人教新课标A版选修2-1数学2.3双曲线同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3双曲线同步检测
一、选择题
1. 双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：令，解得，即为双曲线的渐近线方程
分析：本题主要考查了双曲线的标准方程，解决问题的关键是将双曲线方程中的1换成0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程，这种求双曲线渐近线的方法比利用简单而且不容易出错
2. 若双曲线的一个焦点是圆的圆心，且虚轴长为，则双曲线的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：解答：因为圆的方程，利用配方法化为圆的标准方程为，可知圆心（5,0），半径为1，
那么可知双曲线的焦点为(5,0),则C=5，
又以为虚轴长为2b=6,b=3,
结合勾股定理,故选A.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是是得到圆的圆心坐标，从而得到双曲线的焦点，即可知c的值，然后结合虚轴长得到b的值，进而结合a,b，c的关系得到离心率
3. 若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A. 25 ；
C. k<2或k>5； D. 以上答案均不对
答案：C
解析：解答：因为方程表示双曲线，则可知(k-2)(-k+-5)<0,解得实数k的取值范围是k<2或k>5，选C.
分析：本题主要考查了双曲线的定义，解决问题的关键是根据双曲线的定义进行分析计算即可.
4. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是（ ）
A． B．1或–2 C．1或 D．1
答案：D
解析：解答：因为椭圆与双曲线有相同的焦点，则有2+a=4-a2, 则a的值是1,选D.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的简单性质计算即可.
5. 以直线为渐近线，一个焦点坐标为的双曲线方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：一个焦点坐标为，说明双曲线的焦点在轴上.因为渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，即，所以，所以双曲线方程为.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程可以采取题目中所用的方法，可以简化运算，但是只有双曲线的渐近线方程并不能确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，所以并不能确定的正负.
6. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：由于双曲线的方程，那么可知焦点在y轴上，那么渐进线方程为y=,而方程中a2=1,b2=2，那么可知a=1,b=,得到结论为，选C
分析：本题主要考查了双曲线的标准方程，解决问题的关键是能根据已知方程表示出a,b的值，同时能确定焦点的位置，进而得到渐近线方程
7. 与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：由题意知双曲线的焦点坐标为,所以c=5,
设双曲线方程为所求双曲线方程为.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的简单性质结合所给条件计算即可.
8. 若双曲线 EMBED Equation.DSMT4 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(，+∞)
答案：C
解析：解答：渐近钱方程
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是双曲线与圆的位置关系计算即可.
9. 已知双曲线的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：解答：因为由已知可知
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的简单性质计算即可.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：由题意可知，，∴，则①，由条件得，在上，即②，由①②得，∴双曲线为.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的简单性质计算即可.
11. 已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则这双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：双曲线的渐近线方程为（），即，又渐近线与直线垂直，所以根据斜率的关系可知=，故.
分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系列式计算即可.
12. P为双曲线上一点，分别是左、右焦点，若，则的面积是（ ）
A. B. C.12 D.24
答案：C
解析：解答：
,
.
分析：本题主要考查了双曲线的应用，解决问题的关键是根据双曲线的有关性质结合结果条件计算即可.
13. 已知双曲线M：和双曲线：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A
解析：解答：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：其中b＞a＞0，
∴两个双曲线的焦距相等，设为个焦距为2c，其中c满足：c2= a2+b2∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得
，结合b2=c2-a2得：，
去分母，得c2（c2-a2）-a2c2=a2（c2-a2），
整理，得c4-3a2c4+a4=0，所以e4-3e2+1=0，解之得e2==（ ）2（另一值小于1舍去）
∴双曲线M的离心率e=
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合双曲线的简单性质进行分析计算即可.
14. 已知F1 、F2分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． 3 C．4 D．5
答案：D
解析：解答：设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得,
∴5a2-6ac+c2=0，方程两边同除a2得：e2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），故选D．
分析：本题主要考查了双曲线的应用，解决问题的关键是根据双曲线的有关性质结合所给条件进行分析计算即可.
