人教新课标A版选修2-1数学3.2立体几何中的向量方法同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-1数学3.2立体几何中的向量方法同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-15 18:01:48 | ||
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文档简介
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3.2立体几何中的向量方法同步检测
一、选择题
1. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（ ）
A．1 B．2 C．13 D．26
答案：B
解析：解答：设面的一个法向量为．则,令,则,则,
,．故B正确．
分析：本题主要考查了平面的法向量，点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据空间向量运算性质计算即可.
2. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )．
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A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：建立如图所示的空间直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
∴PQ＝
＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.
分析：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据空间坐标运算距离公式计算即可.
3. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )．
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则＝(，1,2)，则＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，由sin θ＝＝.
分析：本题主要考查了平面的法向量、用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据线面夹角公式计算即可.
4. 已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（ ）
A．平行 B．垂直
C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角
答案：B
解析：解答：由，，可得，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.
分析：本题主要考查了平面的法向、用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据平面法向量有关性质计算即可.
5. 如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，则点到平面的距离为 ( )
A． B． C． D．1
答案：B
解析：解答：以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为
分析：本题主要考查了平面的法向量，点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据线面距离公式计算即可.
6. 若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α斜交
答案：B
解析：解答：因为直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B
分析：本题主要考查了平面的法向、用向量证明垂直，解决问题的关键是根据平面法向量有关性质计算即可.
7. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则k的值为
A.5 B.4
C. D.
答案：C
解析：解答：若，则平面的法向量与平面的法向量共线；所以有：
EMBED Equation.DSMT4 ，.故选C
分析：本题主要考查了平面的法向量 向量语言表述线线的垂直、平行关系，解决问题的关键是根据平面向量的平行关系分析计算即可.
8. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：B
解析：解答：以A为坐标原点，，的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设底面边长为2a，侧棱长为2b，
则A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(a，a,0)，C1(0,2a,2b)，B1(a，a,2b)．
由⊥，得·＝0，即2b2＝a2.
设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，
则n1·＝0，n1·＝0.
即又2b2＝a2，令z＝1，
解得n1＝(0，－，1)．
同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，，0)．
利用公式cos θ＝＝，得θ＝45°.
分析：本题主要考查了平面的法向量 用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据空间向量有关运算性质结合所给几何体的空间几何关系计算即可.
9. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 ( )．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
答案：D
解析：解答：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE 平面BB1，D1D.
∴AC⊥BE，故A正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，
∴EF∥平面ABCD，故B正确．
C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．
当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F ，
∴＝(0，－1,1)，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，
∴＝，＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.
分析：本题主要考查了向量语言表述线线的垂直、平行关系；异面直线；向量语言表述线线的垂直、平行关系，解决问题的关键是根据所给选项逐一分析即可.
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ( )．
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，
则＝(－1,1，－2)， ＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝
＝＝.
分析：本题主要考查了异面直线，解决问题的关键是根据空间几何体的几何关系计算即可.
11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )．
A. EMBED Equation.DSMT4 B. C. D.
答案：B
解析：解答：建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
分析：本题主要考查了异面直线，解决问题的关键是根据所给几何体满足的有关性质计算即可.
12. 已知等差数列的前n项和为，且 ，则过点和 的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A． B．(2，4) C． D.（-1，-1）
答案：A
解析：解答：直线的斜率.又
，所以它的一个方向向量可以为，与它共线，故选A.
分析：本题主要考查了直线的方向向量，解决问题的关键是根据所给数列关系得到方向向量即可.
三、填空题
13. 在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 ．
答案：
解析：解答：以为原点，所在直线为X轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系。为方便计算设正方体边长为2，则E点坐
标为（2，1，2），坐标为（0,0,2）坐标为（0，2，2）
B点坐标为（2，2，0）。
可得到=（2，1，0）
=（2，0，-2）
=（0，2，0）
设直线L为与的公垂线，=（x,y,z）为直线L的
方向向量。
由，，得
解得故可取=（1，-2，1）。
所以异面直线和间的距离为.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，解决问题的关键是建立空间自己坐标系根据有关运算性质计算即可.
