第四章 因式分解单元考点训练 （含解析） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解单元考点训练
刷中考
考点1 因式分解
1[2024 四川自贡中考]分解因式：
A. a(a-3)(a+3)
C.(a-3)(a+3)
2[2024山东中考]因式分解：:x y+2xy= .
3[2024 甘肃临夏州中考]因式分解：
4|[2024内蒙古赤峰中考]因式分解：
5[2024 山东威海中考]因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
考点2 因式分解的应用
6[2024广西中考]如果a+b=3, ab=1,那么 的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
7[2024四川凉山州中考]已知 且a-b=-2,则a+b= .
8[2024 福建中考]已知实数a,b,c,m,n满足
(1)求证: 为非负数；
(2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数 说明你的理由.
9新考法[2024安徽中考]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 (x，y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=1 -0 3=2 -1 5=3 -2 7=4 -3 9=5 -4 … 4=2 -0 8=3 -1 12=4 -2 16=5 -3 20=6 -4 …
一般结论 2n-1=n -(n-1) 4n=_______
按上表规律，完成下列问题：
(ii)4n= ;
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为 (x,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
假设 其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k，m均为自然数，则 为4的倍数.而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设.x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数，则 为4的倍数.而4n-2不是4 的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则 为奇数.而4n-2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
刷考点
一、选择题(共30分)
1[2023江苏无锡惠山区期中]下列分解因式正确的是 ( )
C. x(x-y)-y(x-y)=(x-y)
2[2024安徽安庆质检]多项式 各项的公因式是 ( )
B.2a b
C. a b
3已知m +n =25, mn=12,则 的值为( )
A.-84 B.84 C.±84 D.300
4[2023 河北中考]若k为任意整数，则( 4k 的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
5[2023 浙江宁波镇海区模拟]若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且多项式 能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[2023重庆大渡口区模拟]若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，则称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数.例如，11=1+5+1×5，11 是一个“可拆分”整数.下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96.其中正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(共20分)
7已知 则 2014= .
8[2023广东珠海香洲区模拟]我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图(1),a -1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1).接下来，观察图(2)，通过类比思考，因式分解：
9[2024广东深圳校级模拟]定义：任意两个数a，b，按规则c=a+b-ab扩充得到数c，称所得的数c为“鸿蒙数”.若 c为由a,b扩充得到的“鸿蒙数”，则b，c的大小关系为b c.
10在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是如对于多项式 因式分解的结果是 若取x=9,y=9时，则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x + 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式 取x=11,y=12时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
三、解答题(共50分)
1把下列各式分解因式：
12[2024河北秦皇岛期末]如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m cm的大正方形，两块是边长都为n cm的小正方形，五块是长为 m cm，宽为n cm 的小长方形,且m>n.
(1)观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 .
(2)若每块小长方形的面积为10 cm ，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58 cm .
①试求m+n的值.
②图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为 cm.(直接写出结果)
13 新考法[2024江苏常州校级期中]我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫做分组分解法.
例如：
(x-y-2)(x-y+2).
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫做拆项法.
例如：
2)(x+1+2)=(x-1)(x+3).
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①(分组分解法
②(拆项法))
(2)已知△ABC的三边长a,b,c满足 ac-bc=0,判断△ABC 的形状并说明理由.
14[2023青海西宁期末]材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”.例如：12是“宁静数”,∵12=4×(1+2),∴12 是“宁静数”;34不是“宁静数”,∵34≠4×(3+4),∴34不是“宁静数”.
材料二:一个四位自然数 M=1 000a+100b+10c+d(a,b,c,d均不为0),将其千位数字与十位数字组成的两位数记作 ac，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作 bd，若 ac和bd都为“宁静数”，则称M为“致远数”.将M的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数M',记
(1)判断24 是否为“宁静数”,3 469 是否为“致远数”，并说明理由；
(2)若一个四位自然数N是“致远数”，且F(N)与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”N.
刷中考
1. A 【解析】原式 故选A.
2. xy(x+2) 【解析】 故答案为 xy(x+2).
【解析】原式 故答案为
4.3a(x+1)(x-1)【解析】 3a(x+1)(x-1).故答案为3a(x+1)(x-1).
【解析】原式 故答案为
6. D 【解析】∵ 故选 D.
【解析】· 故答案为
8.(1)【证明】
则
∵a,m,n是实数,
为非负数.
(2)【解】m,n不可以都为整数.
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况如下：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数.
①当m，n都为奇数时， 必为偶数.
∵a为奇数，
必为偶数，这与b为奇数矛盾.
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn必为偶数.
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾.综上所述，m，n不可以都为整数.
9.【解】
故答案为7，5.
(ii)由(i)推导的规律可知
故答案为
故答案为
刷章测
1. C 【解析】
2. C
3. C 【解析】· +2mn=25+2×12=49,∴m-n=±1,m+n=±7.当m-n=1,m+n=7时, mn(m+n)(m-n)= 12×7×1=84;当m-n=1,m+n=-7时, n)(m-n)=12×(-7)×1=-84;当m-n=-1,m+n=7时, n)(m-n)=12×7×(-1)=-84;当 m-n=-1,m+n=-7时, n)(m-n)=12×(-7)×(-1)=84.故选C.
4. B 【解析】· (2k+3+2k)·(2k+3-2k)=3(4k+3),k为任意整数，∴其值总能被3整除.故选B.
5. B
6. D 【解析】设M 为一个“可拆分”整数,A,B为两个不相等的正整数(A7.-3 【解析】∵m -2m-2 011=0,∴ m(m- 把m(m-2)=2011代入上式,得原式 2011m-2014=-3.故答案为-3.
【解析】将题图(2)分成三个长方体，可得体积为( .故答案为
9.≥ 【解析】由题意得，当 时， 故答案为≥.
10.113410(答案不唯一) 【解析】 当 12时,各因式的值为x=11,2x+y=22+12=34,2x-y=22-12=10,∴ 产生的密码为113410.(答案不唯一)
11.【解】(1)原式:
(2)原式
(3)原式
12.【解】(1)由图形可知, 故答案为(
(2)①依题意得, 20=49.∵m+n>0,∴m+n=7.
②所有裁剪线长之和为 故答案为42.
13.【解】
(a-b)(a+c)=0.∵a,b,c均为正数,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
14.【解】(1)24 是“宁静数”,3 469 不是“致远数”,理由如下:∵24=4×(2+4),∴24 是“宁静数”.∵在3469中,a=3,b=4,c=6,d=9, ∴3 469 不是“致远数”.
(2)设四位自然数
10c+d,且a,b,c,d不为0,则
1 000c+100d+10a+b.∵ N 是“致远数”,
10a+b.∵“宁静数”必为4 的倍数且是两位数,∴“宁静数”有12,24,36,48,∴a,b可以是1,2,3,4.又∵F(N)与9的和能被4整除，即 是4的倍数,∴b=1或3.①当b=1时，a=1或3，对应的致远数有1 122,3162;②当b=3时,a=2或4,对应的致远数为2 346,4 386.综上所述,符合条件的“致远数” N有1 122,3 162,2 346,4 386.