5.3 分式的加减法 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1.(2025八下·衡南月考)下列式子运算结果为的是( )
A. B. C. D.
2.(2025八下·兴宁月考)计算的结果是( )
A. B. C.1 D.
3.(2025八下·威远期中)已知,则代数式的值为( )
A.1 B. C. D.
4.(2025八下·叙州月考)已知,求( )
A. B.12 C. D.18
5.(2025八下·衡南月考)对于任意的值都有,则,值为( )
A., B., C., D.,
6.(2025八下·德阳月考)已知,则的值是( )
A.5 B. C.4 D.
7.(2025八下·嘉兴月考)实数满足,则( )
A.186 B.188 C.190 D.192
8.(2022八上·莱西期中)照相机成像应用了一个重要原理,用公式表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A. B. C. D.
9.(2024八下·无棣月考)已知a,b为实数,且,设,则M,N的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
10.(2025八下·潮阳开学考)轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.(2024八下·东台月考)已知,则 .
12.(江苏省连云港市海州实验中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题)分式,,的最简公分母是 .
13.(2024八下·普洱期末)当时,分式的值是 .
14.(2024八下·锦江期末)已知,,代数式的值为 .
15.(2024八下·天津市期中)已知,,则的值为 .
16.(2024八下·保定期末)定义新运算:,若,则的值是 .
17.(2024八下·仪征期中)对于正数x, 规定 例如:则
18.(2024八下·花都期末)有一组数据:,,,,.记,则 .
三、计算题
19.(2025八下·昆山月考)计算∶
(1)
(2)
20.(江苏省无锡市查桥中学2024-2025学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题)计算:
(1)
(2)
21.(2025八下·泸县月考)化简求值:,其中.
22.(2025八下·恩阳月考)先化简,再求值:,在,2,1,中选一个你最喜欢的数带入求值.
23.(2025八下·威远期中)先化简,再求值:,然后选一个恰当的的值代入求值.
四、解答题
24.(2024八下·银州期末)已知,,求下列代数式的值:
(1)
(2)
25.(2024八下·广饶期末)按要求化简、求值或解方程.
(1),为实数,且满足,求的算术平方根;
(2)先化简,再求值:,其中
(3)解方程:
26.(2025八下·威远期中)通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数.如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
如,这样的分式就是假分式;,这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).
如:.
解决下列问题:
(1)分式是_____分式(填“真”或“假”);
(2)将假分式化为带分式;
(3)求所有符合条件的整数x的值,使得的值为整数.
27.(2025八下·衡阳月考)定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式是分式的“分裂分式”.如与,因为,所以是的“分裂分式”.
(1)填空:分式___________分式的“分裂分式”(填“是”或“不是”);
(2)分式是分式的“分裂分式”.求整数为何值时,分式的值是正整数,并写出分式的值.
(3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”,求的值.
五、阅读理解题
28.(2024八下·泉州月考)阅读下列两份材料,理解其含义并解决下列问题:
【阅读材料1】如果两个正数a,b,即,,则有下面的不等式:,当且仅当时取等号.它在数学中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.
【实例剖析1】已知,求式子的最小值.
解:令,,则由,得,当且仅当时,即时,式子有最小值,最小值为4.
【阅读材料2】我们知道,分子比分母小的分数叫做“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”.类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
【实例剖析2】如:,这样的分式就是假分式;如:,这样的分式就是真分式,假分数,可以化成带分数的形式,类似的,假分式也可以化为带分式.如:,.
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题:
(1)已知x>0,则当 时,式子取到最小值,最小值为 ;
(2)分式是 (填“真分式”或“假分式”);假分式可化为带分式形式 ;如果分式的值为整数,则满足条件的整数x的值有 个;
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园,问这个矩形的两邻边长各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(4)已知,当x取何值时,分式取到最大值,最大值为多少?
