9.1　向量概念 练习（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．1　向 量 概 念
一、 单项选择题
1 给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移，下列说法中正确的是(　　)
A. ①②③是数量，④⑤⑥是向量
B. ②④⑥是数量，①③⑤是向量
C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量
D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量
2 设点D是△ABC的外心，则，，是　(　　)
A. 相等向量 B. 平行向量
C. 模相等的向量 D. 单位向量
3 (2024宝鸡法门高中期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B. 因为零向量的方向不确定，所以零向量不与任一向量平行
C. 模为1的向量都是相等向量
D. 向量的模可以比较大小
4 “b∥a”是“a＝b”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024河南期中)在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且＝，＝，||＝||，则下列结论中正确的是(　　)
A. AC⊥BD
B. 四边形ABCD是梯形
C. 四边形ABCD是菱形
D. 四边形ABCD是矩形
6 如图，某人从点A沿箭头方向出发，每秒运动一个单位长度，1 s后至点B，再沿原方向偏左60°的方向运动1 s，如此下去，则他回到原来的起点所用的时间为(　　)
A. 5 s B. 6 s C. 7 s D. 8 s
二、 多项选择题
7 (2024四川期中)下列命题中，正确的有(　　)
A. 若a与b都是单位向量，则a＝b
B. 方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量
C. 若a与b是平行向量，则a＝b
D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
8 (2024宁波期中)下列命题中，正确的有(　　)
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D. “若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
三、 填空题
9 若将向量a先向上平移10个单位长度，再向右平移15个单位长度，得到向量b，则a与b的关系是________．
10 如图，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模大于1的向量有______________．
11 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
四、 解答题
12 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAB＝60°，在分别以A，B，C，D，O中的不同两点为起点与终点的向量中：
(1) 写出与平行的向量；
(2) 写出与的模相等的向量．
13 (2024河北月考)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后从图书馆向南偏东60°方向走了1000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移．
9.1　向 量 概 念
1. D　由物理知识可知，密度，路程，质量，功是数量；速度，位移既有大小又有方向，因此是向量．
2. C　因为△ABC的外心到三个顶点的距离相等，所以||＝||＝||，所以，，是模相等的向量．
3. D　向量是既有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错误；因为零向量的方向不确定，故规定零向量与任一向量平行，故B错误；长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模为1的向量只规定了长度相等，方向不一定相同，故C错误；向量的模是一个数量，所以可以比较大小，故D正确．
4. B　当a＝b时，一定有a∥b，故必要性成立；但当a∥b时，两个向量a，b不一定相等，如零向量与任一向量都平行，故充分性不成立，所以“b∥a”是“a＝b”的必要且不充分条件．
5. D　由＝，＝，||＝||，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形．
6. B　此人运动1 s后与原方向成60°的夹角，因为360°÷60°＝6，故运动6次，即6 s后回到起点．
7. BD　对于A，若a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b可以方向不同，故A错误；对于B，方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量方向相反，所以这两个向量是共线向量，故B正确；对于C，当|a|≠|b|或a与b方向相反时，不满足a＝b，故C错误；对于D，由向量的几何表示知D正确．故选BD.
8. BD　对于A，若b＝0，则a，c不一定平行，故A错误；对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则AB∥CD，且AB＝CD，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，且AB＝CD，此时A，B，C，D是不共线的四点，且＝，故D正确．故选BD.
9. a＝b
10. ，，，，，　模长为2的向量有，，，；模长为3的向量有，.
11. 0　向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与向量是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反．又由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量不共线，则m＝0.
12. (1) 与平行的向量有，，.
(2) 与的模相等的向量有，，，，，，，，.
13. 如图所示，
向量表示从教学楼到图书馆的位移；
向量表示从图书馆到食堂的位移；
向量表示从食堂到操场的位移；
向量表示从开始到最后的位移．