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专题07 复数的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的几何意义
题型三：复数的最值问题
题型四：复数相等与共轭复数
题型五：复数的三角形式
题型六：复数模的综合应用
题型七：复数方程
题型八：复数的四则运算
【知识点梳理】
一、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【典型例题】
题型一：复数的概念
【例1】（23-24高一下·重庆·期中）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以复数的共轭复数的虚部为.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一下·天津南开·期中）已知复数与都是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
且为纯虚数，
所以，解得，所以.
故选：B
【变式1-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意得，故.
故选：D
题型二：复数的几何意义
【例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数对应的点在第一象限.
故选：A
【变式2-1】（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【解析】由题意可得实部为，虚部为1，所以.
故选：D
【变式2-2】（24-25高一下·河北沧州·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以
所以在复平面内对应的点坐标为，
所以点位于第四象限，
故选：D
题型三：复数的最值问题
【例3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，因为，即，
所以，则，解得
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
【变式3-1】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点,
的几何意义表示圆上的点和之间的距离，
于是，的最大值为，
最小值为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，，的模长都为1，所以，
又的实部为，所以的虚部可能为，
所以，所以.
所以.
故答案为：
题型四：复数相等与共轭复数
【例4】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则 ．
【答案】
【解析】设，则，
所以，所以，
所以，
故答案为：．
【变式4-1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由两个复数相等可得，
即，
化简可得，其中，
当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【变式4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则 .
【答案】
【解析】设，则，
所以，
则，即，，所以.
故答案为：
题型五：复数的三角形式
【例5】（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
【变式5-1】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C
【变式5-2】（22-23高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
【答案】C
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，为纯虚数，B错；
对于C选项，因为，
因此，，C对；
对于D选项，，则，，
所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.
【变式5-3】（23-24高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
题型六：复数模的综合应用
【例6】（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】设，，
，
，又，所以，，
，
，
.
故答案为：.
【变式6-1】（2023高三·全国·专题练习）已知（），则的值为 ．
【答案】1
【解析】由（），
得到
从而有，
则．
故答案为：1
【变式6-2】（22-23高一下·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ．
【答案】2
【解析】设，则，则，
即舍去或，所以．
故答案为：．
【变式6-3】（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数满足，且，则
【答案】7
【解析】如图，设，，作平行四边形，则，，
由已知，，，
在平行四边形中，
，
，
又，，即，
所以，
所以，，
故答案为：7.
题型七：复数方程
【例7】（17-18高二下·上海·期末）已知关于x的方程的两个根是、.
（1）若为虚数且，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值.
【解析】分析：（1）根据韦达定理得到=25，进而求得结果；（2）分两种情况和 ，再结合韦达定理得到结果.
（1），，，∴；
（2），，若，即，则，∴；
若，即，则，∴；综上，或.
【变式7-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知是方程的一个根．
(1)求的值；
(2)设，若为纯虚数，且，求复数．
【解析】（1）因为是方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
所以由韦达定理得，
解得.
（2）由（1）可知，
即，
设，
因为为纯虚数，
所以，
由，
解得或，经检验都成立，
所以或.
【变式7-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）．
(1)求的值；
(2)求证：；并求的值．
【解析】（1）虚数是关于的方程的一个根，，
所以，整理得：，
，由，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可知，，，
，
所以，
，
所以
题型八：复数的四则运算
【例8】（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位， .
【答案】1
【解析】方法一：由.
方法二：因，
故
故答案为：1.
【变式8-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ．
【答案】
【解析】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得，
所以，所以.
故答案为：.
【变式8-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数．
(1)若，求；
(2)若||，且是纯虚数，求
【解析】（1）
∵复数，
∴；
（2）设，
∵，
∴①，
又∵，
∴，②，
由①②联立，解得或，
∴或.
【强化训练】
1．（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以．
故选：C
2．（24-25高一下·重庆·期中）复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得复数（为虚数单位）的虚部为.
故选：B
3．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】因为复数是关于x的方程的一个根，
则另一个根为，由韦达定理得：，即：，
故，
故选：B
4．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知，复数为纯虚数，则（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】因为为纯虚数，
易得：，
所以，
则．
故选：C
5．（24-25高一下·北京大兴·期中）复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以.
故选：B
7．（24-25高一下·山东·期中）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由，可知的虚部为.
