的性质得出：，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF，AF，由（1）知：，可得：，求出，根据中点的性质得出：即可 .
12．如图，在 ABCD 中，O是边BC 的中点，连结AO并延长，交 DC的延长线于点E，连结AC，BE.
（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形.
（2）若∠D=50°，∠AOC=100°，求∠ABE的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD，即ABDE.
∴∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠CEA.
又∵O是边BC 的中点.
∴BO=CO.
∴在△ABO和△ECO中，
∠BAE=∠CEA
∠ABC=∠ECB
BO=CO
∴△ABO△ECO（AAS）
∴AO=EO
又∵BO=CO
∴四边形ABEC 是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥DE，AD∥BC.
又∵∠D=50°，∠AOC=100°.
∴∠D=∠ABC=50°.
∵∠AOC=∠ABC+∠BAO
∴∠BAO=100°-50°=50°.
即∠ABC=∠BAO=50°.
∴AO=BO
又∵四边形ABEC 是平行四边形.
∴AE=BC
∴四边形ABEC是矩形.
∴∠ABE=90°.
故答案为：90°.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形得出AB∥DE，由此可得出∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠CEA，然后根据已知条件：O是边BC 的中点得出BO=CO，通过证明△ABO△ECO（AAS）得出AO=EO，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明出四边形ABEC 是平行四边形.
（2）根据四边形ABCD是平行四边形即可得出∠D=∠ABC=50°，然后根据三角形外角性质即可求出∠BAO=∠ABC=50°，由此即可得出AO=BO，再根据四边形ABEC是平行四边形可得出AE=BC，进而可得出结论：四边形ABEC是矩形，最后可求出∠ABE=90°.
13．（2023八下·凤城期末）如图，已知，、、、在一条直线上，，．
求证：
（1）≌；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
∴≌（HL）；
（2）解：≌
，
，
四边形BCDF是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知信息推出AC=EF，即可根据“HL”证Rt△ABC≌Rt△EDF ；
（2）根据全等三角形性质得BC=DF，∠ACB=∠DFE，根据等角的补角相等得∠BCF=∠DFC，再根据内错角相等，两直线平行，得BC∥DF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论.
14．（2022八下·宝安期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD=CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解： DE⊥AC，BF⊥AC，
，
，
∠DAH＝∠GBA，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
中，，
，
在中，，，
解得．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1) 根据ASA证明 △DAE≌△BCF ，得到 AD=CB ，又因为 AD∥BC ，即可证得平行四边形。
(2)勾股定理证得CG，EH，最后在中， 利用勾股定理即可证得。
15．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
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