10.1.3　两角和与差的正切 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．1.3　两角和与差的正切(1)
一、 单项选择题
1 (2024北京期中)已知tan α＝3，β＝，则tan (α＋β)的值为(　　)
A. 2 B. C. － D. －2
2 在△ABC中，已知tan B＝，tan A＝，则角C的大小为(　　)
A. 90° B. 45° C. 135° D. 60°
3 的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
4 (2024湖北期中)已知tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，则tan 的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 已知＝，则tan (α＋)的值为(　　)
A. 2＋1 B. 2－1
C. D. 1－
6 (2023烟台招远一中期中)在△ABC中，已知cos A＝，tan B＝，则tan (A－C)的值为(　　)
A. B. －
C. － D.
7 已知不等式x2＋16x＋2<0的解集为(tan α，tan β)，则下列结论中正确的是(　　)
A. tan α＋tan β＝16
B. tan αtan β＝2
C. tan (α＋β)＝16
D. ＝－8
8 (2024泰州期中)已知0<α<β<，且tan α，tan β是方程21x2－10x＋1＝0的两根，下列选项中正确的是(　　)
A. tan (α＋β)＝
B. ＝
C. tan (α－β)＝－
D. α＋2β＝
三、 填空题
9 若＝3，tan (α－β)＝3，则tan β＝________．
10 (2024大连期中)已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β＝________．
11 在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan A tan B＝，则C＝________．
四、 解答题
12 (2023肇庆一中期中)已知tan (A－B)＝，tan B＝－，且A，B∈(0，π)，求：
(1) tan A的值；
(2) 2A－B的大小．
13 (2023烟台期中)观察以下各式：
tan 60°－tan 60°tan 30°－tan 30°＝1；
tan 50°－tan 50°tan 20°－tan 20°＝1；
tan 45°－tan 45°tan 15°－tan 15°＝1.
分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式．
10．1.3　两角和与差的正切(2)
一、 单项选择题
1 已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　)
A. B.
C. D.
2 (2023南京中华中学期中)在△ABC中，cos A＝，tan (A－B)＝，则tan B的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 若tan (α＋)＝5，则的值为(　　)
A. B.
C. － D. 7
4 (2023南通月考)若tan β(sin α＋cos α)＝cos α－sin α，则tan (α＋β)的值为(　　)
A. B. ±
C. ± D.
5 (2024安徽月考)五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端B离地面 3.5 m，大屏幕高3 m，若某位游客眼睛离地面 1.5 m，为获得观看的最佳视野，则这位游客离大屏幕所在的平面的距离为(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)(　　)
A. m B. m C. 3 m D. 2 m
6 (2024青岛期中)已知角α，β∈(0，π)，且sin (α－β)＋cos (α＋β)＝0，sin αsin β＝3cos αcos β，则tan (α－β)的值为(　　)
A. －2 B. －
C. D. 2
二、 多项选择题
7 (2023南京月考)在△ABC中，若 tan A，tan B，tan C 都是整数，则tan A可能等于(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 已知α，β，γ∈，且α＋β＋γ＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若sin α＋cos α＝，则tan α＝1
B. 若tan α＝2，则tan (β＋γ)＝
C. tan α，tan β可能是方程x2－6x＋7＝0的两根
D. tan αtan β＋tan αtan γ＋tan βtan γ＝1
三、 填空题
9 设α为第二象限角，若sin α＝，则tan (α＋)＝________．
10 已知tan α＝(1＋m)，tan (－β)＝(tan αtan β＋m)，且α，β都是钝角，则α＋β＝________．
11 (2023滨州期末)如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD延长线上的点，∠DCQ＝α，∠BCP＝β，且α＋β＝45°，则PQ的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024上海月考)已知＝－3.
(1) 求tan α的值；
(2) 若α，β∈，且cos β＝，求角α＋β的值．
13 (2024宿迁期中)在Rt△ABC中，B＝90°，点E，F在边BC上，且BE＝EF＝FC，设BA＝c，BC＝a.
(1) 若a＝c，求tan ∠EAF，tan ∠FAC的值；
(2) 若a＝3，求tan ∠EAF的最大值．
10．1.3　两角和与差的正切(1)
1. D　由正切的和角公式可得tan (α＋β)＝tan (α＋)＝＝＝－2.
2. C　tan C＝tan (180°－A－B)＝－tan (A＋B)＝－＝－1.又0°3. B　原式＝＝＝.
4. C　因为tan (α＋β)＝，tan ＝，所以tan ＝tan [(α＋β)－]＝＝＝.
5. B　因为＝，所以＝，解得tan α＝1－，所以tan ＝＝2－1.
6. C　由题意，得sin A>0.又因为cos A＝，所以sin A＝，所以tan A＝，则tan C＝tan (π－A－B)＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－2，所以tan (A－C)＝＝＝－.
7. BCD　由题意，得故A错误，B正确；tan (α＋β)＝＝＝16，故C正确；＝＝＝－8，故D正确．故选BCD.
8. AD　由tan α，tan β是方程21x2－10x＋1＝0的两个根，且0<α<β<，解得tan α＝，tan β＝，则tan (α＋β)＝＝＝，故A正确；＝＝＝，故B错误；tan (α－β)＝＝＝－，故C错误；因为0<α<β<，tan (α＋β)＝，所以0<α＋β<，则0<α＋2β<π，tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝1，所以α＋2β＝，故D正确．故选AD.
