第六章 《平行四边形》3 三角形的中位线-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·南宁月考）如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边、AC的中点，∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
2．（2024八下·濠江期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC；BA⊥OA，BC⊥OC，
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=BC=3，AB=OC=2，
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=OA=1.5；EF=DG=AB=1，
∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.
故答案为：D.
【分析】由B点坐标及矩形性质知OA=BC=3，AB=OC=2，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求四边形DEFG的各边长度，从而求周长.
3．（2024八下·南沙期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接． 若 的长为6，的周长为10，则 的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的对角线相交于点O，
∴，，，，
∵点E是中点，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的周长；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，，再根据线段中点可得，由三角形周长可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．（2024八下·道县期末）如图， 的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD=9，DO=BO，
∴ ∠CDP=∠APD，
∵ DP平分∠ADC，
∴ ∠ADP=∠CDP，
∴ ∠ADP=∠APD，
∴ △ADP为等腰三角形，
∴ AD=AP=6，
∴ BP=AB-AP=9-6=3，
∵ E是PD的中点，
∴ DE=PE，
∴ EO=BP=.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=9，DO=BO，根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADP=∠APD，根据等角对等边可得AP，再求出BP，根据三角形的中位线的性质可得 EO=BP，即可求得.
5．（2023八下·桂林期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，如图，
∴，
∵点F、G分别为的中点，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AE，连接，根据勾股定理可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·盐田期末）已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的中点，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的底边上的高与底边上的中线互相重合可得是的中点，再根据三角形中位线定理可得，，即可求出答案.
7．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， 是对角线 的中点， 点 分别是 的中点， ， 则 的度数是 .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而结合题意得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解.
8．如图， 矩形 的对角线 与 相交于点 分别为 的中点， 则 的长度为
【答案】2.5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5，
故答案为：2.5．
【分析】先根据矩形的性质得出AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再根据三角形中位线定理得出PQ＝DO，从而得出PQ的长度．
9．（2024八下·安顺期末）如图，在中，，，是的中点，是上一点. 若平分的周长，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
，
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
．
故答案为：．
【分析】延长BA至F，使得AF=AC，连接CF，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形得到，再证明，进而推出ED是△CBF的中位线，则．
10．（2024八下·永定期末）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．若BA'：A'C＝2：1，且△DBA'的面积为4，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结AA'，如图所示：
∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．
∴DE∥BC，且DE=，AA'⊥DE，
∴S△BDA'=，S△EA'C=，
∵BA'：A'C＝2：1，
∴S△BDA'：S△EA'C=：=，
∵，
∴S△EA'C=，
∵S△BDA'+S△EA'C=+===4+2=6，
而S△ADE=S△A'DE=，
∴S△ABC=S△ADE+S△A'DE+S△DBA'+S△AEC=4+3+2+3=12．
故答案为：12
【分析】连结AA'，先根据折叠的性质得到DE∥BC，且DE=，AA'⊥DE，进而根据三角形的面积结合题意即可得到S△EA'C=，从而根据三角形的面积结合题意求出S△BDA'+S△EA'C，再根据S△ABC=S△ADE+S△A'DE+S△DBA'+S△AEC即可求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·赤坎期中）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用等量代换可得，从而证出四边形是平行四边形；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得．
12．（2024八下·北仑月考）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且.
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形.
（2）如图2，连AC交BD于点，若，求HF的长.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EDH=∠FBG.
∵ 点E、F分别为AD，BC的中点，
∴，
在△EDH和△FBG中，
，
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴EH=FG，∠EHD=∠FGB，
∴EH//GF，
∴四边形FHFG是平行四边形.
（2）解：∵四边形FHFG是平行四边形，
∴HO=GO，
∵HG=2BH，
∴HO=HB.
∵平行四边形ABCD，
∴.
∵点F为BC中点，
∴HF为△BCO的中位线
∴.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证得AD=BC，AD//BC，从而有∠EDH=∠FBG.根据线段中点定义得ED=BF，即可利用SAS证明△EDH≌△FBG，于是有EH=FG，∠EHD=∠FGB，根据平行线判定定理得EH//GF，即可得到结论；
（2）根据平行四边形性质证得HO=GO，AO=CO，根据线段中点定义结合HO=BO可证明HF为△BCO的中位线，即可得求得HF的值.
13．（2024八下·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
∴在和中，
，
∴，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解： 连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，
∴OA=OC，OB=OD=5，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴，即EG的长为.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，从而得∠GAE=∠HCF，进一步证AG=CH，证，得GE=HF，∠AEG=∠CFH，再根据邻角互补得∠GEF=∠HFE，所以GE∥HF，即可得出结论；
（2）连接BD交AC于点O，先根据平行线的性质得OA=OC，OB=5，然后得OE=OF，进一步证AE=OE，从而得EG是△ABO的中位线，最后根据中位线定理得EG的长.
14．（2023八下·河东期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，利用三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，据此即得结论.
