人教新课标A版选修2-1数学3.1空间向量及其运算同步检测

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3.1空间向量及其运算同步检测
一、选择题
1. 下列命题正确的是（ ）
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a,b,c,共面就是它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向
D.若a||b，则存在唯一的实数λ使得a=λb
答案：B
解析：解答：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线，如果b=0，a与c不共线，A不正确．向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线．零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．
若a||b，则存在唯一的实数λ使得a=λb，不正确，因为b≠0，存在这一条件．
故选C．
分析：本题主要考查了共线向量与共面向量，解决问题的关键是从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项．
2. O；A；B；C为空间四个点，又为空间的一个基底，则（ ）
A. O；A；B；C四点不共线
B. O；A；B；C四点共面，但不共线
C. O；A；B；C四点中任意三点不共线
D. O；A；B；C四点不共面
答案：B
解析：解答：由基底意义，三个向量不共面，
但A；B；C三种情形都有可能使共面．
只有D才能使这三个向量不共面，
故应选D．
分析：本题主要考查了共线向量与共面向量，解决问题的关键是用空间向量的定义进行判断，不共面的三个向量可以作为空间的一个基底．
3. 在空间直角坐标系中，已知点 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 则=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：根据题意在空间直角坐标系中，已知点则可知先求解向量的坐标，然后得到，故选A.
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式，解决问题的关键是理解空间直角坐标系中向量的长度等于向量的横坐标和纵坐标和竖坐标的平方和，再开根号得到，属于基础题.
4. 如图所示正方体的棱长为1 ，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：从点分别向三个坐标平面作垂线，因为正方体的棱长为1，所以点的坐标是.
分析：本题主要考查了空间向量的正交分解及其坐标表示，解决问题的关键是要找空间直角坐标系中点的坐标，要向坐标轴或坐标平面作垂线.
5. 已知向量 ，则向量的坐标为( )
A．(16，0，-23) B．(28，0，-23)
C．(16，-4，-1) D．(0，0，9)
答案：A
解析：解答：
分析：本题主要考查了空间向量运算的坐标表示，解决问题的关键是根据空间向量坐标运算
运算即可.
6. 已知向量，，且与互相垂直，则k＝（ ）
A.1 B. C. D.
答案：D
解析：解答：因为与互相垂直,所以,
所以
分析：本题主要考查了向量的数量积判断向量的共线与垂直，解决问题的关键是根据非零空间向量的充要条件是是解本小题的依据.
7. 已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于（ ）
A．85 B． C． D．50
答案：B
解析：解答：只需将，运用向量的内即运算即可，，经计算选B．
分析：本题主要考查了空间向量的加减法，解决问题的关键是认识到是解题的关键，利用此常常能将向量问题“实数化”.
8. 若向量a=(1,0)，b=(2,0,0)且a与b的夹角为，则等于( )
A．1 B．
C．-或 D．-1或1
答案：C
解析：解答：因为根据向量数量积公式可知，
cos,则等于-或 选C.
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式，解决问题的关键是根据空间向量的夹角与距离求解公式计算即可.
9. 已知点A（1，-2,0）和向量a=(-3,4,12),若向量a,且，则B点的坐标为（ ）
A．（-5,6,24） B．（-5,6,24）或（7，-10，-24）
C．（-5,16，-24） D．（-5,16，-24）或（7，-16,24）
答案：B
解析：解答：因为设点B（x,,y,z）,则点A（1，-2,0）和向量a=(-3,4,12),若向量a, 且，则，则B点的坐标为（-5,6,24）或（7，-10，-24）选B.
分析：本题主要考查了空间向量运算的坐标表示，解决问题的关键是根据所给向量进行运算即可.
10. 已知（，，），（，，0），则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：因为（，，），（，，0），则向量与的夹角为
，选B
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式，解决问题的关键是根据空间向量的夹角与距离求解公式计算即可.