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法
2.【答案】B
【知识点】分式的加减法
3.【答案】B
【知识点】分式的值;分式的加减法
4.【答案】D
【知识点】分式的化简求值
5.【答案】B
【知识点】分式的加减法;解二元一次方程组
6.【答案】D
【知识点】分式的化简求值;二次根式的混合运算
7.【答案】D
【知识点】平方差公式及应用;分式的加减法
【解析】【解答】解:∵
∴,,
=
化简:原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192,
故选:D.
【分析】通过等量代换,可得,同理可得,,将原式变形,分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解,化简计算即可.
8.【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵,
∴
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据可得,再利用分式的减法计算方法求解即可。
9.【答案】B
【知识点】分式的加减法
10.【答案】D
【知识点】分式的加减法
11.【答案】3
【知识点】分式的加减法;分式的化简求值
12.【答案】12x2y2
【知识点】最简公分母
13.【答案】
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;分式的混合运算;分式的化简求值-直接代入
14.【答案】
【知识点】分式的化简求值
15.【答案】
【知识点】完全平方公式及运用;分式的化简求值;二次根式的性质与化简
16.【答案】
【知识点】分式的化简求值
17.【答案】
【知识点】分式的加减法
18.【答案】
【知识点】分式的加减法;探索数与式的规律
19.【答案】(1)
(2)
【知识点】分式的加减法
20.【答案】(1)
(2)
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法
21.【答案】,
【知识点】分式的化简求值;二次根式的化简求值
22.【答案】,当时,原式,当时,原式
【知识点】分式的化简求值
23.【答案】(答案不唯一).
【知识点】分式有无意义的条件;分式的化简求值
24.【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解的应用;分式的化简求值;二次根式的混合运算
25.【答案】(1)
(2),
(3)或
【知识点】分式的化简求值;二次根式有意义的条件;因式分解法解一元二次方程;求算术平方根
26.【答案】(1)真;
(2);
(3).
【知识点】分式的概念;分式有无意义的条件;分式的加减法
27.【答案】(1)是
(2)时,;时,;时,
(3)
【知识点】分式的加减法;解二元一次方程组
28.【答案】(1)3,6
(2)真分式,,4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40米
(4)当时,分式取到最大值,最大值为
【知识点】完全平方公式及运用;分式的加减法;分式的化简求值;二次根式的应用
1 / 15.3 分式的加减法 培优练习—2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题
1.(2025八下·衡南月考)下列式子运算结果为的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法
2.(2025八下·兴宁月考)计算的结果是( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【知识点】分式的加减法
3.(2025八下·威远期中)已知,则代数式的值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】B
【知识点】分式的值;分式的加减法
4.(2025八下·叙州月考)已知,求( )
A. B.12 C. D.18
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
5.(2025八下·衡南月考)对于任意的值都有,则,值为( )
A., B., C., D.,
【答案】B
【知识点】分式的加减法;解二元一次方程组
6.(2025八下·德阳月考)已知,则的值是( )
A.5 B. C.4 D.
【答案】D
【知识点】分式的化简求值;二次根式的混合运算
7.(2025八下·嘉兴月考)实数满足,则( )
A.186 B.188 C.190 D.192
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用;分式的加减法
【解析】【解答】解:∵
∴,,
=
化简:原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192,
故选:D.
【分析】通过等量代换,可得,同理可得,,将原式变形,分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解,化简计算即可.
8.(2022八上·莱西期中)照相机成像应用了一个重要原理,用公式表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵,
∴
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】根据可得,再利用分式的减法计算方法求解即可。
9.(2024八下·无棣月考)已知a,b为实数,且,设,则M,N的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【知识点】分式的加减法
10.(2025八下·潮阳开学考)轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】分式的加减法
二、填空题
11.(2024八下·东台月考)已知,则 .
【答案】3
【知识点】分式的加减法;分式的化简求值
12.(江苏省连云港市海州实验中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题)分式,,的最简公分母是 .