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1第六章 《平行四边形》3 三角形的中位线-----北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·南宁月考）如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024八下·濠江期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2024八下·南沙期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接． 若 的长为6，的周长为10，则 的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．（2024八下·道县期末）如图， 的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为( )
A． B． C． D．
5．（2023八下·桂林期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F，分别是的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·盐田期末）已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为
7．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， 是对角线 的中点， 点 分别是 的中点， ， 则 的度数是 .
8．如图， 矩形 的对角线 与 相交于点 分别为 的中点， 则 的长度为
9．（2024八下·安顺期末）如图，在中，，，是的中点，是上一点. 若平分的周长，则的长为 ．
10．（2024八下·永定期末）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．若BA'：A'C＝2：1，且△DBA'的面积为4，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·赤坎期中）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
12．（2024八下·北仑月考）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且.
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形.
（2）如图2，连AC交BD于点，若，求HF的长.
13．（2024八下·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长．
14．（2023八下·河东期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，求的长．
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边、AC的中点，∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC；BA⊥OA，BC⊥OC，
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=BC=3，AB=OC=2，
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=OA=1.5；EF=DG=AB=1，
∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.
故答案为：D.
【分析】由B点坐标及矩形性质知OA=BC=3，AB=OC=2，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求四边形DEFG的各边长度，从而求周长.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的对角线相交于点O，
∴，，，，
∵点E是中点，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的周长；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，，再根据线段中点可得，由三角形周长可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD=9，DO=BO，
∴ ∠CDP=∠APD，
∵ DP平分∠ADC，
∴ ∠ADP=∠CDP，
∴ ∠ADP=∠APD，
∴ △ADP为等腰三角形，
∴ AD=AP=6，
∴ BP=AB-AP=9-6=3，
∵ E是PD的中点，
∴ DE=PE，
∴ EO=BP=.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=9，DO=BO，根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADP=∠APD，根据等角对等边可得AP，再求出BP，根据三角形的中位线的性质可得 EO=BP，即可求得.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，如图，
∴，
∵点F、G分别为的中点，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AE，连接，根据勾股定理可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的中点，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的底边上的高与底边上的中线互相重合可得是的中点，再根据三角形中位线定理可得，，即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而结合题意得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解.
8．【答案】2.5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5，
故答案为：2.5．
【分析】先根据矩形的性质得出AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再根据三角形中位线定理得出PQ＝DO，从而得出PQ的长度．
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
，
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
．
故答案为：．
【分析】延长BA至F，使得AF=AC，连接CF，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形得到，再证明，进而推出ED是△CBF的中位线，则．
10．【答案】12
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结AA'，如图所示：
∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A'处．
∴DE∥BC，且DE=，AA'⊥DE，
∴S△BDA'=，S△EA'C=，
∵BA'：A'C＝2：1，
∴S△BDA'：S△EA'C=：=，
∵，
∴S△EA'C=，
∵S△BDA'+S△EA'C=+===4+2=6，
而S△ADE=S△A'DE=，
∴S△ABC=S△ADE+S△A'DE+S△DBA'+S△AEC=4+3+2+3=12．
故答案为：12
【分析】连结AA'，先根据折叠的性质得到DE∥BC，且DE=，AA'⊥DE，进而根据三角形的面积结合题意即可得到S△EA'C=，从而根据三角形的面积结合题意求出S△BDA'+S△EA'C，再根据S△ABC=S△ADE+S△A'DE+S△DBA'+S△AEC即可求解.
11．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用等量代换可得，从而证出四边形是平行四边形；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得．
12．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EDH=∠FBG.
∵ 点E、F分别为AD，BC的中点，
∴，
在△EDH和△FBG中，
，
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴EH=FG，∠EHD=∠FGB，
∴EH//GF，
∴四边形FHFG是平行四边形.
（2）解：∵四边形FHFG是平行四边形，
∴HO=GO，
∵HG=2BH，
∴HO=HB.
∵平行四边形ABCD，
∴.
∵点F为BC中点，
∴HF为△BCO的中位线
∴.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证得AD=BC，AD//BC，从而有∠EDH=∠FBG.根据线段中点定义得ED=BF，即可利用SAS证明△EDH≌△FBG，于是有EH=FG，∠EHD=∠FGB，根据平行线判定定理得EH//GF，即可得到结论；
（2）根据平行四边形性质证得HO=GO，AO=CO，根据线段中点定义结合HO=BO可证明HF为△BCO的中位线，即可得求得HF的值.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
∴在和中，
，
∴，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解： 连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，
∴OA=OC，OB=OD=5，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴，即EG的长为.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，从而得∠GAE=∠HCF，进一步证AG=CH，证，得GE=HF，∠AEG=∠CFH，再根据邻角互补得∠GEF=∠HFE，所以GE∥HF，即可得出结论；
（2）连接BD交AC于点O，先根据平行线的性质得OA=OC，OB=5，然后得OE=OF，进一步证AE=OE，从而得EG是△ABO的中位线，最后根据中位线定理得EG的长.
14．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，利用三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，据此即得结论.
15．【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
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