14. 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
答案：45°
解析：解答：设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为n＝(1,0,0)，D ，A(0，－a,），P，M，＝，所以cos 〈，n〉＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据所给根据向量坐标运算性质进行计算即可.
15. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
答案：平行
解析：解答：分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵A1M＝AN＝a，
∴M，N，∴＝.
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，
∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.
∵是平面BB1C1C的法向量，且MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
分析：本题主要考查了空间点、线、面的位置，向量方法证明线、面的位置关系定理，解决问题的关键是根据所给几何体满足的几何关系分析计算即可.
16. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
答案：
解析：
解答：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)，所以＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，解决问题的关键是根据所给条件建立空间自己坐标系用空间向量求直线间的夹角、距离.
17. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
INCLUDEPICTURE "E:\\WCFUpload\\Upload\\2014-03\\16\\726e6448-f594-4fd0-969b-e32de975e873\\H211.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../H211.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：m＝a或2a.
解析：解答：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，
则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，
＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，
∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，
可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.
分析：本题主要考查了用向量证明垂直，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可.
18. 若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则______.
答案：2：3：-4
解析：解答：
.
分析：本题主要考查了平面的法向量，解决问题的关键是平面法向量的有关性质列出方程组计算即可.
19. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离
答案：1
解析：解答：建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（ EMBED Equation.DSMT4 ，1，1），F（0，，1），
设 =（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由 ⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，，1）得： =x+y=0 =y+z=0，
所以：x=-yz=- 令y=1，得 =（-1，1，），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A1D，A1D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜，＞=，
所以||=|| cos＜，＞=1所以点A1到平面BEFE的距离为1.
分析：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A1到平面DBFE的距离．
三、解答题
20. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．
（1）求证：平面；
答案：证明：∵平面PAD⊥平面ABCD
AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
又∵EF//AB
∴EF⊥平面PAD
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；
答案：解：取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD
PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD
如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
∴O（0，0，0）A（0，-2，0） B（4，-2，0） C（4，2，0）
D（0，2，0） G（4，0，0） P（0，0，2） E（0，-1，）
F（2，-1，）
设平面EFG的法向量为
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为600
（3）若为线段上靠近的一个动点，问当长度等于多少时，直线与平面所成角的正弦值等于
答案：解：设
设直线MF与平面EFG所成角为θ
∵平面EFG的法向量为
解析：分析：本题主要考查了平面的法向量 向量方法证明线、面的位置关系定理，解决问题的关键是（1）证明线面面垂直，关键找线线垂直．首先利用面面垂直性质定理，转化为线面垂直：∵平面PAD⊥平面ABCD ，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，再利用平行关系转化为所求的线面垂直：∵EF//AB ∴EF⊥平面PAD．（2）涉及角的问题，一般利用空间向量解决．先建立空间直角坐标系：取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD ，PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD，以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，再分别求出两平面的一个法向量:
，设平面EFG的法向量为
所以可取而平面ABCD的一个法向量为利用向量数量积可得平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为600，（3）求线面角，还是利用空间向量比较方便．注意直线与法向量的夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，由于为线段上靠近的一个动点，因此对于结果进行取舍.
21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
答案：证明：∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.
∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
答案：解：如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，
则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，
＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据所给几何体满足条件运用一个性质定理建立空间直角坐标系证明即可.
22. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．
(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；
答案：证明：连接DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，又BD∩DC1＝D，所以ED⊥平面BDC1，BC1 面BDC1，所以ED⊥BC1.
(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
答案：解：假设存在点E满足条件，设AE＝h.
取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则，令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，∴n2＝(，1,0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D-BE-A等于60°.
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据用空间向量求平面间的夹角公式计算即可.
23. 已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.
（1）求证：平面平面；
答案：证明：底面，所以
底面是正方形，所以
所以平面又平面
所以平面平面
（2）当时，求二面角的大小.
