10.1.2　两角和与差的正弦 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．1.2　两角和与差的正弦(1)
一、 单项选择题
1 sin cos －cos sin 的值是(　　)
A. － B. C. －1 D. 1
2 (2024莆田期中)已知α∈，sin α＝，则sin (α＋)的值是(　　)
A. B.
C. D.
3 已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，且β为第三象限角，则tan β的值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2023烟台期中)已知cos (α＋)＝，0<α<π，则sin α的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024连云港期中)已知sin α＋cos β＝，cos α＋sin β＝－，则sin (α＋β)的值为(　　)
A. B. －
C. － D. －
6 (2024南开期中)在△ABC中，已知sin C＝2sin (B＋C)cos B，则△ABC一定是(　　)
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
二、 多项选择题
7 下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述中，正确的是(　　)
A. 对任意的角α，β都成立
B. 当α＝β＝0时成立
C. 只对有限个α，β的值成立
D. 有无限个α，β的值使等式成立
8 (2024河北开学考试)已知α，β∈，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin (α＋β)＝
B. cos (α－β)＝－
C. sin 2α＝
D. ＝
三、 填空题
9 (2024成都期中)已知α，β∈，sin α＝，cos β＝，则sin (α－β)＝________．
10 (2023潍坊期末)已知cos θ＋cos (θ＋)＝，θ∈，则sin θ＝________．
11 (2023镇江中学期中)已知a>0，函数f(x)＝sin (x－)－a sin x的最大值为，则a＝________．
四、 解答题
12 已知sin ＝－，sin ＝，且α∈，β∈，求sin (α－β)的值．
13 (2024江苏月考)已知α，β∈，且cos α＝，sin (α－β)＝.
(1) 求sin (2α－β)的值；
(2) 求β的值．
10．1.2　两角和与差的正弦(2)
一、 单项选择题
1 (2024连云港期中)已知α∈，sin (α＋)＝，则sin α的值为(　　)
A. B.
C. D.
2 已知α，β为锐角，且sin β＝，cos (α＋β)＝－，则sin α 的值为(　　)
A. B.
C. － D.
3 (2023广州期末)在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
4 (2023南通月考)已知角α，β满足＝2，β∈，则sin (α－β)的最大值为(　　)
A. B.
C. D. 1
5 (2024江西期中)已知0<α<，0<β<，且cos (α＋)＝，cos ＝，则sin (α＋β)的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
6 (2023淄博实验中学月考)已知α，β∈(0，π)，sin (α－β)＝，＝－，则 α＋β的值为(　　)
A. B.
C. D. 或
二、 多项选择题
7 已知在△ABC中，sin A＋cos A＝m，则下列说法中正确的是(　　)
A. m的取值范围是[－，]
B. 若0C. 若m＝，则tan A＝－
D. 若m＝1，则△ABC为直角三角形
8 (2024安徽月考)下列结论中，正确的有(　　)
A. 若A，B为锐角三角形的两内角，则sin A>cos B
B. sin 735°cos 45°＋sin 105°sin 135°＝
C. α，β∈R，sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin (α－β)
D. α，β∈R，cos2α－cos2β＝cos(α＋β)sin (α－β)
三、 填空题
9 (2023湖南月考)已知α为锐角，且sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
10 已知sin ＝－，则cos x＋cos ＝________．
11 (2023镇江期中)已知tan β＝2tan (α＋β)，则＝________．
四、 解答题
12 (2023上海南汇中学期中)三角函数内容丰富，公式很多. 若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘. 现有如下两个等式：
①＋＝；
②＋＝.
根据以上等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．
13 (2024重庆期中)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1) 求cos (α－β)的值；
(2) 若－<β<0<α<π，sin β＝－，求sin α的值．
10．1.2　两角和与差的正弦(1)
1. B　原式＝sin cos ＋cos sin ＝sin (＋)＝sin ＝.
2. B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
3. C　由sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，得sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝－sin β＝，即sin β＝－.又β是第三象限角，则cos β＝－，所以tan β＝＝＝.
4. C　因为0<α<π，所以<α＋<.又cos (α＋)＝>0，所以<α＋<，所以sin ＝＝，所以sinα＝sin [(α＋)－]＝sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＝×－×＝.
5. C　由sin α＋cos β＝，得(sin α＋cos β)2＝sin2α＋2sinαcos β＋cos2β＝.由cosα＋sin β＝－，得(cos α＋sin β)2＝cos2α＋2cosαsin β＋sin2β＝，将两式相加可得2sinαcos β＋2cos αsin β＝－2＝－，即sin αcos β＋cos αsin β＝－，即sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－.
