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专题04 活用正余弦定理玩转三角形
【题型归纳目录】
题型一：利用正余弦定理解三角形
题型二：三角形形状的判断
题型三：三角形的多解问题
题型四：周长与面积问题
题型五：实际应用问题
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
题型七：综合应用问题
【知识点梳理】
1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
2、余弦定理
，，，
，，
3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
【典型例题】
题型一：利用正余弦定理解三角形
【例1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，是边上的点，，，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式1-2】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
题型二：三角形形状的判断
【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【变式2-1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【变式2-2】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式2-3】（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的
题型三：三角形的多解问题
【例3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（ ）
A．7 B． C．9 D．10
【变式3-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
题型四：周长与面积问题
【例4】（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【变式4-1】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
【变式4-2】（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【变式4-3】（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
题型五：实际应用问题
【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为 米．
【变式5-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里.
【变式5-2】（24-25高一下·陕西·期中）某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是 km/h.（取，）
【变式5-3】（24-25高一下·山西·期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；
如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 m时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，，.
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
【例6】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数．
(1)若是三角形中一内角，且，求的值；
(2)若函数在内有唯一零点，求的范围．
【变式6-1】（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知三角形内角对边分别为，向量，且.
(1)求角；
(2)若，三角形边上有一点，求的长；
(3)角的平分线交于点，且，求面积最小值.
【变式6-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ．
(1)若是三角形中一内角，且 ，求的值；
(2)若，且，求的值．
【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
题型七：综合应用问题
【例7】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
【变式7-1】（23-24高三上·江苏南京·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．在中，内角的对边分别为，且，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．若，的面积为，求的面积．
【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.
(1)求角A；
(2)若，且的周长为9，求；
(3)若的面积为，求的角平分线的取值范围.
【变式7-3】（21-22高三下·湖南·阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【变式7-4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度；
（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
（i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值；
（ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积．
【强化训练】
1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
3．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形
C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形
4．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（多选题）（24-25高一下·江苏南京·期中）在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）已知为三个内角的对边，则（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足，的有且仅有一个，则a的取值范围是
7．（多选题）（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，，有两解，则
C．若，则是的垂心
D．若，，为的外心，则的值为
8．（多选题）（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则为锐角三角形
9．（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .
10．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知.
(1)求的单调区间和值域；
(2)在中，的对边分别为，，求的面积.
11．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围．
12．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，.
(1)证明：；
(2)若，.
（Ⅰ）求的取值范围.
（Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围.
13．（2025·广西柳州·三模）记的内角的对边分别为，的面积为.已知.
(1)求；
(2)求函数在上的单调递增区间.
14．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知函数，其中
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，分别是角的对边，且，求的值；
(3)在第二问的条件下，若，求面积的最大值.
15．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且.
(1)求的大小：
(2)若，，求的面积.
16．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为.
(1)求函数的解析式及的解集；
(2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长.
17．（24-25高一下·广西柳州·期中）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)设的垂心为H，若．
（i）求的值；
（ii）求的值．
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专题04 活用正余弦定理玩转三角形
【题型归纳目录】
题型一：利用正余弦定理解三角形
题型二：三角形形状的判断
题型三：三角形的多解问题
题型四：周长与面积问题
题型五：实际应用问题
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
题型七：综合应用问题
【知识点梳理】
1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
2、余弦定理
，，，
，，
3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
【典型例题】
题型一：利用正余弦定理解三角形
【例1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理可得,
再由和比定理得.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，是边上的点，，，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【解析】如图所示，
在中，由正弦定理得，
即，
因为，可得，且，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故选：B.
【变式1-2】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】在中，由，，及正弦定理，
得，所以或．
故选：C.
【变式1-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，
因为且，所以或.
故选：A.
题型二：三角形形状的判断
【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由，可得，，
所以，
，故，
因为，所以，，
即是直角三角形.
故选：B.
【变式2-1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】B
【解析】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，
则新的三角形的三边分别为，
因为，所以，
即为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故选：B
【变式2-2】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】设边长为8的边对应的角为，
由余弦定理可得，
所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形，
故选：C.