答案：解：点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设
由题意得，,
，又
设平面的法向量为，则
，令，则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则
设二面角的平面角为，则.
显然二面角的平面角为为钝角，所以
即二面角的大小为
解析：分析：本题主要考查了二面角的平面角及求法，解决问题的关键是(1)证明平面内的直线垂直平面内的两条相交直线，即可证明平面平面；(2) 为方便计算，不妨设，先以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面和平面的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
24. 如图在棱长为1的正方体中，M,N分别是线段和BD上的点，且AM=BN=
（1）求||的最小值；
答案：解：作，连.易知
在，由余弦定理可得：
在，。当时，最小值=．
（2）当||达到最小值时，与，是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直，说明理由．
答案：答：当||达到最小值时，与，是都垂直.
理由：以点为坐标原点,以所在的直线分别为轴建立直角坐标系,由(1)可知,,
所以点,,,,,,
则,,,
,
即当||达到最小值时，与，是都垂直.
解析：分析：本题主要考查了用向量证明垂直，解决问题的关键是(1)作，连.易知,再由余弦定理可得：，则，根据二次函数的知识即可得到其最小值；建立空间直角坐标系，利用空间向量方法，写出，，的坐标，利用数量积即可求证它们是否垂直．
25. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；
答案：证明：取的中点，联结
∵分别是棱、的中点，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.
答案：解：由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系如图所示
则
设 ，平面的法向量，
则
由
得,取得：
∵平面
∴是平面的法向量，则平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值为
∴
解之得
∴在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是，且.
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是（Ⅰ）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面AEB1内找一条与CF平行的直线.根据题设，可取的中点，通过证明四边形是平行四边形来证明，从而使问题得证；（Ⅱ）由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系，利用空间向量求解.
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3.2立体几何中的向量方法同步检测
一、选择题
1. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（ ）
A．1 B．2 C．13 D．26
答案：B
解析：解答：设面的一个法向量为．则,令,则,则,
,．故B正确．
分析：本题主要考查了平面的法向量，点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据空间向量运算性质计算即可.
2. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )．
INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/~Y%5d@I$9%5dUCQ%7d02)%604X@@PMG.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/~Y%5d@I$9%5dUCQ%7d02)%604X@@PMG.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/~Y%5d@I$9%5dUCQ%7d02)%604X@@PMG.jpg" \* MERGEFORMAT
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：建立如图所示的空间直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/Application%20Data/Tencent/Users/309822390/QQ/WinTemp/RichOle/3%25E%5b6B1$0FR%7dCV285A%5d8X4X.jpg" \* MERGEFORMAT
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
∴PQ＝
＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.
分析：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据空间坐标运算距离公式计算即可.
3. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )．
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则＝(，1,2)，则＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，由sin θ＝＝.
分析：本题主要考查了平面的法向量、用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据线面夹角公式计算即可.
4. 已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（ ）
A．平行 B．垂直
C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角
答案：B
解析：解答：由，，可得，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.
分析：本题主要考查了平面的法向、用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据平面法向量有关性质计算即可.
5. 如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，则点到平面的距离为 ( )
A． B． C． D．1
答案：B
解析：解答：以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为
分析：本题主要考查了平面的法向量，点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是根据线面距离公式计算即可.
6. 若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α斜交
答案：B
解析：解答：因为直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B
分析：本题主要考查了平面的法向、用向量证明垂直，解决问题的关键是根据平面法向量有关性质计算即可.
7. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则k的值为
A.5 B.4
C. D.
答案：C
解析：解答：若，则平面的法向量与平面的法向量共线；所以有：
EMBED Equation.DSMT4 ，.故选C
分析：本题主要考查了平面的法向量 向量语言表述线线的垂直、平行关系，解决问题的关键是根据平面向量的平行关系分析计算即可.
8. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：B
解析：解答：以A为坐标原点，，的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设底面边长为2a，侧棱长为2b，
则A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(a，a,0)，C1(0,2a,2b)，B1(a，a,2b)．
由⊥，得·＝0，即2b2＝a2.
