湖北省部分高中协作体2025届高三下学期四月联考数学试题(含详解)

湖北省部分高中协作体2025届高三下学期四月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，化简得（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
3．已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ）
A． B．
C．2 D．1
6．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ）
A．30 B．20 C．10 D．6
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．
10．已知直线的方程为为原点，则（ ）
A．若，则点一定不在直线上
B．若点在直线上，则
C．直线上存在定点
D．存在无数个点总不在直线上
11．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是 ．

13．已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求取值的集合.
16．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
17．如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．
(1)求证：平面AEG∥平面BDH；
(2)求点A到平面BDH的距离．
18．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积．
19．已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk.
(1)求的值;
(2)求满足的最小自然数的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意：，
故选B.
2．【答案】C
【详解】画出函数的图象，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
3．【答案】A
【详解】设，则
由，解得，
即.
故选A.
4．【答案】D
【详解】因为，，
则
，
所以，故.
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为数列满足，，所以，
同理可得，所以数列{an}的周期为4，即，
且，而，
所以该数列的前2 025项的乘积是.
故选C.
6．【答案】D
【详解】从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，
①取出的两数都是偶数，共有3种取法；
②取出的两数都是奇数，共有3种取法．
故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法．
答案D.
7．【答案】A
【详解】∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选A.
8．【答案】B
【详解】解：设，则，，
由题知关于x轴对称，关于轴对称，
所以，，即，，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为.
故选B.
9．【答案】CD
【详解】由题知函数的定义域为，因为是偶函数，所以，从而；
因为是偶函数，所以，从而；
于是，，所以是以4为周期的函数.
因为，所以，即，所以是偶函数.
故选CD.
10．【答案】BD
【详解】到直线的距离为，所以与圆相切，
因此选项A错误，B正确，D正确；
由可得，，若直线存在定点，
则，这样的不存在，因此直线上不存在定点，选项C错误.
故选BD.
11．【答案】BCD
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，所以，A错误；
根据题意为的两个根，所以，B正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选BCD.
12．【答案】
【详解】分析：根据等体积法：即可：
详解：由题可得=,故答案为
13．【答案】
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得.
14．【答案】
【详解】由可得：
设直线与曲线相切于，则有.
所以切线方程可表示为，即.
由可得：
设直线与曲线相切于，则有.
所以切线方程可表示为，即.
所以，消去s，整理得：，解得：，所以.
所以斜率.
15．【答案】（1）函数 的单调递减区间为；（2）取值的集合为.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，利用正弦函数的单调性解不等式即可求得函数的单调递减区间；（Ⅱ），即 ，由正弦函数的性质得，化简后，写成集合形式即可.
试题解析：（Ⅰ）
，
因为周期为，所以，故，
由，得，
函数 的单调递减区间为，
（Ⅱ），即 ，
由正弦函数得性质得，
解得所以，
则取值的集合为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，
所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，，
所以平面AEG∥平面BDH．
（2）记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，，
因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以，
在△PBC中，，
在△BCH中，，
同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD．
在△BDH中，，，
因为，所以．
18．【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为.
【详解】解：（1）由圆，即，
圆的圆心坐标为，半径．
设，则，．
由题意可得，即．
整理得．
的轨迹方程是．
（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，
从而．
，
直线的斜率为．
直线的方程为，即．
则到直线的距离为．
又到的距离为，
．
．
19．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：设数列的公差为，
因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数；
（2）解：由集合 的元素个数为，
结合（1）可得，
所以，
当时，可得；
当时，可得，
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是.