第七节 统计与概率的综合问题
1.（2025·常德模拟）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间x（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程.
（参考数据：＝yi＝190，（xi－）2＝60，（yi－）2＝55 482，（xi－）（yi－）＝1 800，
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝－）
2.（2024·扬州第二次调研）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1 000名消费者，得到下表：
满意 不满意
男 440 60
女 460 40
（1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
3.某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3 000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层随机抽样方法从[40，50）和[80，90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）的值.（精确到0.001）
参考数据：当t～N（μ，σ2）时，P（μ－σ＜t≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜t≤μ＋3σ）≈0.997 3.0.818 69≈0.165 1，0.181 43≈0.006 0.
4.某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.
（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
周光照量X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70
光照控制仪最多可运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
参考数据：≈0.55，≈0.95.
第七节 统计与概率的综合问题
1.解：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）设原来数据的样本中心点为（，），去掉第5天的数据后样本中心点为（'，'），
'＝（1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9）＝5，'＝x5＝5＝，
'＝（9－y5）＝（9×190－203）＝，
故＝
＝
＝
＝＝＝30，
＝'－'＝－30×5＝，所以＝30x＋.
2.解：（1）2×2列联表如表所示，
满意 不满意 总计
男 440 60 500
女 460 40 500
总计 900 100 1 000
χ2＝＝≈4.444＞3.841，
故有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关.
（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2×＝，
P（X＝2）＝××（）2＝，P（X＝3）＝（）3＝，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3.解：（1）运动时间在[40，50）的人数为3 000×0.02×10＝600.
运动时间在[80，90]的人数为3 000×0.01×10＝300.
按照分层随机抽样方法共抽取9人，则在区间[40，50）内抽取的人数为6，在区间[80，90]内抽取的人数为3.
∴随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）μ＝＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，
σ＝s≈14.6.
∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ.
∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈＝0.818 6，
∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.818 6＝0.181 4，
∴Y～B（12，0.181 4）.
∴P（Y＝3）＝×0.181 43×0.818 69≈220×0.006 0×0.165 1≈0.218.
4.解：（1）由已知数据可得＝＝5，
＝＝4.
因为（xi－）（yi－）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1＝6，
＝
＝2，
＝＝.
所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95.
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.
②安装2台光照控制仪的情形：
当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3 000－1 000＝2 000（元），P（Y＝2 000）＝＝0.2，
当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3 000＝6 000（元），
P（Y＝6 000）＝＝0.8，
故Y的分布列为：
Y 2 000 6 000
P 0.2 0.8
所以E（Y）＝2 000×0.2＋6 000×0.8＝5 200（元）.
③安装3台光照控制仪的情形：
当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000（元），
P（Y＝1 000）＝＝0.2，
当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000（元），
P（Y＝5 000）＝＝0.7，
当30＜X＜50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3 000＝9 000（元），
P（Y＝9 000）＝＝0.1，
故Y的分布列为：
Y 1 000 5 000 9 000
P 0.2 0.7 0.1
所以E（Y）＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600（元）.
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.
2 / 2第七节 统计与概率的综合问题
重点解读
统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
统计图表与概率的综合问题
（师生共研过关）
（2025·青岛一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1 000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.007 5，0.012 5，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1 000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层随机抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
解题技法
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.
（2024·黄山模拟）某校高三年级1 000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；
（2）从这次数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70，90）的人数记为X，求X的分布列及数学期望.
回归分析与概率的综合问题
（师生共研过关）
（2025·郑州名校联盟）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：
x 159 165 170 176 180
y 67 71 73 76 78
（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E（X）.
参考数据：xiyi＝62 194，＝8.6，≈16.8，
参考公式：样本相关系数
r＝，
经验回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解题技法
回归分析与概率综合问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 y（单位：秒） 50 78 124 121 137 352
计算得到一些统计量的值为：ui＝28.5，xiui＝106.05，其中ui＝ln yi.
（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.
独立性检验与概率的综合问题
（师生共研过关）
（2024·湖北七市州调研）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育 锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请列出2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E（X）和D（X）；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者” 中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解题技法
独立性检验与概率综合问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
（2025·临沂一模） “赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 3t 100
女性 t
合计 60
（1）求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；
（2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.
参考公式：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
第七节 统计与概率的综合问题
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：
30×0.15＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＋110×0.1＝67（分钟）.