故选：D.
8．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】∵，∴，
所以，，，，
因此BC正确，AD错误，
故选：BC．
9．（多选题）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A． B．在复平面上对应点在第二象限
C． D．
【答案】ACD
【解析】依题意，复数，
对于A，，A正确；
对于B，在复平面上对应点在第四象限，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
10．（多选题）（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
【答案】BCD
【解析】对于A：对于复数的虚部为，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为，故C正确;
对于D：对于D，设复数，若复数满足条件，
则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，
分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确.
故选：BCD.
11．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】，
故答案为：
12．（24-25高一下·山西临汾·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
令则，得.
故答案为：.
13．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 .
【答案】（4）
【解析】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误；
对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误；
对于（4），由，可得即有，故（4）正确.
故答案为：（4）.
14．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；
(3)当时，求．
【解析】（1）由复数是纯虚数，且，
得，解得，所以实数m的值为3.
（2）由复数对应的点在第三象限，且，
得，解得，即，
所以实数m的取值范围为.
（3）当时，，
．
所以.
15．（24-25高一下·新疆吐鲁番·期中）已知复平面内表示复数的点为．
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值；
(3)若点位于上，求实数的值．
【解析】（1）复数是实数，则，
所以或.
（2）复数是纯虚数，则，
所以.
（3）复数对应的点在直线上，则，
所以.
16．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数，且是实数．
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为
所以
由是实数，得，
∴，
（2）由（1）知，
∴，
∵复数对应的点在第四象限，
∴，解得
实数m的取值范围是.
17．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数．
(1)求和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．
【解析】（1）因复数，
则，.
（2）因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得：，
即，
故有，解得：，．
18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数
(1)若是虚数，求m的取值范围．
(2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
(3)若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：.
（2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：.
（3）由得，
由复数相等的定义知，必有，
因为，所以
故的取值范围为
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专题07 复数的综合运用
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的几何意义
题型三：复数的最值问题
题型四：复数相等与共轭复数
题型五：复数的三角形式
题型六：复数模的综合应用
题型七：复数方程
题型八：复数的四则运算
【知识点梳理】
一、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【典型例题】
题型一：复数的概念
【例1】（23-24高一下·重庆·期中）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1-1】（23-24高一下·天津南开·期中）已知复数与都是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
题型二：复数的几何意义
【例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-1】（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A．3 B． C． D．5
【变式2-2】（24-25高一下·河北沧州·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三：复数的最值问题
【例3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设，且，则的最小值为 .
【变式3-1】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ．
【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ．
题型四：复数相等与共轭复数
【例4】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则 ．
【变式4-1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 .
【变式4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则 .
题型五：复数的三角形式
【例5】（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（22-23高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
【变式5-3】（23-24高一·全国·课后作业）如果，那么复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：复数模的综合应用
【例6】（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ．
【变式6-1】（2023高三·全国·专题练习）已知（），则的值为 ．
【变式6-2】（22-23高一下·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ．
【变式6-3】（22-23高一下·浙江台州·期末）已知复数满足，且，则
题型七：复数方程
【例7】（17-18高二下·上海·期末）已知关于x的方程的两个根是、.
（1）若为虚数且，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值.
【变式7-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知是方程的一个根．
(1)求的值；
(2)设，若为纯虚数，且，求复数．
【变式7-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）．
(1)求的值；
(2)求证：；并求的值．
题型八：复数的四则运算
【例8】（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位， .
【变式8-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ．
【变式8-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数．
(1)若，求；
(2)若||，且是纯虚数，求
【强化训练】
1．（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·重庆·期中）复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（ ）
A． B． C． D．5
4．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知，复数为纯虚数，则（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
5．（24-25高一下·北京大兴·期中）复数（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·山东·期中）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A． B．在复平面上对应点在第二象限
C． D．
10．（多选题）（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
11．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 .
12．（24-25高一下·山西临汾·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ．
13．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 .
14．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；
(3)当时，求．
15．（24-25高一下·新疆吐鲁番·期中）已知复平面内表示复数的点为．
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值；
(3)若点位于上，求实数的值．
16．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数，且是实数．
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
17．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数．
(1)求和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．
18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数
(1)若是虚数，求m的取值范围．
(2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
(3)若，求的取值范围．
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