设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，
则n1·＝0，n1·＝0.
即又2b2＝a2，令z＝1，
解得n1＝(0，－，1)．
同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，，0)．
利用公式cos θ＝＝，得θ＝45°.
分析：本题主要考查了平面的法向量 用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据空间向量有关运算性质结合所给几何体的空间几何关系计算即可.
9. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 ( )．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
答案：D
解析：解答：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE 平面BB1，D1D.
∴AC⊥BE，故A正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，
∴EF∥平面ABCD，故B正确．
C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．
当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F ，
∴＝(0，－1,1)，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，
∴＝，＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.
分析：本题主要考查了向量语言表述线线的垂直、平行关系；异面直线；向量语言表述线线的垂直、平行关系，解决问题的关键是根据所给选项逐一分析即可.
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ( )．
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，
则＝(－1,1，－2)， ＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝
＝＝.
分析：本题主要考查了异面直线，解决问题的关键是根据空间几何体的几何关系计算即可.
11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )．
A. EMBED Equation.DSMT4 B. C. D.
答案：B
解析：解答：建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
分析：本题主要考查了异面直线，解决问题的关键是根据所给几何体满足的有关性质计算即可.
12. 已知等差数列的前n项和为，且 ，则过点和 的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A． B．(2，4) C． D.（-1，-1）
答案：A
解析：解答：直线的斜率.又
，所以它的一个方向向量可以为，与它共线，故选A.
分析：本题主要考查了直线的方向向量，解决问题的关键是根据所给数列关系得到方向向量即可.
三、填空题
13. 在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 ．
答案：
解析：解答：以为原点，所在直线为X轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系。为方便计算设正方体边长为2，则E点坐
标为（2，1，2），坐标为（0,0,2）坐标为（0，2，2）
B点坐标为（2，2，0）。
可得到=（2，1，0）
=（2，0，-2）
=（0，2，0）
设直线L为与的公垂线，=（x,y,z）为直线L的
方向向量。
由，，得
解得故可取=（1，-2，1）。
所以异面直线和间的距离为.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，解决问题的关键是建立空间自己坐标系根据有关运算性质计算即可.
14. 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
答案：45°
解析：解答：设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为n＝(1,0,0)，D ，A(0，－a,），P，M，＝，所以cos 〈，n〉＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据所给根据向量坐标运算性质进行计算即可.
15. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
答案：平行
解析：解答：分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵A1M＝AN＝a，
∴M，N，∴＝.
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，
∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.
∵是平面BB1C1C的法向量，且MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
分析：本题主要考查了空间点、线、面的位置，向量方法证明线、面的位置关系定理，解决问题的关键是根据所给几何体满足的几何关系分析计算即可.
16. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
答案：
解析：
解答：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)，所以＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝.
分析：本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，解决问题的关键是根据所给条件建立空间自己坐标系用空间向量求直线间的夹角、距离.
17. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
INCLUDEPICTURE "E:\\WCFUpload\\Upload\\2014-03\\16\\726e6448-f594-4fd0-969b-e32de975e873\\H211.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../H211.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：m＝a或2a.
解析：解答：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，
则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，
＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，
∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，
可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.
分析：本题主要考查了用向量证明垂直，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可.
18. 若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则______.
答案：2：3：-4
解析：解答：
.
分析：本题主要考查了平面的法向量，解决问题的关键是平面法向量的有关性质列出方程组计算即可.
19. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离
答案：1
解析：解答：建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（ EMBED Equation.DSMT4 ，1，1），F（0，，1），
设 =（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由 ⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，，1）得： =x+y=0 =y+z=0，
所以：x=-yz=- 令y=1，得 =（-1，1，），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A1D，A1D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜，＞=，
所以||=|| cos＜，＞=1所以点A1到平面BEFE的距离为1.
