第五章分式与分式方程单元考点训练（含解析） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

分式与分式方程单元考点训练
刷中考
考点1 分式及其性质
[2023 四川凉山州中考]分式 的值为0，则x的值是 ( )
A.0 B.-1
C.1 D.0或1
2[2023甘肃兰州中考]计算：
A. a-5 B. a+5
C.5 D. a
[2024 湖南长沙中考]要使分式 有意义，则x需满足的条件是 .
考点2 分式的运算(
[2024广州中考]若a≠0，则下列运算正确的是( )
5[2024 山东威海中考]计算:
6[2024 黑龙江绥化中考]化简：
7[2024 四川眉山中考]已知 且 则a 024 的值为 .
8[2024山东滨州中考]欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a，b，c为两两不同的数，称 0,1,2,3)为欧拉分式.
(1)写出P 对应的表达式；
(2)化简 P 对应的表达式.
考点3 分式的化简求值
9[2024四川雅安中考]已知 则 ( )
A. B.1 C.2 D.3
10[2024四川乐山中考]先化简，再求值： 其中x=3.小乐同学的计算过程如下：
解：
当x=3时,原式=1.
(1)小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
11[2024 黑龙江牡丹江中考]先化简，再求值： 并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.
考点4 分式方程
12[2024 四川遂宁中考]分式方程 的解为正数，则m的取值范围 ( )
A. m>-3 B. m>-3且m≠-2
C. m<3 D. m<3且m≠-2
13[2024 黑龙江龙东地区中考]已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ( )
A. k=2或k=-1 B. k=-2
C. k=2或k=1 D. k=-1
14[2024湖北武汉中考]分式方程 的解是 .
15新考向开放性试题[2024 四川广元中考]若点Q(x,y)满足 则称点 Q 为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 .
16[2024 重庆中考B卷]若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤4，且关于y的分式方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 .
17[2024陕西中考]解方程:
考点5 分式方程的实际应用
18[2024甘肃临夏州中考]端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是 ( )
19[2024重庆中考 A 卷]为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70 万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备
刷章测
一、选择题(共32分)
[2024 河南郑州期末]下列分式中，是最简分式的是 ( )
2[2023 山东威海文登区期中]下列从左到右变形正确的是 ( )
3[2023 湖南郴州质检]对于下列说法，错误的个数为 ( )
是分式;②当x≠1时, 成立； ④当x=-3时,分式 的值是0.
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
4若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 ( )
5[2024辽宁葫芦岛兴城期末]美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 通过查看答案，得知结果为 则被污染的代数式为 ( )
6如果 那么(a b 等于 ( )
A.6 B.9 C.12 D.81
7甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
2023四川成都调研]一次函数y=(a-7)x+a的图象不经过第三象限，且关于x的分式方程 有整数解，则满足条件的整数a的和为 ( )
A.18 B.17 C.12 D.11
二、填空题(共16分)
9当m= ,方程 会产生增根.
10新考向传统文化[2024 辽宁沈阳质检]《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是把一份文件用慢马送到900 里外的城市，所需的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3 天.已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出的分式方程为 .
11[2023 江苏苏州模拟]若正数a,b,c满足 则
12[2024河南开封调研]一个容器装有1 升水，按照如下方法把水倒出：第Ⅰ次倒出 升水，第2次倒出水量是 升的 ，第3次倒出水量是 升的 ，第4次倒出水量是 升的 , ,第n次倒出水量是 升的； .按照这种倒水的方法，n次倒出的水量共为 升.
三、解答题(共52分)
13[2023 山东烟台期末]先化简 然后在2，-2，-1中选一个你认为合适的a值，代入求值.
14解方程：
15[2024 安徽亳州期末]如果两个分式P 与Q的和为正整数m，则称 P 与 Q 互为“完美分式”，正整数 m 称为“完美值”，如分式 P= 则 P与Q 互为“完美分式”,“完美值” m=1.
(1)已知分式 判断A与B是否互为“完美分式” 若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m.
(2)已知分式 若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m=3，其中x为正整数，分式D 的值为正整数.
①求 E所代表的代数式；
②求x的值.
16[2023黑龙江鸡西模拟]为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共 100件.已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6 000 元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍.
(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案.
(3)在(2)的条件下，商场决定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件T恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购T恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购T恤衫按标价返款50%.该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2 220元，求出抽到的二等奖中，购买的乙品牌T恤衫有多少件.
刷中考
1. A 【解析】∵ 分式 的值为0，∴ 且x-1≠0,解得x=0,故选A.
2. D 【解析】 故选 D.
3. x≠19 【解析】由题可知,当x-19≠0时,分式有意义,解得x≠19.故答案为x≠19.
4. B
5. -x-2 【解析】 故答案为-x-2.
【解析】原式 故答案为
【解析】
每3个为一个循环.∵2 024÷3= 故答案为
8.【解】(1)由题意可得,
(2)由题 意 可 得,
9. C 【解析】∵ 2.故选 C.
10.【解】(1)第③步开始出现了错误，分子应该是2x-x-2,故答案为③.
当 时，原式
11.【解】
∵x≠0且x≠3,∴x取-1或1或2均正确.当x=-1时,原式 (答案不唯一).
B 【解析】去分母得: ,解得x=m+3.由方程的解为正数，得到 ,且m+3≠1,则m的取值范围为m>-3且m≠-2.故选 B.