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人，
ξ的可能取值为：0，1，2，
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝1.
跟踪训练
解：（1）由频率分布直方图可得（0.002 5＋0.007 5＋0.015×2＋2a）×20＝1，解得a＝0.005.
前四个矩形的面积之和为（0.002 5＋0.007 5＋2×0.015）×20＝0.8，
前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005×20＝0.9，
设这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m，
则0.8＋（m－110）×0.005＝0.85，解得m＝120，
因此，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.
（2）数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生人数之比为0.007 5∶0.015＝1∶2，
所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[50，70）的学生人数为9×＝3，
数学成绩位于[70，90）的学生人数为9×＝6，
由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P
所以，E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
考点2
【例2】 解：（1）由表中的数据和参考数据得
xi＝850，＝170，yi＝365，＝73，
（xi－）2＝112＋52＋02＋62＋102＝282，
＝8.6，（xi－）（yi－）＝xiyi－5＝62 194－170×73×5＝144，
所以r＝≈≈0.997.
因为y与x的样本相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由＝73及（1）得＝＝＝≈0.51，
＝－＝73－×170≈－13.81，
所以y关于x的经验回归方程为＝－13.81＋0.51x.
（说明：根据＝－≈73－0.51×170＝－13.70，得出＝－13.70＋0.51x也正确）
（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，
P（X＝9）＝＝，P（X＝11）＝＝，
所以E（X）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋9×＋11×＝.
跟踪训练
解：（1）对y＝aebx两边取对数可得ln y＝ln（aebx）＝ln a＋ln ebx，即ln y＝ln a＋bx，
令ui＝ln yi，所以u＝bx＋ln a，由＝ui＝4.75，
＝×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91.
所以＝
＝＝0.36，
又＝＋ln ，即4.75＝0.36×3.5＋ln ，
所以ln ＝3.49，所以＝e3.49.
所以y关于x的经验回归方程为＝e0.36x＋3.49.
（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，
所以P（X＝5）＝，P（X＝7）＝×＝，
P（X＝9）＝（）2×＝，P（X＝12）＝（）3＝，
所以X的分布列为
X 5 7 9 12
P
所以E（X）＝5×＋7×＋9×＋12×＝.
考点3
【例3】 解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关.
根据列联表的数据计算可得
χ2＝＝＝≈3.590＞2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝＝.
即可得X～B（20，），故E（X）＝20×＝，D（X）＝20××＝.
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，则
P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝＝，
P（Y＝2）＝＝＝，P（Y＝3）＝＝＝，
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝2.1.
跟踪训练
解：（1）由题意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，
2×2列联表如下：
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 60 40 100
女性 80 20 100
合计 140 60 200
零假设为H0：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，由列联表数据可得，
χ2＝＝≈9.524＞6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.
P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝＋＝，
P（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝＋＝＝，
P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
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第七节 统计与概率的综合问题
高中总复习·数学
重点解读
统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所
考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是
近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本
质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
统计图表与概率的综合问题（师生共研过关）
（2025·青岛一模）为促进全民阅读，建设
书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书
好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.
开学后，学校统计了高一年级共1 000名学生的假
期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.007 5，0.012 5，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1 000名学生假期日均阅读时间
的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
解： 由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均
阅读时间的平均数为：
30×0.15＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＋110×0.1＝67（分钟）.
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分
层随机抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设
第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机
变量ξ的分布列与数学期望.
解： 由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取
3，2，1人，ξ的可能取值为：0，1，2，
则P（ξ＝0）＝ ＝ ，P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝2）＝ ＝ ，
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
解题技法
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统
计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、
超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此
数据估计总体或作出科学的决策与判断.
（2024·黄山模拟）某校高三年级1 000名学生的高考适应性演练数学成
绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50），[50，
70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1 000名学生的这次
考试数学成绩的第85百分位数；
解： 由频率分布直方图可得
（0.002 5＋0.007 5＋0.015×2＋
2a）×20＝1，解得a＝0.005.
前四个矩形的面积之和为（0.002 5＋
0.007 5＋2×0.015）×20＝0.8，
前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005×20＝0.9，
设这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m，
则0.8＋（m－110）×0.005＝0.85，解得m＝120，
因此，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.
