人教新课标A版选修2-1数学2.1曲线与方程同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.1曲线与方程同步检测
一、选择题
1. 如果曲线C上的点满足则下列说法正确的是（ ）
A 曲线C的方程是
B 方程的曲线是C
C 坐标满足方程的点在曲线C上
D 坐标不满足方程的点不在曲线C上
答案：D
解析：解答：所表示的曲线为C需满足两个条件：①曲线上的点都满足，②满足方程的点都在曲线C上。所以A，B,C说法不正确。因为曲线C上的点都满足，所以其逆否命题即“若点坐标不满足方程则点不在曲线C上”也成立，D正确，故选D.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程的关系分析即可.
2. 若命题“曲线上的点的坐标是方程的解”是正确的，则下列命题一定正确的是（ ）
A．方程的曲线是
B．曲线的方程是
C．点集
D．点集
答案：C
解析：解答：根据定义，以方程的解为坐标的点不一定在曲线上，故选C
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程分析即可.
3. 已知函数f(x)=x+1，则与曲线y=f(x+1)关于直线l: x+1=0成轴对称图形的曲线方程是（ ）
A.y=–x B.y=–x–4 C.y=–x+2 D.y=x
答案：A
解析：解答：则，则与直线的交点为，所以与曲线关于直线成轴对称图形的直线斜率为-1且也过点，所以所求曲线方程，即，故选A
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给曲线与方程的关系分析计算即可.
4. 曲线f(x,y)=0关于直线x－y－2=0对称的曲线方程是
A.f(y+2,x)=0 B.f(x－2,y)=0
C.f(y+2,x－2)=0 D.f(y－2,x+2)=0
答案：C
解析：解答：设M(x,y)为所求曲线上任一点，则它关于直线x－y－2=0的对称点M′(x0,y0)在已知曲线f(x,y)=0上，即f(x0,y0)=0.
∵ M、M′关于直线l:x－y－2=0对称,
∴MM′⊥l且MM′的中点在l上.
∴解得
又∵f(x0,y0)=0,∴f(y+2,x－2)=0.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程结合对称的性质计算即可.
5. 已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：解答：由题意，l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，BC=3，∴过A、B、C三点的动圆的圆心轨迹是以A为圆心，为半径的圆，∵过A、B、C三点的动圆的圆的半径为，∴过A、B、C三点的动圆上的点到点A的距离为3，∴过A、B、C三点的动圆所形成的图形是以A为圆心，3为半径的圆，∴过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为9π．故选：B．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给条件进行分析即可.
6. 下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（ ）
A． B．=x
C． = 1 D．x － y + 1 = 0
答案：A
解析：解答：根据关于x轴对称，（x，y）与（x，-y）都在曲线上，关于y轴都对称，（x，y）与（-x，y）都在曲线上，可得x2-y2=1满足题意，故选：A．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据对称的性质进行分析计算即可.
7. 一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A. (x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D.
答案：C
解析：解答：设C(x0,y0),P(x,y),则 , 代入圆的方程得(2x-3)2+4y2=1.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据中点坐标公式进行计算即可.
8. 设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝x D．y2＝x
答案：B
解析：解答：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y02＝0．
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即∴－x＋＝0，
即y2＝4x．故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．
故选B．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程的关系结合平面向量的坐标运算进行计算即可.
9. 曲线（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：设所求曲线上任一点坐标为P(x,y),则其关于x=2对称点
.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据对称的性质结合曲线与方程有关性质计算即可.
10. 已知F1、F2是两定点，，动点M满足,则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
答案：D
解析：解答：因为，故动点的轨迹是线段，选D.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据动点满足的条件分析计算即可.
11. 已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
答案：D
解析：解答：MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给曲线与方程的关系进行分析即可.
12. 下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（ ）
A． B．=x
C． = 1 D．x － y + 1 = 0
答案：A
解析：解答：根据关于x轴对称，（x，y）与（x，-y）都在曲线上，关于y轴都对称，（x，y）与（-x，y）都在曲线上，可得x2-y2=1满足题意，故选：A．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据点的对称性质进行分析计算即可.
13. 等腰三角形ABC底边两端点是，顶点C的轨迹是（ ）
A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点
答案：A
解析：解答：用等腰三角形的性质知|CA|＝|CB|.