11. 若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
答案：B
解析：解答：由已知可得，
即，
可得,
所以，，共面但不共线，故，，，四点共面．
分析：本题主要考查了空间向量的基本定理及其意义，解决问题的关键是根据空间向量的基本定理及其意义进行分析计算即可.
12. 若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：
当时，.
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式，解决问题的关键是根据空间向量的夹角与距离求解公式及函数性质分析判断即可.
13. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解答：
；又 ，，，．
故选B．
分析：本题主要考查了共线向量与共面向量、空间向量的数乘运算、空间向量的加减法，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合有关运算性质计算即可.
14. 已知向量的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
答案：C
解析：解答：∵，∴的夹角为90°，故选C
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式，解决问题的关键是根据空间向量的夹角与距离求解公式计算即可.
15. ．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则( )
A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值
C、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数
答案：D
解析：解答：设，则
，
因为且共面，所以（常数），选D．
分析：本题主要考查了空间向量的基本定理及其意义、空间向量的数乘运算，解决问题的关键是根据空间向量运算性质计算即可.
16. 在空间直角坐标系中，已知定点,.点在轴上，且满足，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：设点坐标为 EMBED Equation.DSMT4 由得：
，解得：故选C
分析：本题主要考查了空间向量的正交分解及其坐标表示，解决问题的关键是根据空间直角坐标系有关性质分析即可.
17. 若，且，则实数的值是
A . -1 B . 0 C . 1 D . -2
答案：D
解析：解答：，且
分析：本题主要考查了向量的数量积判断向量的共线与垂直，解决问题的关键是根据向量的数量积判断向量的共线与垂直分析计算即可.
18. 已知为空间两两垂直的单位向量，且，则( )
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
答案：A
解析：解答：,应选A.
分析：本题主要考查了空间向量的正交分解及其坐标表示，解决问题的关键是根据空间向量性质运算即可.
二、填空题
19. 已知向量，若,则______
答案：-6
解析：解答：因为，所以，显然所以
分析：本题主要考查了共线向量与共面向量、空间向量运算的坐标表示，解决问题的关键是记清楚关系直接代入计算即可，难度不大
20. 已知M1（2，5，-3），M2（3，-2，-5），设在线段M1M2上的一点M满足=，则向量的坐标为
答案：
解析：解答：因为M1（2，5，-3），M2（3，-2，-5），设在线段M1M2上的一点M满足
因为=，解得向量的坐标为.
分析：本题主要考查了共线向量与共面向量、空间向量运算的坐标表示，解决问题的关键是根据空间向量坐标运算性质计算即可.
21. 已知两点,,点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
答案：
解析：解答：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q（λ，λ，2λ）
,
当（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值,此时Q
分析：本题主要考查了空间向量的数量积运算、空间向量运算的坐标表示，解决问题的关键是根据空间向量的数量积运算结合坐标运算计算即可.
22. 若向量，则__________
答案：-212
解析：解答：因为，
所以
，
.
分析：本题主要考查了空间向量的数量积运算，解决问题的关键是根据空间向量坐标运算性质计算即可.
23. 已知向量，，，若共同作用在一个物体上，使物体从点移到点，则合力所做的功为
答案：8
解析：解答：合力 EMBED Equation.DSMT4 ，物体位移，则合力所做的功
分析：本题主要考查了空间向量的加减法、空间向量的数量积运算，解决问题的关键是根据空间向量的数量积运算性质运算即可.
24. 已知空间三点，，，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为_ .
答案：
解析：解答：因为，所以由向量分别与，垂直，可得即，求解得，所以.
分析：本题主要考查了向量的数量积判断向量的共线与垂直，解决问题的关键是根据向量的数量积判断向量的共线与垂直有关性质计算即可.
25. 已知，且，则 .
答案：
解析：解答：因为，所以解得,从而，所以，
故.
分析：本题主要考查了空间向量的夹角与距离求解公式、向量的数量积判断向量的共线与垂直，解决问题的关键是根据空间向量的夹角与距离求解公式及向量的数量积判断向量的共线与垂直运算即可.
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