分析：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解决问题的关键是以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A1到平面DBFE的距离．
三、解答题
20. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．
（1）求证：平面；
答案：证明：∵平面PAD⊥平面ABCD
AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
又∵EF//AB
∴EF⊥平面PAD
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；
答案：解：取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD
PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD
如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
∴O（0，0，0）A（0，-2，0） B（4，-2，0） C（4，2，0）
D（0，2，0） G（4，0，0） P（0，0，2） E（0，-1，）
F（2，-1，）
设平面EFG的法向量为
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为600
（3）若为线段上靠近的一个动点，问当长度等于多少时，直线与平面所成角的正弦值等于
答案：解：设
设直线MF与平面EFG所成角为θ
∵平面EFG的法向量为
解析：分析：本题主要考查了平面的法向量 向量方法证明线、面的位置关系定理，解决问题的关键是（1）证明线面面垂直，关键找线线垂直．首先利用面面垂直性质定理，转化为线面垂直：∵平面PAD⊥平面ABCD ，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，再利用平行关系转化为所求的线面垂直：∵EF//AB ∴EF⊥平面PAD．（2）涉及角的问题，一般利用空间向量解决．先建立空间直角坐标系：取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD ，PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD，以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，再分别求出两平面的一个法向量:
，设平面EFG的法向量为
所以可取而平面ABCD的一个法向量为利用向量数量积可得平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为600，（3）求线面角，还是利用空间向量比较方便．注意直线与法向量的夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，由于为线段上靠近的一个动点，因此对于结果进行取舍.
21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
答案：证明：∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.
∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
答案：解：如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，
则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，
＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，解决问题的关键是根据所给几何体满足条件运用一个性质定理建立空间直角坐标系证明即可.
22. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．
(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；
答案：证明：连接DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，又BD∩DC1＝D，所以ED⊥平面BDC1，BC1 面BDC1，所以ED⊥BC1.
(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
答案：解：假设存在点E满足条件，设AE＝h.
取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则，令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，∴n2＝(，1,0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D-BE-A等于60°.
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是根据用空间向量求平面间的夹角公式计算即可.
23. 已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.
（1）求证：平面平面；
答案：证明：底面，所以
底面是正方形，所以
所以平面又平面
所以平面平面
（2）当时，求二面角的大小.
答案：解：点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设
由题意得，,
，又
设平面的法向量为，则
，令，则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则
设二面角的平面角为，则.
显然二面角的平面角为为钝角，所以
即二面角的大小为
解析：分析：本题主要考查了二面角的平面角及求法，解决问题的关键是(1)证明平面内的直线垂直平面内的两条相交直线，即可证明平面平面；(2) 为方便计算，不妨设，先以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面和平面的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
24. 如图在棱长为1的正方体中，M,N分别是线段和BD上的点，且AM=BN=
（1）求||的最小值；
答案：解：作，连.易知
在，由余弦定理可得：
在，。当时，最小值=．
（2）当||达到最小值时，与，是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直，说明理由．
答案：答：当||达到最小值时，与，是都垂直.
理由：以点为坐标原点,以所在的直线分别为轴建立直角坐标系,由(1)可知,,
所以点,,,,,,
则,,,
,
即当||达到最小值时，与，是都垂直.
解析：分析：本题主要考查了用向量证明垂直，解决问题的关键是(1)作，连.易知,再由余弦定理可得：，则，根据二次函数的知识即可得到其最小值；建立空间直角坐标系，利用空间向量方法，写出，，的坐标，利用数量积即可求证它们是否垂直．
25. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；
答案：证明：取的中点，联结
∵分别是棱、的中点，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.
答案：解：由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系如图所示
则
设 ，平面的法向量，
则
由
得,取得：
∵平面
∴是平面的法向量，则平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值为
∴
解之得
∴在棱上存在点使得二面角A—EB1—B的余弦值是，且.
解析：分析：本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角，解决问题的关键是（Ⅰ）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面AEB1内找一条与CF平行的直线.根据题设，可取的中点，通过证明四边形是平行四边形来证明，从而使问题得证；（Ⅱ）由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系，利用空间向量求解.
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