新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测数学试题(含详解)
文档属性
| 名称 | 新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测数学试题(含详解) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 813.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 06:42:55 | ||
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文档简介
新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测
数 学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（ ）
A．210 B．195 C．194 D．184
5．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
7．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ）
A． B． C． D．
8．若直线l与函数的图象在区间D上有且仅有两个公共点，则称函数为直线l在区间D上的“双交函数”．记函数在处的切线为l，若偶函数满足，当时，，且函数为直线l在R上的“双交函数”，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．x的系数是10 B．第四项的二项式系数为10
C．没有常数项 D．各项系数的和为32
10．若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
11．在锐角中，，．若，设AB边上的高为CD．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．
13．已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
14．随机变量，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下：
高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96
高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98
国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格．
等级 优秀 良好 及格 不及格
测试数据
（1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率；
（2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率；
（3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论）
16．（15分）若数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最小整数n．
17．（15分）如图，在三棱锥中，平面ABC与平面DBC互相垂直，且，．求：
（1）AD所在直线和平面ABC所成角的大小；
（2）三棱锥外接球的表面积；
（3）二面角的正弦值．
18．（17分）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）M，N是C上任意两点．
（ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标；
（ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率．
新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D C A D B C BC ACD BCD
1．A【解析】由得，解得，所以，故选A．
2．B【解析】，故选B．
3．D【解析】，所以，
由，故选D．
4．C【解析】用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，
，故选C．
5．A【解析】因为，所以．由焦半径公式得，，
因为抛物线开口朝左，所以，即，故选A．
6．D【解析】，两边同时平方得，，，所以，故选D．
7．B【解析】由题意可知点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义可知，得，
又因为，在中，，
所以，故选B．
8．C【解析】因为，所以，求导得，则，
故在处的切线方程为．
因为偶函数满足，所以，故函数的周期为2．
又当时，，作出函数的大致图象如图所示：
要使函数为直线l在R上的“双交函数”，由图得满足A点在直线上，
可知，代入直线l方程可得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC【解析】含x的项为，所以A错误；
第四项为，其二项式系数为，故B正确；
2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故C正确；
各项系数的和是由时得到，即，故D错误．故答案为BC．
10．ACD【解析】令，解得或．
的增区间为和，减区间为，
要使函数在区间上单调，则包含于上述区间，
因为成立，且无解，所以只需考虑两种情况，
即或，解得或，所以答案为ACD．
11．BCD【解析】因为三角形为锐角三角形，所以角C为锐角，则为钝角，
所以，所以A错误．
，①+②得：③，
①-②得：④，③④得：，即，所以B正确．
设，则，因为，，，
由得，解得：，即，．
所以，，，
，解得，所以D正确．
，所以C正确．综上，答案为BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案不唯一，，或等均可
【解析】在上是减函数，则，
因为有很多解，如、、、等均符合题意，所以本题答案不唯一．
13．答案：
【解析】由，解得，故圆锥的母线，．
14．答案：或写成小数8.125均可
【解析】由二项分布的期望公式得，，
又，所以，
答案写成分数或小数均可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5，
故样本中学生体质健康不合格的频率为，
故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为．
（2）设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，，
高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，，
选取的2名学生构成的基本事件为：，，，
，，，，，，共9个，
其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个，
所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为，
故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为．
（3）由样本中相应分数段内数据可以看出高一学生测试数据的平均数要大于高二学生测试数据的平均数，高一学生的测试数据比高二学生的测试数据更为集中，
因此高一学生测试数据的方差小于高二学生测试数据的方差，故，．
16．解：（1），，，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知，则，
，
由，得，解得，因为，所以满足条件的最小整数n为11．
17．解：（1）在平面DBC内过点D作DO垂直于CB的延长线于点O，连结AO，
因为平面平面DBC，平面平面，平面DBC，
所以平面ABC，故为直线AD与平面ABC所成角．
因为，，，
所以与全等，，
故在直角三角形AOD中，，
所以直线AD与平面ABC所成角大小为．
（2）方法一：设，分别是和的外接圆圆心．
过作面ABC的垂线，过作面DBC的垂线，两条垂线的交点G即为外接球球心．
设外接圆的半径为，则，得，
同理外接圆的半径．过作于E，
则E为BC的中点，，
则球的半径，
所以三棱锥外接球表面积．
方法二：由（1）可知平面DBC，以点O为原点，
OD，OC，OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，，，，，
设三棱锥的外接球球心为G，设，外接球半径为R，
则可得，解得，，所以外接球表面积．
（3）由（1）可知平面DBC，以点O为原点，
OD，OC，OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，
显然为平面ABC的一个法向量，
设平面ABD的法向量，因为，，
则，即，
令，则，，．
．．
二面角的正弦值为．
18．解：（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，
时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，
或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19．解：（1）设动点，则P到直线的距离为，
到直线的距离为，
由题可知，化简得，