6. B　因为sin C＝2sin (B＋C)cos B，即sin (A＋B)＝2sin A cos B，所以sin A cos B＋cos A sin B＝2sin A cos B，所以sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin (A－B)＝0，所以A－B＝0或A－B＝π(舍去)，即A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形．
7. BD　因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以当cos β＝1且cos α＝1时，可使等式成立，所以α＝2k1π(k1∈Z)，β＝2k2π(k2∈Z).因为k1，k2∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0.故选BD.
8. ACD　对于A，由α，β∈，得α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝＝，故A正确；对于B，由α，β∈，得α－β∈，所以cos(α－β)＝＝，故B错误；对于C，因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝，故C正确；对于D，因为＝＝＝，所以＝，解得＝，故D正确．故选ACD.
9. 　因为α，β∈，sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝，sin β＝＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
10. 　因为cos θ＋cos ＝，所以cos θ＋cos θcos －sin θsin ＝，即cos θ－sin θ＝，所以＝，即cos ＝.因为θ∈，所以θ＋∈，则sin ＝＝，所以sinθ＝sin [(θ＋)－]＝sin (θ＋)cos －cos sin ＝×－×＝.
11. 2　由a>0，f(x)＝sin －a sin x＝sin x－cos x，且f(x)的最大值为，得＋＝3，解得a＝2或a＝－1(舍去).
12. 因为α∈，所以－α∈，
所以cos ＝.
又β∈，所以＋β∈，
所以cos ＝－，
所以sin (α－β)＝sin (π－α＋β)＝sin [(－α)＋(＋β)]＝sin cos ＋cos (－α)sin (＋β)＝×＋×＝.
13. (1) 由α，β∈，得α－β∈.
又sin (α－β)＝，
则cos (α－β)＝＝.
又cos α＝，所以sin α＝＝，
所以sin (2α－β)＝sin [(α－β)＋α]＝sin (α－β)cos α＋cos (α－β)sin α＝×＋×＝.
(2) sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝，
又β∈，故β＝.
10．1.2　两角和与差的正弦(2)
1. D　因为α∈，所以α＋∈.又因为sin ＝>0，所以α＋∈，所以cos ＝－，则sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
2. A　因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝.因为sin β＝，所以cos β＝＝，故sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝×＋×＝.
3. C　因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝.又A＝，则sinC＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.
4. B　因为＝2，所以sin αcos β＝2sin βcos α.设sin (α＋β)＝x＝sin αcos β＋sin βcos α，则sin βcos α＝，sin αcos β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝.又sin (α＋β)＝x，所以x的最大值为1，故sin (α－β)的最大值为.
5. C　因为0<α<，所以<α＋<.又cos (α＋)＝，所以sin ＝.因为0<β<，所以<β＋<.因为cos (β＋)＝，所以sin (β＋)＝，则sin (α＋β)＝－cos [(α＋)＋(β＋)]＝sin (α＋)sin (β＋)－cos (α＋)cos ＝×－×＝.
6. B　因为α，β∈(0，π)，＝－<0，所以0<α<，<β<π或0<β<，<α<π.若0<α<，<β<π，则－π<α－β<0，此时sin (α－β)<0(舍去)；若0<β<，<α<π，则0<α－β<π，此时sin (α－β)>0(符合题意)，所以0<β<，<α<π，则α＋β∈.因为sin (α－β)＝且＝－，所以sin αcos β－cos αsin β＝且＝－，解得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－.又α＋β∈，所以α＋β＝.
7. BCD　m＝sin A＋cos A＝sin (A＋).对于A，因为A为三角形的内角，所以A∈(0，π)，所以A＋∈，所以sin (A＋)∈，则m∈(－1，]，故A不正确；对于B，若00.又(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝，所以sin A－cos A＝②.由①②解得sin A＝，cos A＝－，所以tan A＝＝－，故C正确；对于D，当 m＝1时，sin A＋cos A＝1，所以(sin A＋cos A)2＝1＋2sin A cos A＝1，所以sin A cos A＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确．故选BCD.
8. AC　对于A，由题意可得则0<－B9. 　因为sin α＋cos α＝，所以sin α＋cos α＝，即sin ＝.因为α为锐角，所以<α＋<，所以α＋＝，即α＝，所以tan α＝.
10. －1　因为sin ＝－，所以cos x＋cos (x－)＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝sin (x＋)＝－1.
11. －3　因为tan β＝2tan (α＋β)，所以＝＝＝＝＝－3.
12. 猜想：＋＝，证明如下：
由诱导公式可得cos (90°－α)＝sin α，
sin (135°－α)＝sin (45°＋α)，
所以＋＝＝＝.
13. (1) 由题意，得|a|＝1，|b|＝1.
由|a－b|＝，
得a2－2a·b＋b2＝，
所以a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝.
(2) 因为－<β<0<α<π，
所以0<α－β<.
又cos (α－β)＝，所以0<α－β<，
所以sin (α－β)＝＝.
因为－<β<0，sinβ＝－，
所以cos β＝＝，
故sinα＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝×＋×＝.