（2）从这次数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生中采用比例分配
的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩
在区间[70，90）的人数记为X，求X的分布列及数学期望.
解： 数学成绩位于[50，
70），[70，90）的学生人数之比
为0.007 5∶0.015＝1∶2，
所以，所抽取的9人中，数学成绩
位于[50，70）的学生人数为9×＝3，
数学成绩位于[70，90）的学生人数为9× ＝6，
由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P
所以，E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝2.
回归分析与概率的综合问题（师生共研过关）
（2025·郑州名校联盟）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例
后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间
的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数
据：
x 159 165 170 176 180
y 67 71 73 76 78
（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关
系数加以说明；
解： 由表中的数据和参考数据得
xi＝850， ＝170， yi＝365， ＝73，
（xi－ ）2＝112＋52＋02＋62＋102＝282，
＝8.6， （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－5 ＝62 194
－170×73×5＝144，
所以r＝ ≈ ≈0.997.
因为y与x的样本相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当
高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；
解： 由 ＝73及（1）得 ＝ ＝ ＝ ≈0.51， ＝
－ ＝73－ ×170≈－13.81，
所以y关于x的经验回归方程为 ＝－13.81＋0.51x.
（说明：根据 ＝ － ≈73－0.51×170＝－13.70，得出 ＝－13.70＋
0.51x也正确）
（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E
（X）.
参考数据： xiyi＝62 194， ＝8.6， ≈16.8，
参考公式：样本相关系数r＝ ，经验回归方程
＝ ＋ x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝
， ＝ － .
解： X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ，
P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝7）＝ ＝ ，
P（X＝9）＝ ＝ ，P（X＝11）＝ ＝ ，
所以E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＋7× ＋9× ＋
11× ＝ .
解题技法
回归分析与概率综合问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①
求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、
方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是
线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公
式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的
身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏
公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关
时间，如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 y（单位：秒） 50 78 124 121 137 352
计算得到一些统计量的值为： ui＝28.5， xiui＝106.05，其中ui＝ln yi.
（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x
的经验回归方程；
解： 对y＝aebx两边取对数可得ln y＝ln（aebx）＝ln a＋ln ebx，即ln
y＝ln a＋bx，
令ui＝ln yi，所以u＝bx＋ln a，由 ＝ ui＝4.75，
＝ ×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5， ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝
91.
所以 ＝ ＝ ＝0.36，
又 ＝ ＋ln ，即4.75＝0.36×3.5＋ln ，
所以ln ＝3.49，所以 ＝e3.49.
所以y关于x的经验回归方程为 ＝e0.36x＋3.49.
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2
分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都
能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为 ，若甲玩
一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.
解： 由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，
所以P（X＝5）＝ ，P（X＝7）＝ × ＝ ，
P（X＝9）＝（ ）2× ＝ ，
P（X＝12）＝（ ）3＝ ，
所以X的分布列为
X 5 7 9 12
P
所以E（X）＝5× ＋7× ＋9× ＋12× ＝ .
独立性检验与概率的综合问题（师生共研过关）
（2024·湖北七市州调研）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情
况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取
了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育 锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻
炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请列出2×2列联表，并依据小概率
值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性
有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
解： 根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性
无关.
根据列联表的数据计算可得
χ2＝ ＝ ＝ ≈3.590＞2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过
0.1.
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度
缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽
取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E（X）和D（X）；
解： 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项
分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝ ＝ .
即可得X～B（20， ），
故E（X）＝20× ＝ ，
D（X）＝20× × ＝ .
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进
一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者” 中，随机抽取3
人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解： 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，则
P（Y＝0）＝ ＝ ，
P（Y＝1）＝ ＝ ＝ ，
P（Y＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（Y＝3）＝ ＝ ＝ ，
Y 0 1 2 3
P
可得E（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ＝2.1.
故所求分布列为
解题技法
独立性检验与概率综合问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解
决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行
比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
（2025·临沂一模） “赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解
年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据
如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 3t 100
女性 t
合计 60
（1）求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人
对“赶大集”的态度与性别有关；
解： 由题意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，
2×2列联表如下：
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 60 40 100
女性 80 20 100
合计 140 60 200
零假设为H0：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，由列联表数据
可得，
χ2＝
＝ ≈9.524＞6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为年轻人
对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2
名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2
名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分
布列及数学期望E（X）.
