4.3 公式法 同步练习（含解析）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

4.3 公式法
课时1用平方差公式因式分解
刷基础
知识点1 用平方差公式因式分解
课堂上老师在黑板上布置了四道用平方差公式分解因式的题目：①a -b ;②49x -y z ;( ,，小华发现其中有一道题目错了，则错误的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
[2024贵州贵阳校级期中]小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
3[2024 安徽合肥期末]分解因式：
4[2024 陕西汉中校级质检]把下列各式因式分解.
知识点2 平方差公式因式分解的应用
5若a+b=1,则 的值为 ( )
A.4 B.3 C.1 D.0
6[2024 河南信阳质检]已知6 -1能被30~40之间的两个整数整除，则这两个整数是 ( )
A.35,37 B.35,36
C.34,38 D.36,37
7[2023 山东青岛期末]刘师傅在制造某汽车配件时，要在半径为 R cm的圆形钢板上钻四个半径均为r cm的圆孔，刘师傅测量出，R=7.8,r=1.1，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积.(π≈3.14,结果精确到1cm )
易错点因式分解时出错
8阅读下列材料：
分解因式：
小云的做法：原式 1)②=4x(2x-1)(2x+1)③.
小朵的做法：原式： (1+4x)②.
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小云的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 .小朵的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 .
(2)请你写出正确的解题过程.
课时2 用完全平方公式因式分解
刷基础
知识点1 完全平方公式
1[2024重庆黔江区期末]下列各式是完全平方式的是 ( )
2[2023广东深圳调研]若 是完全平方式，则实数k的值为 ( )
A. B.
知识点2 用完全平方公式因式分解
3[2023 山东潍坊调研]若 则a的值为 ( )
A.-2 B.-4 C.±2 D.±4
4[2023甘肃白银调研]给多项式 添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是 ( )
嘉琪：添加：
陌陌：添加
嘟嘟：添加
A.嘉琪和陌陌的做法正确
B.嘉琪和嘟嘟的做法正确
C.陌陌和嘟嘟的做法正确
D.三位同学的做法都正确
5[2024湖北宜昌校级质检]因式分解：
知识点3 完全平方公式因式分解的应用
6[2023 贵州六盘水期末]已知正方形的面积为 则正方形的周长是( )
A.(2-x) cm B.(x-2) cm
C.(8-4x) cm D.(4x-8) cm
7已知 则代数式 的值是 ( )
A.20 B.16 C.8 D.4
若 则 a= ,b= .
9已知 则
1(0[2024 吉林长春调研]有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上a ，同时 B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果.如图(1)，已知A，B两区初始显示的分别是25 和-16.第一次按键后，A，B两区显示的结果如图(2).
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算 A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗，并说明理由.
刷提升
[2024浙江杭州校级期中，中]若 则M与N的大小关系是 ( )
A. M>N B. M≥N
C. M2[中]已知 那么代数式 的值是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[2024 贵州遵义调研，较难]两实数a，b同号，满足 若a-b为整数,则 ab 的值为 ( )
A.1或-
C.2或-
4[2023福建漳州调研,中]若1≤x≤4,化简11- 的结果为 .
5[2024浙江温州校级期中，中]如图，边长为4 的正方形ABCD中放置两个长、宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形 CHIJ，将阴影部分的面积记为 S ，长方形 AEFG 的面积记为S ,若 则长方形AEFG的周长为 .
6[2024甘肃兰州校级期中，中]阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中，把多项式中某些部分看做一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程.
解：设 则原式：=(y+1)(y+7)+9(第一步)
(第二步)
第三步)(
(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 .(填“A”或“B”或“C”)
A.提取公因式法 B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： .
(3)请你用换元法对多项式 6x-1)+4 进行因式分解.
7思想方法类比思想[2023四川资阳期中，较难]阅
读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 2-3)=(x+5)(x-1).根据以上材料,解答下列问题.
(1)分解因式(利用公式法)：
(2)求多项式 的最小值；
(3)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足 求△ABC的周长.
3 公式法
课时1 用平方差公式因式分解
刷基础
1. C 【解析】 不能因式分解； 则错误的是③.故选 C.
2. D 【解析】该指数可能是2,4,6,8,10五个数中的一个.故选 D.
3.3x(2+x)(2-x)【解析】 故答案为
4.【解】
5. C 【解析】∵
6. A 【解析】
故选A.
7.【解】根据题意可得，圆形钢板的剩余面积为 将 代入，得
答：圆形钢板的剩余面积约为
刷易错·
8.(1)①提取负号后，负号丢失 ② 平方差公式用错
(2)【解】原式 2x).
课时2 用完全平方公式因式分解
刷基础
1. C 【解析】 不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故A 错误； 不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故B错误； 符合完全平方式的特点，是完
全平方式，故C 正确； 不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故D 错误.故选C.
2. C 3. B 【解析】· 即 故选 B.
4. A 【解析】由题意，得嘉琪和陌陌的做法正确，嘟嘟添加 后，原多项式变成了一个单项式，不符合题意.故选 A.
5.【解】
6. D 【解析】: 正方形的边长为( .正方形的周长为 故选 D.
7. D 【解析】 当 时，原式
【解析】由题意得 ，解得
9.28 或 36 【解析】原式
∴①当 时，原式
②当( 时，原式 =
10.【解】(1)A区显示的结果为 B区显示的结果为
(2)这个和不能为负数，理由：根据题意得， ∴这个和不能为负数.
刷提升
1. A 【解析】: 故选A.
2. B 【解析】 故选 B.
3. A 【解析】 为整数,∴4-4ab为平方数,∴4-4ab=1或0,解得 或1.故选A.
4.2x-5 【解析】∵
【解析】如图. .设 2x,则. IJ=2x.∵正方形ABCD 的边长为4,∴AB= ，则易知四边形 BEPH、四边形IPFQ、四边形DGQJ 均为正 方 形， 80x+48.又∵ 故答案为
6.【解】(1)由题意可知，C符合题意.故答案为C.
(2)由题意得，原式 故答案为(
(3)设 原式
刷素养·…
7.【解】
(2)设 则 多项式 的最小值是
的周长为