第六章 《平行四边形》 2 平行四边形的判定（3）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·成都月考）如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：通过尺规作图得：BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AB=CD
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵AE＝3
∴AB=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE=，
∵AD=AE+DE=5，
∴ ABCD的面积为AD CE=5．
故答案为：A．
【分析】
由尺规作图得BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得ADBC，利用平行线的性质得∠AEB=∠CBE，则AB=AE=3，由勾股定理得CE的长，利用平行四边形的面积公式可求得 ABCD的面积．
2．（2024八下·光明期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
3．（2024八下·麒麟期中） 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：由题意得：AP=t，CQ=2.5t，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=6cm，AD=BC=10cm，PD∥BQ
要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ
当0＜t≤4，PD=10-t，BQ=10-2.5t
即10-t=10-2.5t
解得：t=0（不符合题意，舍去）
当4＜t≤8时，PD=10-t，BQ=2.5t-10
即10-t=2.5t-10
解得：t=；
当8＜t≤10时，PD=10-t，CQ=2.5t-10，BQ=30-2.5t
由PD=BQ得：10-t=30-2.5t
解得：t=(不符合题意，舍去)
综上：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，t=
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和解一元一次方程，熟知分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题关键.由四边形ABCD是平行四边形可知：PD∥BQ，再由平行四边形判定可知：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ，根据点P与点Q的运动情况可分：0＜t≤4，4＜t≤8，8＜t≤10三种情况计算t的值，即可得出答案.
4．（2022八下·易县期中）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC
C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边
∴∠B＝∠C，
∵PN∥AC，
∴∠BPN＝∠C＝∠B，
∴PN＝BN，
∵PM∥AB，PN∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴PM＝AN，
∴PM+PN＝AN+BN＝AB，
故答案为：A．
【分析】先证出四边形AMPN是平行四边形，可得PM＝AN，再利用线段的和差及等量代换可得PM+PN＝AN+BN＝AB，从而得解。
5．（2024八下·阜平期中） 如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：甲方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵BN=DM，
∴ON=OM，
在四边形EMFN中，由对角线互相平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴甲方案正确，符合题意；
乙方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，
∴FN//EM，
在△EMO和△FNO中，
，
∴△EMO≌△FNO（AAS），
∴ME=NF，
在四边形EMFN中，由一组对边平行且相等可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴乙方案正确，符合题意；
丙方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴∠FNO=∠EMO，
在△EMO和△FNO中，
，
∴△EMO≌△FNO（ASA），
∴MO=NO，
在四边形EMFN中，由对角线互相平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴丙方案正确，符合题意；
综上所述，甲、乙、丙三种方案都符合题意，
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的判定方法，再结合题干中的条件分析并逐项判断即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·榕城期中）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为9，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
【分析】根据平移前后线段互相平行且相等得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
7．（2024八下·桂阳期中）如图，四边形中，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则两邻角互补．
8．（2024八下·通道期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD-DF=5-2=3，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∵∠EFA＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF，
∴∠AEF＝∠EFA，
∴AE＝AF＝3，
故答案为：3
【分析】先根据平行四边形的性质求得CD和DF，再利用线段差求得AF，然后根据平行线的性质可以得到 ∠AEF＝∠EFA， 再根据等边角对等边，求得AE．
9．（2024八下·港北期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．
【答案】8
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质是解题关键．
根据题意和平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠ADF＝∠DFC，再根据角平分线的定义和DF平分∠ADC可得：∠ADF＝∠CDF，等量代换得：∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定：等角对等边可得：CF＝CD，同理BE＝AB，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的性质：对边相等可得：AB＝CD，AD＝BC，等量代换得：AB＝BE＝CF＝CD＝5，最后根据线段的和差可知：BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，即AD＝BC＝8，由此可得出答案．
10．（2024八下·桦甸月考）如图，E为内任一点，且的面积为10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则等于平行四边形边上的高，
，
，
故答案为：5．
【分析】本题考查三角形的面积公式，平行四边形的性质．利用三角形面积公式进行推导可知：图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即，代入数据可求出答案．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·广安期中）已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F在直线AC上，并且AE=CF.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：∵AB⊥AC， BO=13， AB=12，
在Rt△AOB中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC =5， 即AC=10，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明.
