安徽省江淮十校2024-2025学年高三下学期4月联考 数学试题（含详解）

安徽省江淮十校2024 2025学年高三下学期4月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
6．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴
7．的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同
B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
10．设、是曲线上两个不同的点，则（）
A． B．
C． D．
11．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．已知，，则曲线C上满足的点P有且只有一个
B．曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
D．曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
三、填空题（本大题共3小题）
12．设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 .
13．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
14．已知表示不超过的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的n的和等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，.
(1)求；
(2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点.

(1)证明平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI for Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下：
①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨；
②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴.
假设今天天气是晴天，回答以下问题：
(1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望；
(2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值.
18．已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，
（i）求点M到直线距离的最大值；
（ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数；
(3)设，，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为，所以.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以在上的投影向量为.
故选C
4．【答案】A
【详解】因为，
又，
所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】

设，，，
则，，
由，
因，，则，
代入整理得，，显然，故，
因，故当时，取得最大值，
此时取得最小值为36，故的最小值为为6.
故选B.
6．【答案】B
【详解】令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
综上可得，
且的值域为，故B正确；
作出函数的大致图象：
由图可知不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；
因为，，，
由图可知在上单调递减，在上单调递增，
则在上不单调，故C错误；
的对称轴为，故D错误；
故选B.
7．【答案】D
【详解】的展开式通项为：，由得，所以的常数项系数为；由得，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.
8．【答案】B
【详解】因为，两边同除以，得，即，①
因为，两边同除以，得，即，
整理得，②
由①②可构造函数，显然该函数是上的增函数，
于是根据①②知，所以，因此．
故选B．
9．【答案】AC
【详解】对于A：若一组数据的方差为，所以所有数据都相同，故A正确；
对于B：若原数据的卡方记作，即，
则新数据的卡方记作，则
，
所以结论可能会发生改变，故B错误；
对于C：依题意，所以，故C正确；
对于D：因为，所以第70百分位数为，故D错误.
故选AC
10．【答案】ACD
【详解】对于选项，构造点，
点恒在的上方，则，即，故A正确，B错误；

对于选项C，构造，则，点，
点恒在的上方，则，
两边取对数得，即，故C正确；

刈于选项D，构造，则，点，
点恒在的上方，则，
两边取对数得，即，故D正确；

故选ACD．
11．【答案】ACD
【详解】对于A项,点P满足,则点P在y轴上，将代入方程，得，即，解得，得唯一交点为，故A项正确；
对于B项, 令，解得：或或，当时，无解.
所以曲线C经过整点，故B项错误；
对于C项, 因为直线与曲线必有公共点，
联立，可得，
由题意可知，解得或，即实数的取值范围是.故C项正确；
对于D项, 根据曲线C：，可知，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故D项正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，，所以，
双曲线：的两条渐近线方程分别为，
若，则的倾斜角为，的倾斜角为，
即，解得，
则C的离心率为.
13．【答案】
【详解】因为关于的不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以，即的取值范围是.
(令，则，，所以在上存在零点).
14．【答案】341381
【详解】由于分母的最小公倍数为6，故可先考虑时满足的的值的情况.
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，,不满足；
当时，，满足；
当时，，不满足.
综上，满足题意的可以表示为的形式，
由，可得，，
即所有满足条件的构成等差数列，其首项为5，末项为2021，项数为337，
故当时，所有满足条件的n的和等于.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴记点到的距离为，则，
∴，，，
∴．
∴，又，∴．
（2）由（1）知，，，∴．
设．
在中，由正弦定理可得，
∴，则，，
∴
∵为锐角三角形，，解得，
又，在均为递增函数，且函数值均为正数，
又在上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，
当时，所以，
故．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设圆的半径为，
所以，
当且仅当时取等号．
所以当为正方形时，面积最大，
所以，交于点，连接，
因为为中点，E为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，所以，，，
所以为正三角形，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
又因为，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，平面，所以，
连接，又，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为的平面角，
又，，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.

17．【答案】(1)分布列见解析，.
(2)，趋于的稳定值为.
【详解】（1）由题意可知：的值可以为：.
且，
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以
（2）由题意：数列中：，.
设，
由.
所以，且.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以.
因为，所以趋于的稳定值为.
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意：，解得.
所以椭圆的方程为：.
（2）（i）如图：
易知：，，所以直线的方程为：.
设，因为在第一象限，所以可取.
所以点到直线的距离为：
，当时取“”.
所以点M到直线距离的最大值为.
（ii）因为直线的方程为：，令可得；
直线的方程为：，令可得.
所以四边形的面积为：
为定值.
又面积的最大值为：，
所以面积的最大值为：.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
又，
则曲线在处的切线方程；
（2）的定义域为，
则，因，故，
由可得或，
当时，，则在上单调递增，故函数无极值点；
当时，，
由可得或；由可得，
即函数在上单调递增；在上单调递减.
故当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点.
（3）由可得，两边取对数，
即，.
由（2）知，当时，函数在上单调递增，且，
故当时，，即，也即；
当时，函数在上单调递减，
故当时，，即，也即.
下面用数学归纳法证明：.
①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即.
则当时，；
又，
即当时，有，结论成立.
由①②可得，对，都成立.