【答案】12x2y2
【知识点】最简公分母
13.(2024八下·普洱期末)当时,分式的值是 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;分式的混合运算;分式的化简求值-直接代入
14.(2024八下·锦江期末)已知,,代数式的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
15.(2024八下·天津市期中)已知,,则的值为 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用;分式的化简求值;二次根式的性质与化简
16.(2024八下·保定期末)定义新运算:,若,则的值是 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
17.(2024八下·仪征期中)对于正数x, 规定 例如:则
【答案】
【知识点】分式的加减法
18.(2024八下·花都期末)有一组数据:,,,,.记,则 .
【答案】
【知识点】分式的加减法;探索数与式的规律
三、计算题
19.(2025八下·昆山月考)计算∶
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式的加减法
20.(江苏省无锡市查桥中学2024-2025学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题)计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式的乘除法;分式的加减法
21.(2025八下·泸县月考)化简求值:,其中.
【答案】,
【知识点】分式的化简求值;二次根式的化简求值
22.(2025八下·恩阳月考)先化简,再求值:,在,2,1,中选一个你最喜欢的数带入求值.
【答案】,当时,原式,当时,原式
【知识点】分式的化简求值
23.(2025八下·威远期中)先化简,再求值:,然后选一个恰当的的值代入求值.
【答案】(答案不唯一).
【知识点】分式有无意义的条件;分式的化简求值
四、解答题
24.(2024八下·银州期末)已知,,求下列代数式的值:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解的应用;分式的化简求值;二次根式的混合运算
25.(2024八下·广饶期末)按要求化简、求值或解方程.
(1),为实数,且满足,求的算术平方根;
(2)先化简,再求值:,其中
(3)解方程:
【答案】(1)
(2),
(3)或
【知识点】分式的化简求值;二次根式有意义的条件;因式分解法解一元二次方程;求算术平方根
26.(2025八下·威远期中)通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数.如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
如,这样的分式就是假分式;,这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).
如:.
解决下列问题:
(1)分式是_____分式(填“真”或“假”);
(2)将假分式化为带分式;
(3)求所有符合条件的整数x的值,使得的值为整数.
【答案】(1)真;
(2);
(3).
【知识点】分式的概念;分式有无意义的条件;分式的加减法
27.(2025八下·衡阳月考)定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式是分式的“分裂分式”.如与,因为,所以是的“分裂分式”.
(1)填空:分式___________分式的“分裂分式”(填“是”或“不是”);
(2)分式是分式的“分裂分式”.求整数为何值时,分式的值是正整数,并写出分式的值.
(3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”,求的值.
【答案】(1)是
(2)时,;时,;时,
(3)
【知识点】分式的加减法;解二元一次方程组
五、阅读理解题
28.(2024八下·泉州月考)阅读下列两份材料,理解其含义并解决下列问题:
【阅读材料1】如果两个正数a,b,即,,则有下面的不等式:,当且仅当时取等号.它在数学中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.
【实例剖析1】已知,求式子的最小值.
解:令,,则由,得,当且仅当时,即时,式子有最小值,最小值为4.
【阅读材料2】我们知道,分子比分母小的分数叫做“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”.类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
【实例剖析2】如:,这样的分式就是假分式;如:,这样的分式就是真分式,假分数,可以化成带分数的形式,类似的,假分式也可以化为带分式.如:,.
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题:
(1)已知x>0,则当 时,式子取到最小值,最小值为 ;
(2)分式是 (填“真分式”或“假分式”);假分式可化为带分式形式 ;如果分式的值为整数,则满足条件的整数x的值有 个;
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园,问这个矩形的两邻边长各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(4)已知,当x取何值时,分式取到最大值,最大值为多少?
【答案】(1)3,6
(2)真分式,,4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40米
(4)当时,分式取到最大值,最大值为
【知识点】完全平方公式及运用;分式的加减法;分式的化简求值;二次根式的应用
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