可得动点P的轨迹方程为：．
（2）（ⅰ）由题可知，，，
，
，，而，
，，，
，所以直线ON的方程为，
由可得或，
又因为点N位于y轴的右侧，所以．
（ⅱ）且，，
设直线MN的方程为：，，，
由消x得，
，
，，
又由两式相减得，可得，
则直线OH的方程为，代入得：，
则，，
，
，，
即，解得，所以直线MN的斜率为．
数 学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（ ）
A．210 B．195 C．194 D．184
5．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
7．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ）
A． B． C． D．
8．若直线l与函数的图象在区间D上有且仅有两个公共点，则称函数为直线l在区间D上的“双交函数”．记函数在处的切线为l，若偶函数满足，当时，，且函数为直线l在R上的“双交函数”，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．x的系数是10 B．第四项的二项式系数为10
C．没有常数项 D．各项系数的和为32
10．若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
11．在锐角中，，．若，设AB边上的高为CD．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．
13．已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
14．随机变量，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下：
高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96
高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98
国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格．
等级 优秀 良好 及格 不及格
测试数据
（1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率；
（2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率；
（3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论）
16．（15分）若数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最小整数n．
17．（15分）如图，在三棱锥中，平面ABC与平面DBC互相垂直，且，．求：
（1）AD所在直线和平面ABC所成角的大小；
（2）三棱锥外接球的表面积；
（3）二面角的正弦值．
18．（17分）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）M，N是C上任意两点．
（ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标；
（ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率．
新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D C A D B C BC ACD BCD
1．A【解析】由得，解得，所以，故选A．
2．B【解析】，故选B．
3．D【解析】，所以，
由，故选D．
4．C【解析】用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，
，故选C．
5．A【解析】因为，所以．由焦半径公式得，，
因为抛物线开口朝左，所以，即，故选A．
6．D【解析】，两边同时平方得，，，所以，故选D．
7．B【解析】由题意可知点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义可知，得，
又因为，在中，，
所以，故选B．
8．C【解析】因为，所以，求导得，则，
故在处的切线方程为．
因为偶函数满足，所以，故函数的周期为2．
又当时，，作出函数的大致图象如图所示：
要使函数为直线l在R上的“双交函数”，由图得满足A点在直线上，
可知，代入直线l方程可得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC【解析】含x的项为，所以A错误；
第四项为，其二项式系数为，故B正确；
2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故C正确；
各项系数的和是由时得到，即，故D错误．故答案为BC．
10．ACD【解析】令，解得或．
的增区间为和，减区间为，
要使函数在区间上单调，则包含于上述区间，
因为成立，且无解，所以只需考虑两种情况，
即或，解得或，所以答案为ACD．
11．BCD【解析】因为三角形为锐角三角形，所以角C为锐角，则为钝角，
所以，所以A错误．
，①+②得：③，
①-②得：④，③④得：，即，所以B正确．
设，则，因为，，，
由得，解得：，即，．
所以，，，
，解得，所以D正确．
，所以C正确．综上，答案为BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案不唯一，，或等均可
【解析】在上是减函数，则，
因为有很多解，如、、、等均符合题意，所以本题答案不唯一．
13．答案：
【解析】由，解得，故圆锥的母线，．
14．答案：或写成小数8.125均可
【解析】由二项分布的期望公式得，，
又，所以，
答案写成分数或小数均可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5，
故样本中学生体质健康不合格的频率为，
故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为．
（2）设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，，
高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，，
选取的2名学生构成的基本事件为：，，，
，，，，，，共9个，
其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个，
所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为，
故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为．
（3）由样本中相应分数段内数据可以看出高一学生测试数据的平均数要大于高二学生测试数据的平均数，高一学生的测试数据比高二学生的测试数据更为集中，
因此高一学生测试数据的方差小于高二学生测试数据的方差，故，．
16．解：（1），，，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知，则，
，
由，得，解得，因为，所以满足条件的最小整数n为11．
17．解：（1）在平面DBC内过点D作DO垂直于CB的延长线于点O，连结AO，
因为平面平面DBC，平面平面，平面DBC，
所以平面ABC，故为直线AD与平面ABC所成角．
因为，，，
所以与全等，，
故在直角三角形AOD中，，
所以直线AD与平面ABC所成角大小为．
（2）方法一：设，分别是和的外接圆圆心．
过作面ABC的垂线，过作面DBC的垂线，两条垂线的交点G即为外接球球心．
设外接圆的半径为，则，得，
同理外接圆的半径．过作于E，
则E为BC的中点，，
则球的半径，
所以三棱锥外接球表面积．
方法二：由（1）可知平面DBC，以点O为原点，
OD，OC，OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，，，，，
设三棱锥的外接球球心为G，设，外接球半径为R，
则可得，解得，，所以外接球表面积．
（3）由（1）可知平面DBC，以点O为原点，
OD，OC，OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，
显然为平面ABC的一个法向量，
设平面ABD的法向量，因为，，
则，即，
令，则，，．
．．
二面角的正弦值为．
18．解：（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，
时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，
或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19．解：（1）设动点，则P到直线的距离为，
到直线的距离为，
由题可知，化简得，
可得动点P的轨迹方程为：．
（2）（ⅰ）由题可知，，，
，
，，而，
，，，
，所以直线ON的方程为，
由可得或，
又因为点N位于y轴的右侧，所以．
（ⅱ）且，，
设直线MN的方程为：，，，
由消x得，
，
，，
又由两式相减得，可得，
则直线OH的方程为，代入得：，
则，，
，
，，
即，解得，所以直线MN的斜率为．
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