【变式2-3】（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，由正弦定理角化边得，
即，故．
因为，所以是钝角，即是钝角三角形．
故选：C
题型三：三角形的多解问题
【例3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（ ）
A．7 B． C．9 D．10
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理，得，
因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，
于是得，解得，显然9适合题意，
故选：C.
【变式3-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，则，
因为，且满足条件的有两个，
所以，且（当时，三角形只有一解），
此时，则.
故选：B
【变式3-2】（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，可得，所以，
若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解，
所以，则，即，解得.
故选：C.
【变式3-3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【解析】有两组解，需满足，即，，
所以a的值可以为8，B正确，ACD错误.
故选：B
题型四：周长与面积问题
【例4】（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【解析】（1）由题意得，
因为，
所以，
得，得，因为，所以．
（2）由，得．
由余弦定理，得，
得，
得，
所以的周长为．
【变式4-1】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）因为，，
由余弦定理得，
即，解得.
为角的角平分线，，
∵，
∴，
∴，得.
【变式4-2】（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【解析】（1）因为，
所以
即．
因为，所以，
所以，因为，所以．
（2）由（1）可知，则．
因为的面积为，所以，解得
由余弦定理得，
则．
故的周长为．
【变式4-3】（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
【解析】（1）由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，；
（2）由余弦定理得，，
，
，当且仅当时等号成立，
，
所以面积最大值为；
（3）由正弦定理得，解得，即，
为边上的中点，，
由余弦定理得，即①，
方法一：在中，，
在中，，
，，
即，整理得：②，
由①②得：，
，解得：，
的周长为.
方法二：由向量加法得，
，即②，
由①②得，
，解得，
的周长为.
题型五：实际应用问题
【例5】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为 米．
【答案】
【解析】如图，在中，，
由正弦定理，，
则，
在中，.
故答案为：.
【变式5-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里.
【答案】2
【解析】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，
由题意结合图可知，，海里，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
解得或（舍负），
所以灯塔与轮船原来的距离为2海里．
故答案为：2
【变式5-2】（24-25高一下·陕西·期中）某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是 km/h.（取，）
【答案】
【解析】
如图，由题意得，，，.
所以，，
，
则．
在中，由正弦定理，
得，
所以乙船的航行速度是（）．
故答案为：.
【变式5-3】（24-25高一下·山西·期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；
如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 m时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，，.
【答案】 151.5 100
【解析】依题意，，
在中，，则，
在中，，
所以，山高；
依题意知，，且，，
在中，，在中，，
则
，
当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增，
而，则当且仅当取得最大值时，最大，
所以当时，观测基站的视角最大.
故答案为：；
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
【例6】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数．
(1)若是三角形中一内角，且，求的值；
(2)若函数在内有唯一零点，求的范围．
【解析】（1）由题意得，
，
，，
，
，解得.
（2）由（1）得，，
由得，
令，由得，
问题转化为函数与直线有唯一交点，
作出在上的函数图象，
，
或，解得或．
的范围是或．
【变式6-1】（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知三角形内角对边分别为，向量，且.
(1)求角；
(2)若，三角形边上有一点，求的长；
(3)角的平分线交于点，且，求面积最小值.
【解析】（1）由得，，
由正弦定理得，，
，所以，所以，
故，又，所以
（2）因为点在上，，
故，
所以
，
所以；
（3），由，
即，得，
于是，解得，当且仅当时取等号，
故.
【变式6-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ．
(1)若是三角形中一内角，且 ，求的值；
(2)若，且，求的值．
【解析】（1）依题意，，由，
得，而为三角形内角，即，则，
因此或，所以或.
（2）由，且，得，即，
又，则，
所以
.
【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
【解析】（1）因为，，
所以
，
即函数的解析式为
所以对称中心的横坐标满足，，解得，，
所以函数的对称中心，
（2）因为，
所以
即
所以，即
又由得，
所以，
又
所以
（3）若，，即，
可得，，所以，解得
由正弦定理可得：，即，
所以
，
即
而在锐角三角形中，，可得，
所以，即，
所以三角形的面积的取值范围为．
题型七：综合应用问题
【例7】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
【解析】（1）在中，因为，
所以，即，
因为，则，即，所以，
由余弦定理得.