参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解： 设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性
中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为
1，2，3，4.
P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝
＝ ，
P（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝
＝ ＝ ，
P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝ ＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·常德模拟）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小
分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间x（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及 的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少
于240人的天数，求X的分布列和数学期望；
解： 每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为
0，1，2，3，P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数
据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程.
（参考数据： ＝ yi＝190， （xi－ ）2＝60， （yi－ ）2＝55
482， （xi－ ）（yi－ ）＝1 800，
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直
线 ＝ x＋ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝
＝ ， ＝ － ）
解： 设原来数据的样本中心点为（ ， ），去掉第5天的数据后样
本中心点为（ '， '），
'＝ （1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9）＝5， '＝x5＝5＝ ，
'＝ （9 －y5）＝ （9×190－203）＝ ，
故 ＝
＝
＝
＝ ＝ ＝30，
＝ '－ '＝ －30×5＝ ，所以 ＝30x＋ .
2. （2024·扬州第二次调研）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费
者对新产品的满意度，从中随机调查了1 000名消费者，得到下表：
满意 不满意
男 440 60
女 460 40
（1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
解： 2×2列联表如表所示，
满意 不满意 总计
男 440 60 500
女 460 40 500
总计 900 100 1 000
χ2＝ ＝ ≈4.444＞3.841，
故有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关.
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满
意的人数，求X的分布列与数学期望.
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解： 由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为
，X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P（X＝0）＝（ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ （ ）2× ＝ ，
P（X＝2）＝ × ×（ ）2＝ ，
P（X＝3）＝（ ）3＝ ，
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
所以X的分布列为：
3. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3 000名学生，统计
了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层随机抽样方法从[40，50）和[80，90]中随机抽取了9名学
生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名
学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列；
解： 运动时间在[40，50）的人数为3 000×0.02×10＝600.
运动时间在[80，90]的人数为3 000×0.01×10＝300.
按照分层随机抽样方法共抽取9人，则在区间[40，50）内抽取的人数为
6，在区间[80，90]内抽取的人数为3.
∴随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t近似服从正态分布N
（μ，σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，
并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初
中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数
为Y，求P（Y＝3）的值.（精确到0.001）
参考数据：当t～N（μ，σ2）时，P（μ－σ＜t≤μ＋σ）≈0.682 7，P
（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜t≤μ＋3σ）≈0.997
3.0.818 69≈0.165 1，0.181 43≈0.006 0.
解： μ＝ ＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋
75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝s≈14.6.
∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ.
∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈ ＝
0.818 6，
∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.818 6＝0.181 4，∴Y～B（12，
0.181 4）.
∴P（Y＝3）＝ ×0.181 43×0.818 69≈220×0.006 0×0.165
1≈0.218.
4. 某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各
类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照
量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时
的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35
周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的
西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.
（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本
相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程
度很高，可用线性回归模型拟合）
解： 由已知数据可得 ＝ ＝5，
＝ ＝4.
因为 （xi－ ）（yi－ ）＝（－3）×（－
1）＋0＋0＋0＋3×1＝6，
＝
＝2 ，
＝ ＝ .
所以样本相关系数r＝ ＝ ＝ ≈0.95.
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部
分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如
下关系：
周光照量X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70
光照控制仪最 多可运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照
控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率，商家
欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
参考数据： ≈0.55， ≈0.95.
解： 记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.
②安装2台光照控制仪的情形：
当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3 000－1 000＝
2 000（元），P（Y＝2 000）＝ ＝0.2，
当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3 000＝
6 000（元），P（Y＝6 000）＝ ＝0.8，
故Y的分布列为：
Y 2 000 6 000
P 0.2 0.8
所以E（Y）＝2 000×0.2＋6 000×0.8＝5 200（元）.
③安装3台光照控制仪的情形：
当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝1×3 000－2×1
000＝1 000（元），
P（Y＝1 000）＝ ＝0.2，
当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝2×3 000－
1×1 000＝5 000（元），
P（Y＝5 000）＝ ＝0.7，
当30＜X＜50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3 000＝9 000
（元），
P（Y＝9 000）＝ ＝0.1，
故Y的分布列为：
Y 1 000 5 000 9 000
P 0.2 0.7 0.1
所以E（Y）＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600（元）.
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.
THANKS
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