∵△ABC为等腰三角形，∴|CA|＝|CB|，∴点C的轨迹应是AB的中垂线，又∵C为AB中点时不能构成三角形，∴C的轨迹应是一条直线去掉一点.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给曲线与方程满足的条件分析即可.
14. 已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足，则点C的轨迹方程为（ ）
A.x2＋y2＋6x＋1＝0 B.x2＋y2－6x＋1＝0
C. D.
答案：B
解析：解答：设点C(x，y)，则由题得(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2].
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程的关系列式计算即可.
15. 方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线
答案：B
解析：解答：本题主要考查方程表示的曲线. 由方程 x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2),选B
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给曲线与方程计算即可.
二、填空题
16. 动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2，0)的距离大2，则点P的轨迹方程是____.
答案：
解析：解答：动点P到直线x＋2＝0的距离与到点M (2，0)的距离相等.所以可得P点的轨迹方程为.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给动点满足条件计算即可.
17. 若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．
答案：x＋y－1＝0
解析：解答：设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－ (x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋)，设AB的中点为M(x，y)，则有，两式相加消去k得x＋y＝1，
即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给点与直线满足的几何关系计算即可.
18. 曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是________．
答案：②③
解析：解答：设P(x，y)为曲线C上任意一点，
则由|PF1|·|PF2|＝a2，得
·＝a2．
把(0,0)代入方程可得1＝a2，与a>1矛盾，故①不正确；
当M(x，y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点M′(－x，－y)也满足方程，
故曲线C关于原点对称，故②正确；
S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝a2sin∠F1PF2≤a2，故③正确．
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程的有关知识进行分析判断即可.
19. 已知动点在曲线上移动，则点与点连线中点的轨迹方程是_________.
答案：
解析：解答：设中点坐标为，则点坐标为。因为点在曲线上移动，所以，整理可得
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给动点满足条件结合曲线与方程的关系列式计算即可.
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且 ，则动点P的轨迹方程为________
答案：x2－2y2＝4
解析：解答：本题主要考查曲线方程的求解.依题意可知M(0，y)，N(x，－y)， , 这就是点P的轨迹方程.
分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据平面向量的坐标运算计算即可.
三、解答题
21. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
答案：解：设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），
则在Rt△ABP中，
|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有
Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.
又|AR|=|PR|=，
所以有（x1-4）2+=36-（）.
即-4x1-10=0.
因为R为PQ的中点，
所以x1=，y1=.
代入方程-4x1-10=0，得
·-10=0.
整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.
解析：分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给曲线满足的条件结合中点坐标公式进行计算即可.
22. 如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的
直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.
答案：解：方法一（参数法）：设M的坐标为（x,y）.
若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.
若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,
令y=0得x=2-,则A点坐标为.
CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，
则B点坐标为，由中点坐标公式得M点的坐标为
①
消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1),
点M（1，1）在直线x+y-2=0上，
综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.
方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.
∵|MA|=|MC|，∴化简得x+y-2=0.
方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,
即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.
解析：分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据所给直线及点满足的几何关系结合有关坐标运算性质列示计算即可.
23. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.
答案：解：设点M的坐标为（x,y）,
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.
∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.
由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，
即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
解析：分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据中点坐标公式结合平面向量的坐标运算化简即可得到所求轨迹方程.
24. 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，,是否在此方程表示的曲线上；
答案：解：∵12＋(－2－1)2＝10， ,
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上.
(2)若点 在此方程表示的曲线上，求m的值.
答案：解：∵点在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
解得m＝2或 ,
∴m的值为2或
解析：分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据曲线与方程的有关性质结合所给点与曲线的关系进行计算即可.
25. 已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足 (为坐标原点),记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
答案：解：设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,∴.
当时,得,化简得.
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为.
（2）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
答案：解：∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,
由 得.
∵ 直线与曲线相切,
∴,即.
点到直线的距离
.
当且仅当，即时，等号成立.此时.
∴直线的方程为或.
解析：分析：本题主要考查了曲线与方程，解决问题的关键是根据点P满足的几何关系列式化简得到其根据方程，根据曲线与方程关系联立结合距离公式运用不等式有关性质计算最值即可得到直线方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 12 页 （共 12 页） 版权所有@21世纪教育网