13. A 【解析】 化为整式方程为(k-2)x=-9.∵关于x的分式方程 无解,∴①x-3=0,解得x=3,则3(k-2)=-9,解得k=-1;②k-2=0,解得k=2.综上,k=-1或k=2.故选 A.
14. x=-3 【解析】去分母得x(x-1)= (x-3)(x+1).去括号得 解得x=-3.检验:当x=-3时,(x-1)(x-3)≠0,故原方程的解为x=-3.故答案为x=-3.
15.(2,-1)(答案不唯一) 【解析】等号两边都乘 xy,得x+y=1.令x=2,则y=-1,∴“美好点”的坐标为(2,-1),故答案为(2,-1)(答案不唯一).
16.12 【解析】 ②解不等式①，得x≤4,解不等式②,得x4,解得a>2. 解方程 得 y= 且y≠-2. y为负整数，则有以下几种情况:当a=8时, 当a=6时, (不合题意，舍去)；当a=4时， 综上，符合条件的a的值有8，4，8+4=12，∴所有满足条件的整数a的值之和是12.
17.【解】去分母得 去括号得 移项、合并同类项得x=-3.
检验:把x=-3代入(x+1)(x-1)得,(-3+1)(-3-1)=8≠0,∴x=-3是原方程的解.
18. C 【解析】由题意可得, 故选 C.
19.【解】(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线.
根据题意得 解得
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线.
(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元.根据题意得 解得m=45.经检验, 是所列方程的解，且符合题意，.
答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
刷章测
1. A 【解析】 是最简分式，A选项符合题意 不是最简分式，B选项不符合题意； 不是最简分式，C选项不符合题意 不是最简分式，D选项不符合题意.故选A.
2. D 【解析】∵ 中缺少c≠0的条件，∴A选项错误；∵分式的分子与分母同时乘或除以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，∴B，C选项均错误； 的分子与分母同时除以c ，分式的值不变，∴D 选项正确.
3. B 【解析】 不是分式，是整式，故①错误；当x≠1时, 故②正确； 故③错误；当x=-3时,分式 的分母为0，没有意义，故④错误.综上，错误的个数为3个.故选 B.
4. D 【解析】A 选项, 不符合题意；B选项， 不符合题意；C选项， 不符合题意；D选项， 符合题意.故选 D.
5. C 【解析】由题意得 被污染的代数式为 故选C.
6. B 【解析】·.
7. A 【解析】设甲志愿者计划完成此项工作的天数为x，故甲的工作效率为 由于甲、乙两人工作效率相同，则乙的工作效率为 甲前两个工作日完成了 剩余的工作量甲完成了 乙从第三个工作日起加入此项工作后完成了 则 解得x=8,经检验,x=8是原方程的解，且符合题意.故选A.
8. D 【解析】∵一次函数的图象不经过第三象限 分式方程可化为2=3(2-x)+ ax.∵分式方程有解, 且3-a≠2.∵分式方程有整数解,∴3-a=-2或3-a=1或3-a=-1或3-a=-4或3-a=4或3-a=2,解得a=5或a=2或a=4或a=7或a=-1或a=1.∵a=7和a=-1和a=1不合题意,舍去,∴a=5或a=2或a=4,∴整数a的和为11.故选 D.
9.-3或5 【解析】方程两边同时乘x(x-1),得3(x-1)+6x=x+m,解得 方程有增根,∴x=0或x=1.把x=0代入 解得m=-3;把x=1代入 解得m=5.故答案为-3或5.
【解析】∵用慢马送，所需的时间比规定时间多一天，用快马送，所需的时间比规定时间少3天，且规定时间为x天，∴用慢马送需要(x+1)天，用快马送需要(x-3)天.根据题意得
【解析】解法一： 解得
解法二： a,b,c都为正数, 17,∴b+ ab=17.②由①②解得
【解析】由题意得 故答案为
13. 【 解 】
且
且
∴当 时，原式
14.【解】(1)去分母、去括号,得 移项、合并同类项，得
解得
经检验， 是增根，因此原分式方程无解.
(2)去分母、去括号，得 移项、合并同类项，得 解得 经检验， 是原分式方程的解.
15.【解】(1)A 与 B 互为“完美分式”. A与B互为“完美分式”，且“完美值”
(2)①∵C 与 D 互为“完美分式”,且“完美值” 为正整数，分式D 的值为正整数，
16.【解】(1)设甲品牌T恤衫每件的进价为 元，则乙品牌T恤衫每件的进价为( 元.由题意，得 解得 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：甲品牌T恤衫每件的进价为30元，乙品牌T恤衫每件的进价为 60元.
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100-a)件.根据题意，得
的整数值为78，79，80，∴商场共有三种进货方案.方案一：购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件；方案二：购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件；方案三：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件.
(3)设抽到的二等奖中，购买的乙品牌T恤衫有n件，则甲品牌T恤衫有(3-n)件.①购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为甲品牌，则( n)=2220,解得 (舍)；购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为乙品牌,则(50-30)×78+(100-60)×22-100-100×50%n-50×50%(3-n)=2220,解得 (舍).
②购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件,一等奖为甲品牌,则(50-30)×79+(100-60)×21-50-100×50%n-50×50%(3-n)=2220,解得n=3;购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为乙品牌,则(50-30)×79+(100-60)×21-100-100×50%n-50×50%(3-n)=2220,解得n=1.
③购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件,一等奖为甲品牌,则(50-30)×80+(100-60)×20-50-100×50%n-50×50%(3-n)=2 220,解得 (舍)；购进甲品牌T恤衫 80件，购进乙品牌T 恤衫20件,一等奖为乙品牌,则(50-30)×80+(100-60)×20-100-100×50%n-50×50%(3-n)=2220,解得 (舍).
综上，抽到的二等奖中，购买的乙品牌T恤衫有1件或3件.