15. 和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题意知
分析：本题主要考查了圆与圆锥曲线的综合，解决问题的关键是根据条件判断出是解本小题的关键，然后据此可用c表示出.再结合双曲线的定义即可求出其离心率.
二、填空题
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则＝ ．
答案：
解析：解答：设，，由双曲线定义可得，在中，=，∴=.
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的简单性质结合所给条件分析计算即可.
17. 已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为 .
答案：
解析：解答：由题知，，所以
分析：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据双曲线的定义结合
双曲线的标准方程计算即可.
18. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为
答案：
解析：解答：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－=－1，=1，离心率.
分析：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质，解决问题的关键是利用两条直线垂直，斜率之积为－1，确定得到，从而进一步得出离心
19. 已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .
答案：|
解析：解答：由于双曲线的顶点坐标为，椭圆的焦点坐标为，
则有，
设双曲线的焦距为，
则，故双曲线是焦点坐标为，，故双曲线的渐近线方程为.
分析：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合双曲线的有关性质计算即可.
20. 方程表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则或；
③若，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1其中真命题的序号是____________（写出所有正确命题的序号）．
答案：②④
解析：解答：当时，曲线C表示圆，故①不对；当时，曲线为圆而不是椭圆，故③不对.
分析：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合双曲线的标准方程及双曲线的简单性质分析计算即可.
三、解答题
21. 求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程
答案：解：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上．
设双曲线的标准方程为．
根据题意， 解得或（不合题意舍去），
∴双曲线的标准方程为．
解析：分析：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质，解决问题的关键是首先设出双曲线的标准方程，然后利用与椭圆的关系、双曲线过点建立组可求得a，b的值．
22. ．已知双曲线的离心率且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
答案：解：由已知可知双曲线为等轴双曲线设a=b
及点在双曲线上解得
所以双曲线的方程为.
(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.
答案：解：由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为
由 得
设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，
且即且 ①
这时 ，
又
即
所以 即
又 适合①式
所以，直线的方程为与.
解析：分析：本题主要考查了双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，还应注意运用弦长公式的前提条件
23 命题：方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题：方程无实根，若∨为真，为真，求实数的取值范围．
答案：解：：，∴.故：.
：，即，∴.故：.
又∵∨为真，为真，∴真假，
即，∴.
解析：分析：本题主要考查了双曲线的简单性质；双曲线的应用，解决问题的关键是先计算出命题、为真时的取值范围；又∨为真，为真，知真假，从而可求出实数的取值范围．
24. 在复平面内,复数所对应的点为；；，以；；为顶点的三角形为
（1）求 ；
答案：解：由题意可知点；；的坐标分别为，
则
所以由余弦定理知
又
所以
（2）求以；为焦点且过点的双曲线的方程.
答案：解：由双曲线的定义可知
故，又
所以所求双曲线的方程为
解析：分析：本题主要考查了双曲线的定义，解决问题的关键是（1）由题意可知点；；的坐标分别为，由两点将的距离公式可知，再由余弦定理知，又，所以；
（2）根据双曲线的定义可知，故，又，
所以所求双曲线的方程为.
25. 设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
答案：解：设两圆的圆心分别为F1、F2，圆C的半径为r
即得
或，即得
L是以F1、F2为焦点，实轴长为2的双曲线
轨迹L的方程为.
（2）设直线l是圆O:在P（x0，y0）(x0y0 ≠ 0)处的切线，且P在圆上，l与轨迹L相交不同的A,B两点，证明：.
答案：解：由题可得直线l的方程为
解析：分析：本题主要考查了圆与圆锥曲线的综合、圆锥曲线的轨迹问题，解决问题的关键是根据定义法就是立足题中所给的条件，结合题意导出相应的关系式，之后再根据特殊曲线的定义得出曲线的方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 13 页 （共 13 页） 版权所有@21世纪教育网