(2)根据AB⊥AC可知△AOB为直角三角形， 由勾股定理可求得OA=OC=5， ABCD的面积可看成由两个Rt△ABC组成，即可求得答案.
12．（2023八下·东湖期末）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，则，根据角之间的关系可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2021八下·拱墅月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD
（2）证明：∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AB＝CD， 再结合角平分线的定义推得∠BAE＝∠AEB，可得BE＝AB，从而得出BE=CD；
（2）由等腰三角形的性质得出AF＝EF， 再利用角边角定理证明△ADF≌△ECF，得出DF=CF，则可证明四边形ACED是平行四边形.
14．（2024八下·南海期末）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连接，若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由垂直的概念可得到一组同位角相等，先证明AC平行DF，再由等角的补角相等可得一组同旁内角互补，可得AD平行CF即可；
（2）可利用证得，则，可判定四边形CFD是菱形此时可设，则，利用勾股定理可得到关于的一元二次方程，求解即可得到EF的长，则CE可求，则四边形面积可求．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
15．（2022八下·温州期中）如图，四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接和.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，且，，求的长度.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，点是的中点，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知∠C=∠ADC=90°，则∠C+∠ADC=180°，推出AD∥FB，根据平行线的性质可得∠ADE=∠BFE，由中点的概念可得AE=BE，利用AAS证明△AED≌△BEF，得到AD=BF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由中点的概念可得AE=BE=1，利用勾股定理可求出DE的值，由平行四边形的性质可得EF=DE，BF=AD，然后求出DF的值，接下来根据等面积法进行计算即可.
1 / 1第六章 《平行四边形》 2 平行四边形的判定（3）-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·成都月考）如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．20
2．（2024八下·光明期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024八下·麒麟期中） 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022八下·易县期中）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC
C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC
5．（2024八下·阜平期中） 如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·榕城期中）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
7．（2024八下·桂阳期中）如图，四边形中，，，则 ．
8．（2024八下·通道期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为 ．
9．（2024八下·港北期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．
10．（2024八下·桦甸月考）如图，E为内任一点，且的面积为10，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·广安期中）已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F在直线AC上，并且AE=CF.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，求 ABCD的面积．
12．（2023八下·东湖期末）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
13．（2021八下·拱墅月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形.
14．（2024八下·南海期末）在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连接，若平分，，，求四边形的面积．
15．（2022八下·温州期中）如图，四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接和.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，且，，求的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：通过尺规作图得：BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AB=CD
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵AE＝3
∴AB=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE=，
∵AD=AE+DE=5，
∴ ABCD的面积为AD CE=5．
故答案为：A．
【分析】
由尺规作图得BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得ADBC，利用平行线的性质得∠AEB=∠CBE，则AB=AE=3，由勾股定理得CE的长，利用平行四边形的面积公式可求得 ABCD的面积．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：由题意得：AP=t，CQ=2.5t，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=6cm，AD=BC=10cm，PD∥BQ
要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ
当0＜t≤4，PD=10-t，BQ=10-2.5t
即10-t=10-2.5t
解得：t=0（不符合题意，舍去）
当4＜t≤8时，PD=10-t，BQ=2.5t-10
即10-t=2.5t-10
解得：t=；
当8＜t≤10时，PD=10-t，CQ=2.5t-10，BQ=30-2.5t
由PD=BQ得：10-t=30-2.5t
解得：t=(不符合题意，舍去)
综上：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，t=