（2）由（1）知，所以，
因为，，所以，
由（1）知，所以，
所以的面积.
（3）由（2）知，
因为，可得，
由（1）知，，故，，，
因为是上的点，且，则，，
由（1）知，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
【变式7-1】（23-24高三上·江苏南京·期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．在中，内角的对边分别为，且，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．若，的面积为，求的面积．
【解析】由，可得，
所以，可得，
解得或（舍去），
因为，所以，
如图所示，连接，由正弦定理得，
则，
在正的面积为，所以，
又因为，可得，
在中，由余弦定理得，
即，则，
在中，，且，由余弦定理，
可得，所以，
所以的面积为.
【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.
(1)求角A；
(2)若，且的周长为9，求；
(3)若的面积为，求的角平分线的取值范围.
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，
又，则，
又，于是即，又，
所以.
（2）由（1）知，由正的周长为，得，
依题意，，
在中，由余弦定理得，
则，即，
在中，由余弦定理得，即，联立解得，
所以.
（3）由正的面积为，得，
由（2）知，即，
由，得，
于是，又，则，
又，即，解得，因此，
令函数，而函数与在上均单调递增，
则函数在上单调递增，从而，则，
所以的取值范围是.
【变式7-3】（21-22高三下·湖南·阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【解析】（1）由，
得，
即，
即
即，∵，∴，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
∵，∴.
（2）如图，连接 ，则，，
正面积，∴，
而，则，
∴中，由余弦定理得：，
有，则，
在中，，，由余弦定理得，则，
∴，，∴，所以的周长为.
【变式7-4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：
如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度；
（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
（i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值；
（ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积．
【解析】（1）因为为外接圆直径，，，，
由同弧所对的圆周角相等，可得，，
，所以，
而，
所以，
，
在中，由正弦定理可得，
即；
即，；
（2）（i）设，则 ，
由材料可知， ，
即 ，
解得 ，
所以线段长度的最大值为．
（ii）由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在 中，由余弦定理得：
，②
因为 A、B、C、 四点共圆，所以，从而，③
由①②③，解得 ，
因为，所以 ．
从而，
，
所以 ．
【强化训练】
1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理得，
所以，
可得，所以是直角三角形.
故选：C.
2．（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】在中，，则，
由余弦定理得，即，而，
于是，即，
所以是等边三角形.
故选：C
3．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形
C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形
【答案】B
【解析】对于A:因为由正弦定理,
当时，是钝角三角形,
当时，是钝角三角形,A选项错误；
对于B:因为,由,
所以是直角三角形,B选项正确；
对于C:因为,由
当时，,是锐角三角形,C选项错误；
对于D:因为,由,,,
因为，所以不是等腰三角形,D选项错误；
故选：B.
4．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】因为，所以设，
由余弦定理得，
因为，所以，所以为钝角三角形.
故选：C
5．（多选题）（24-25高一下·江苏南京·期中）在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，因为，又，
所以，得到，
又三角形为锐角三角形，所以，，
则，得到，所以选项A正确，
对于选项B，由，得到，
整理得到，所以选项B正角，
对于选项C，因为，又由选项A知，
所以，得到，所以，
又，所以，
则，所以选项C错误，
对于选项D，由选项C知，，
又
则，
设，令，
则，易知在上单调递增，
所以，即，
则，所以的取值范围是，故选项D正确，
故选：ABD.
6．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）已知为三个内角的对边，则（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足，的有且仅有一个，则a的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，故（为三角形外接圆半径），
故，故A正确；
对于B，因为，故，而为三角形内角，故为钝角，
故为钝角三角形，故B正确；
对于C，因为，
化简后可得，
故全正或两负一正，
若两负一正，则有两个钝角，矛盾；
故全正，而为三角形内角，故它们都是锐角，
故为锐角三角形，故C正确；
对于D，如图，边上的高为，
若有且仅有一个，则以为圆心，以为半径的圆与射线有且只有一个交点，
故或，故D错误.
