专题8 平行四边形的综合 同步练习（含解析）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

专题8 平行四边形的综合
类型1 平行四边形的面积问题
[2024山东淄博调研,中]如图,P是 ABCD内一点，且S△PAB=6,S△PAD=2,则阴影部分的面积为 ( )
A.4 B.4.5 C.5 D.无法计算
2[2024江苏南京鼓楼区校级期中，中]如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OC落在x轴的正半轴上,点C(4,0),B(6,2),直线y=2x+1以每秒3个单位的速度向下平移，该直线将□OABC 的面积平分时，该直线移动了 ( )
A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒
3新考法[2024 河北石家庄校级调研，较难]在平行四边形ABCD 中，五块阴影部分的面积分别为S ,S ,S ,S ,S ,如图所示,则下列选项中的关系正确的是 ( )
类型2 平行四边形的折叠问题
4[2024黑龙江哈尔滨南岗区校级调研，中]如图，在平行四边形ABCD中,E 为边 CD上一点,将△ADE 沿AE 折叠至△AD'E 处,AD'与CE 交于点 F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'为 ( )
A.30° B.32° C.34° D.36°
[2024广东广州校级调研，中]如图所示，平行四边形ABCD中,点E 在边AD 上,将△ABE沿BE所在直线向上翻折，点A 正好落在CD边上的F 处,若△FDE 的周长为8,△FCB 的周长为22，则FC的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6[2024 山东济南校级调研，较难]如图，,S□ABCD=24,点E 为AB 的中点,点 F 为 BC 上的一个动点,将△BEF沿EF 折叠,点 B 的对应点为点 G,连接GD,GC,若AB=4,则△GDC面积的最小值为
7[2024河北唐山校级期中,中]如图,将 ABCD沿过点A 的直线折叠，使点 D 落到AB 边上的点 D'处,折痕交 CD 边于点 E,连接BE.
(1)求证：四边形BCED'是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC,求证:
8[2024四川成都期中，中]如图，将平行四边形ABCD 折叠,使得点 C 落在点A 处,点 D 落在点D'处,折痕为EF,连接CE.
(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；
(2)若AB=4,BC=6,∠B=60°,求平行四边形AFCE 的面积.
类型3 平行四边形的动点问题
[2024江苏连云港校级调研，中]如图，直线AB与x轴,y轴分别交于点A(3,0),B(0,6),另有两点C(-1,4),D(-3,4),若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段 CD 为平行四边形的一边，则满足条件的 P 点坐标为
10[2024江苏南京鼓楼区期末，较难]如图，在 ABCD中,点 D 是定点,点A,C 分别是直线l 和l 上两动点,且l ∥l ,点D到直线l 和l 的距离分别是1 和4，则对角线 BD 长度的最小值是 .
11[2024山东济南校级调研，中]如图，在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15 cm,点P 自点A 向点 D 以1 cm/s的速度运动,到D 点即停止.点 Q 自点 C 向点 B 以2cm/s的速度运动，到B 点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为 ts.
(1)用含 t的代数式表示各线段长度.
AP= ;DP= ;BQ= ;CQ= .
(2)当 t 为何值时,四边形 APQB 是平行四边形
(3)当 t 为何值时,四边形 PDCQ 是平行四边形
12[2024广东河源源城区期末，较难]如图，在四边形ABCD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA 向点A 匀速移动，点F 从点 C 出发，以每秒3个单位的速度沿 C→B→C 做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.点G为BD上的一点，连接EG，FG，设移动时间为t秒，BG的长度为y.
(1)求证:AD∥BC;
(2)在移动过程中，小明发现有△DEG 与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次，并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y.
专题8 平行四边形的综合
刷难关
1. A 【解析】∵ 故选 A.
2. B 【解析】连接AC,BO 交于点 D.当平移后的直线经过D 点时，该直线可将 OABC 的面积平分.∵四边形 AOCB 是平行四边形，∴BD=OD.∵点B(6,2),O(0,0),∴D(3,1).设过点 D 的直线与x轴交于点 E，直线DE 的表达式为y= kx+b.∵直线DE 由直线y=2x+1 平移得到,∴k=2.∵ 直线 DE 过D(3,1),∴直线 DE 的表达式为 y=2x-5,∴直线y=2x+1要向下平移6个单位，∴直线y=2x+1移动了6÷3=2(秒),故选 B.
3. D 【解析】如图.
在 ABCD 中,易得 故选D.
4. D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B=52°.∵ ∠AEF 是△ADE 的外角,∴ ∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∴ ∠AED=180°-∠AEF=180°-72°=108°.∵ 将 △ADE 沿 AE 折 叠至 △AD' E 处,∴ ∠AED' = ∠AED = 108°, ∴ ∠FED' =∠AED'-∠AEF=108°-72°=36°,故选 D.
5. C 【解析】由折叠的性质可得EF=AE,BF= ·四边形ABCD为平行四边形,∴ ,BC+AB=22,即FC+15=22,∴FC=7,故选C.
6.8 【解析】如图,以点E为圆心，EB长为半径作圆E.由折叠可知EG=EB,∴点G在圆E上运动.过点G作GM⊥DC 于点M,过点 E 作EN⊥DC 交 DC 的 延长线 于 点 当GM最小时,△GDC 的面积最小.∵ EG+GM≥EN, 面积的最小值为 4=8.故答案为8.
7.【证明】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∠D=∠ABC.由折叠的性质可知,∠D=∠AD'E,∴ ∠AD'E=∠ABC,∴D'E∥BC.又∵AB∥CD,∴四边形 BCED'是平行四边形.
(2)由折叠的性质可知,∠DAE=∠D'AE= 平分∠ABC,∴ ∠EBA = ∠CBA = 180°, ∴ ∠EAB + ∠EBA = 90°,
8.(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠AEF=∠EFC.
由折叠知,∠AFE=∠EFC,AF=CF,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=CF.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
(2)【解】作 于H.
设 则
在 中，由勾股定理得， 解得
∴平行四边形AFCE 的面积为
9.(2,2)或(
10.5 【解析】如图,过点D作 于点M,延长DM 交 于点 H,过 点 B 作 于点N，连接MN. 设 CD 与 交于点E,AB与 交于点
∵点D 是定点，
且点D 到直线 和 的距离分别是1和4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，.
在 和
中
根据垂线段最短，两点之间线段最短可得，当 时，BD的长度有最小值，最小值为 ∴对角线BD长度的最小值是 ，故答案为5.
【解】(2)由(1)知
∴当 时，四边形APQB 是平行四边形，即 解得t=5,∴当 时，四边形APQB是平行四边形.
(3)由(1)知 ∵AD∥BC,∴当PD=QC时,四边形 PDCQ是平行四边形，即 解得t=4,∴当t=4时，四边形PDCQ 是平行四边形.
12.(1)【证明】∵AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.
(2)【解】当 时,CF=3t,则BF=8-3t.∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB.
∵△DEG与△BFG全等,
∴BF=DE,BG=DG或BF=DG,BG=DE,即 或解 得 或 (不合题意，舍去).当 时，BF=3t-8.
∵△DEG 与△BFG 全等,∴BF=DE,BG=DG 或 BF = DG,BG= DE,即 或解得 或
∴△DEG与△BFG全等的情况出现了3次,分别为t=2,y=6;t=4,y=6;t=5,y=5.