10.1.1　两角和与差的余弦 练习(含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.1　两角和与差的余弦
一、 单项选择题
1 化简cos βcos (α＋β)＋sin βsin (α＋β)的结果为(　　)
A. cos (α＋2β) B. cos (2α＋β)
C. cos α D. cos β
2 (2024北京月考)已知sin α＝，α∈，则cos 的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，则cos (α－β)的值为　(　　)
A. － B.
C. D. －
4 (2023佛山月考)若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝，sin (β－)＝，则cos 的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024盐城期中)的值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023深圳中学期中)已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为(　　)
A. － B. C. － D.
二、 多项选择题
7 (2024佛山月考)已知sin α＝，α∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝－
B. tan α＝－
C. cos ＝－
D. cos ＝
8 (2024朔州期末)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin 2α＝ B. cos (α－β)＝
C. cos αcos β＝ D. tan αtan β＝3
三、 填空题
9 已知α，β∈，sin α＝，cos β＝，则cos (α－β)＝________．
10 (2024益阳期末)若α是锐角，sin ＝，则cos α＝________．
11 (2023常州月考)已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝－，则cos (α－β)＝________．
四、 解答题
12 (2024商洛期中)已知sin α＝－，α∈.
(1) 求cos 的值；
(2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
13 已知cos ＝－，sin ＝，且<α<π，0<β<，求cos 的值．
10.1.1　两角和与差的余弦
1. C　由两角差的余弦公式，得cos βcos (α＋β)＋sin βsin (α＋β)＝cos [(α＋β)－β]＝cos α.
2. B　因为sin α＝，α∈，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝，则cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
3. B　由题意，得|a|＝|b|＝1，且a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β).又|a－b|2＝，即a2＋b2－2a·b＝，所以2－2cos (α－β)＝，所以cos (α－β)＝.
4. C　因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以sin (α＋β)＝＝.又－<β－<，所以cos＝＝，所以cos(α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]＝cos (α＋β)cos (β－)＋sin (α＋β)sin ＝×＋×＝.
5. B　＝＝＝＝.
6. C　由题意，得(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＝，(sinα－sin β)2＝sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝，两式相加，得2＋2(cosαcos β－sin αsin β)＝2＋2cos (α＋β)＝＋＝，解得cos (α＋β)＝－.
7. ABC　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－，所以cos ＝－×－×＝－，cos (α－)＝－×＋×＝－.故选ABC.
8. ABD　因为α，β为锐角，所以0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，0<2α<π.又因为cos (α＋β)＝－<0，所以<α＋β<π，所以sin (α＋β)＝＝，对于A，因为cos2α＝－<0，所以<2α<π，则sin 2α＝＝，故A正确；对于B，cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×＋×＝，故B正确；对于C，因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，两式相加并化简，得cos αcos β＝，故C错误；对于D，由C可得sin αsin β＝，所以tan αtan β＝＝＝3，故D正确．故选ABD.
9. 　由题意，得cos α＝，sin β＝，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
10. 　由α是锐角，得－<－α<.又sin ＝，所以cos ＝＝，所以cos α＝cos ＝cos cos (－α)＋sin sin ＝×＋×＝.
11. 　因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，tan αtan β＝＝－，所以sin αsin β＝－，cos αcos β＝，则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝.
12. (1) 由sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，α∈，可得cos α＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝.
(2) 由α∈，β∈，
可得α＋β∈，
所以cos (α＋β)＝＝，
则cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝×＋×＝.
又β∈，可得β＝.
13. 因为<α<π，所以<<.
因为0<β<，
所以－<－β<0，－<－<0，
所以<α－<π，－<－β<.
又cos ＝－<0，sin ＝>0，
所以<α－<π，0<－β<，
所以sin ＝，cos ＝，
故cos ＝cos ＝cos ·cos ＋sin sin ＝×＋×＝.