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和解一元一次方程，熟知分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题关键.由四边形ABCD是平行四边形可知：PD∥BQ，再由平行四边形判定可知：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ，根据点P与点Q的运动情况可分：0＜t≤4，4＜t≤8，8＜t≤10三种情况计算t的值，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边
∴∠B＝∠C，
∵PN∥AC，
∴∠BPN＝∠C＝∠B，
∴PN＝BN，
∵PM∥AB，PN∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴PM＝AN，
∴PM+PN＝AN+BN＝AB，
故答案为：A．
【分析】先证出四边形AMPN是平行四边形，可得PM＝AN，再利用线段的和差及等量代换可得PM+PN＝AN+BN＝AB，从而得解。
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：甲方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵BN=DM，
∴ON=OM，
在四边形EMFN中，由对角线互相平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴甲方案正确，符合题意；
乙方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，
∴FN//EM，
在△EMO和△FNO中，
，
∴△EMO≌△FNO（AAS），
∴ME=NF，
在四边形EMFN中，由一组对边平行且相等可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴乙方案正确，符合题意；
丙方案：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF，
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴∠FNO=∠EMO，
在△EMO和△FNO中，
，
∴△EMO≌△FNO（ASA），
∴MO=NO，
在四边形EMFN中，由对角线互相平分可知，四边形EMFN为平行四边形；
∴丙方案正确，符合题意；
综上所述，甲、乙、丙三种方案都符合题意，
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的判定方法，再结合题干中的条件分析并逐项判断即可.
6．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为9，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
【分析】根据平移前后线段互相平行且相等得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
7．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则两邻角互补．
8．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD-DF=5-2=3，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∵∠EFA＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF，
∴∠AEF＝∠EFA，
∴AE＝AF＝3，
故答案为：3
【分析】先根据平行四边形的性质求得CD和DF，再利用线段差求得AF，然后根据平行线的性质可以得到 ∠AEF＝∠EFA， 再根据等边角对等边，求得AE．
9．【答案】8
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质是解题关键．
根据题意和平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠ADF＝∠DFC，再根据角平分线的定义和DF平分∠ADC可得：∠ADF＝∠CDF，等量代换得：∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定：等角对等边可得：CF＝CD，同理BE＝AB，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的性质：对边相等可得：AB＝CD，AD＝BC，等量代换得：AB＝BE＝CF＝CD＝5，最后根据线段的和差可知：BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，即AD＝BC＝8，由此可得出答案．
10．【答案】5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则等于平行四边形边上的高，
，
，
故答案为：5．
【分析】本题考查三角形的面积公式，平行四边形的性质．利用三角形面积公式进行推导可知：图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即，代入数据可求出答案．
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：∵AB⊥AC， BO=13， AB=12，
在Rt△AOB中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC =5， 即AC=10，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明.
(2)根据AB⊥AC可知△AOB为直角三角形， 由勾股定理可求得OA=OC=5， ABCD的面积可看成由两个Rt△ABC组成，即可求得答案.
12．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，则，根据角之间的关系可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD
（2）证明：∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AB＝CD， 再结合角平分线的定义推得∠BAE＝∠AEB，可得BE＝AB，从而得出BE=CD；
（2）由等腰三角形的性质得出AF＝EF， 再利用角边角定理证明△ADF≌△ECF，得出DF=CF，则可证明四边形ACED是平行四边形.
14．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由垂直的概念可得到一组同位角相等，先证明AC平行DF，再由等角的补角相等可得一组同旁内角互补，可得AD平行CF即可；
（2）可利用证得，则，可判定四边形CFD是菱形此时可设，则，利用勾股定理可得到关于的一元二次方程，求解即可得到EF的长，则CE可求，则四边形面积可求．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，点是的中点，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知∠C=∠ADC=90°，则∠C+∠ADC=180°，推出AD∥FB，根据平行线的性质可得∠ADE=∠BFE，由中点的概念可得AE=BE，利用AAS证明△AED≌△BEF，得到AD=BF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由中点的概念可得AE=BE=1，利用勾股定理可求出DE的值，由平行四边形的性质可得EF=DE，BF=AD，然后求出DF的值，接下来根据等面积法进行计算即可.
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