故选：ABC.
7．（多选题）（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，，有两解，则
C．若，则是的垂心
D．若，，为的外心，则的值为
【答案】BCD
【解析】对于A，若为锐角三角形，设为等边三角形，则，故A错误；
对于B，若，，由正弦定理，
因为有两解，，所以，所以，故B正确；
对于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以点P是的垂心，故C正确；
对于D，因为，为的外心，则，
设为中点，则，
，
同理，
又，，所以，故D正确；
故选：BCD
8．（多选题）（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则为锐角三角形
【答案】AC
【解析】对于A，当时，有，由正弦定理得，
当时，由正弦定理得，则，
所以“”是“”的充要条件，故A正确；
对于B，由，得，由余弦定理得，
即，也即，
整理得，故得或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，过作垂直于所在的直线于点，则，
因为，所以符合条件的有两个，故C正确；
对于D，因为，
所以均不等于，且，
则得，因，故得，
所以，
因，，则，即，
所以为任意斜三角形，故D错误.
故选：AC
9．（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .
【答案】/
【解析】由题可知，
在中，由余弦定理可得
海里，
由正弦定理可得即，解得.
故答案为：.
10．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知.
(1)求的单调区间和值域；
(2)在中，的对边分别为，，求的面积.
【解析】（1）
，
令，得，
又，所以的增区间为及，减区间为，
因为，所以，，
故的值域为.
（2），
或，又，所以或，
结合得，由，
所以，故.
11．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围．
【解析】（1）因为
，
因为，所以，
由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时．
（2）因为，由（1）得到，
，
即，又在中，则，
所以，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，则，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为．
12．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，.
(1)证明：；
(2)若，.
（Ⅰ）求的取值范围.
（Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围.
【解析】（1）
，
即证：；
（2）（Ⅰ）因为，所以，
由正弦定理得，
由（1）得，
在中，知，且，
所以，
解得或.
若，在中，得；
若，在中，此式不成立，
所以，得，即，
由正弦定理，得，又，所以，
因为为非钝角三角形，，得，
由，，得，
所以，得，所以.
（Ⅱ）依题意的最小值为，，∴
在坐标系中大致作图如下；
因为在有且只有一个零点，
则有，，所以
又由图可知，函数的零点依次为，，，……，
①当唯一的零点是时，，解得；
②当唯一的零点是时，，解得；
③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去.
故的取值范围是或.
13．（2025·广西柳州·三模）记的内角的对边分别为，的面积为.已知.
(1)求；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【解析】（1）由，
由余弦定理，，
代入即得：，化简得：
因为，所以.
（2）
，
由，解得，
又，所以或，
所以单调递增区间为和.
14．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知函数，其中
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，分别是角的对边，且，求的值；
(3)在第二问的条件下，若，求面积的最大值.
【解析】（1）
，
由，解得，
又，因此函数的单调递增区间为.
其最小值为
（2）由，可得，化简得，
由，得，令，解得.
由正弦定理可得
（3）由（2）可知：.
，当且仅当时取等号.
的面积，
因此，面积的最大值为.
15．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且.
(1)求的大小：
(2)若，，求的面积.
【解析】（1），在中，，所以，
因为，所以，
则有：或，
即或，因为，所以，即，
所以.
（2）因为，，
则，即，
所以.
16．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为.
(1)求函数的解析式及的解集；
(2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长.
【解析】（1）由题设，则，
令，，
所以，，故解集为；
（2）由题设，即，，
所以，，又是三角形内角，故，
由，即，
由，则，所以，
易得，所以周长为.
17．（24-25高一下·广西柳州·期中）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)设的垂心为H，若．
（i）求的值；
（ii）求的值．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
则，可得，
因，则，可得，
又因为，所以．
（2）（i）因点为的垂心，则，
则，
得；
（ii）因，则由余弦定理得，
将代入上式可得，
则由余弦定理得．
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