9. －　因为＝3，所以＝3，解得tan α＝2.又tan (α－β)＝3，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－.
10. 　因为tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，所以tan (α＋β)＝＝＝1.因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
11. 120°　由题意，得tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)，所以tan (A＋B)＝＝＝.因为0°12. (1) 因为tan (A－B)＝，tan B＝－，
所以tan A＝tan (A－B＋B)＝＝＝.
(2) 因为tan (2A－B)＝tan [A＋(A－B)]＝＝＝1，
又A，B∈(0，π)，0所以A∈，B∈，
所以2A－B∈，
所以2A－B＝－.
13. tan α－tan αtan β－tan β＝1，其中α－β＝30°，证明如下：
由tan (α－β)＝＝tan 30°＝，
得tan α－tan β＝(1＋tan αtan β)，
则(tan α－tan β)－tan αtan β＝1，
即tan α－tan αtan β－tan β＝1，其中α－β＝30°.
10．1.3　两角和与差的正切(2)
1. B　由sin α＝，且α为锐角，得cos α＝＝＝，则tanα＝＝，所以tan (α＋β)＝＝＝－1.又α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
2. A　因为在△ABC中，cos A＝，所以A为锐角，且sin A＝＝，所以tanA＝＝.因为tan (A－B)＝＝，所以－3tan B＝1＋tan B，解得tan B＝.
3. B　由tan ＝5，得＝5，解得tan α＝，所以＝＝＝.
4. A　由题意，得(sin α＋cos α)＝cos α－sin α，整理得(cos αcos β－sin αsin β)＝sin αcos β＋cos αsin β，即cos (α＋β)＝sin (α＋β)，故tan (α＋β)＝.
5. B　如图，AB＝3，BD＝3.5－1.5＝2，设CD＝t，则tan ∠BCD＝，tan ∠ACD＝，所以tan ∠ACB＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立．因为∠ACB∈，所以当CD＝时，可以获得观看的最佳视野．
6. C　因为sin αsin β＝3cos αcos β，所以α≠，β≠，则cos αcos β≠0，可得＝3，即tan αtan β＝3.又sin (α－β)＋cos (α＋β)＝0，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝0，所以sin αcos β－cos αsin β－2cos αcos β＝0，可得tan α－tan β＝2，所以tan (α－β)＝＝＝.
7. ABC　由题意，得tan C＝－tan (A＋B)＝－，即tan C－tan A tan B tan C＝－tan A－tan B，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B tan C．令A≤B≤C，则08. AD　对于A，由题意得?sin α＋cos α＝，
sin2α＋cos2α＝1，?解得sin α＝cos α＝，则tan α＝1，故A正确；对于B，因为α＋β＋γ＝，所以β＋γ＝－α，所以tan (β＋γ)＝tan (－α)＝＝＝＝，故B错误；对于C，对于方程x2－6x＋7＝0，Δ＝36－4×7>0，若tan α，tan β是方程x2－6x＋7＝0的两根，则tan α＋tan β＝6，tan αtan β＝7，所以tan (α＋β)＝＝－1.因为α，β，γ∈，所以0<α＋β<π，α＋β＝，与题意矛盾，故C错误；对于D，因为tan (β＋γ)＝，所以tan β＋tan γ＝tan (β＋γ)(1－tan βtan γ)，由B选项可知tan (β＋γ)＝，所以tan αtan β＋tan αtan γ＋tan βtan γ＝tan α(tan β＋tan γ)＋tan βtan γ＝1，故D正确．故选AD.
9. －　因为α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－3，所以tan (α＋)＝＝＝－.
10. 　因为tan α＝(1＋m)，tan (－β)＝(tan αtan β＋m)，两式作差，得tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，即＝，所以tan (α＋β)＝.又因为α，β都是钝角，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
11. 2　由题意，DQ＝CD tan α＝tan α，BP＝BC tan β＝tan β，显然tan α>0，tan β>0.由α＋β＝45°，得tan (α＋β)＝＝1，即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，整理得(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.在Rt△PAQ中，PQ2＝AQ2＋AP2＝(1＋tan α)2＋(1＋tan β)2≥2(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，当且仅当tan α＝tan β，即α＝β＝22.5°时，等号成立，所以PQ的最小值为2.
12. (1) 因为＝＝－3，
解得tan α＝－.
(2) 因为β∈，且cos β＝，
所以sin β＝－＝－，tanβ＝－，
则tan (α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
13. (1) 若a＝c，则△ABC为等腰直角三角形，
所以∠BAC＝45°，tan ∠BAE＝，tan ∠BAF＝，
所以tan ∠EAF＝tan (∠BAF－∠BAE)＝＝＝，
tan ∠FAC＝tan (45°－∠BAF)＝＝＝.
(2) 若a＝3，则tan ∠BAE＝，tan ∠BAF＝，
所以tan ∠EAF＝tan (∠BAF－∠BAE)＝＝＝＝≤＝，
当且仅当c＝，即c＝时，等号成立，
所以tan ∠EAF的最大值为.