10.2　二倍角的三角函数 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

10．2　二倍角的三角函数
10.2.1　二倍角的三角函数(1)
一、 单项选择题
1 (2024浙江期中)已知2cos 2α＋sin α＋3＝0，则sin α的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. D. －1或
2 (2023常州期中)已知非零向量(sin θ，sin )与向量(2，)共线，则cos θ 的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
3 已知cos ＝，则sin 2α的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
4 计算－的结果是(　　)
A. － B. －
C. D.
5 (2024成都期中)已知tan θ＝2，则的值为(　　)
A. － B. C. －2 D. 2
6 (2024鞍山月考)已知a＝，b＝2cos233°－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>c>b B. c>a>b
C. a>b>c D. b>a>c
二、 多项选择题
7 (2024淮安月考)下列算式中，值等于的是(　　)
A. cos215°－sin215°
B．2sin 75°sin 15°
C.
D．
8 (2024盐城期中)已知cos α＝－，cos β＝，其中α∈，β∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin 2α＝
B. cos 2β＝－
C. cos (α－β)＝
D. sin (α＋β)＝
三、 填空题
9 (2024宿迁期中)若sin α＝，则sin (－2α)＝________．
10 化简：的结果为________．
11 (2024重庆璧山月考)已知sin ＝，则cos (α－)＝________，cos ＝________．
四、 解答题
12 (2024扬州期中)设α是钝角，sin α＝.求：
(1) cos 2α的值；
(2) cos 和sin 的值．
13 (2024南京期中)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x.
(1)若x∈，求f(x)的取值范围；
(2) 设θ为实数，若f＝，求f(θ＋)的值．
10．2.2　二倍角的三角函数(2)
一、 单项选择题
1 (2024宿迁期中)函数f(x)＝cos 2x＋6sin x＋1的值域是(　　)
A. B.
C. D. [－6，6]
2 的值为(　　)
A. B.
C. D. 2
3 (2023连云港期中)已知θ为锐角，cos (2θ－15°)＝，则cos (θ＋15°)的值为(　　)
A. B.
C. ± D. ±
4 (2024扬州月考)函数f(x)＝sin x－sin 2x在区间[0，2π]上的零点个数为(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
5 (2024山西期中)已知tan ＝，则的值为(　　)
A. 2 B. 4
C. D. 2
6 (2023南京外国语学校期中)古希腊数学家特埃特图斯通过下图来构造无理数，，，…，记∠BAC＝α，∠DAC＝β，则cos (α＋2β)的值为(　　)
A. B. －
C. ＋ D.
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的值域为R
B. f(x)在区间(π，2π)上单调递增
C. f(x)有无数个零点
D. f(x)在定义域内存在减区间
8 (2023盐城月考)下列结论中，正确的是(　　)
A. (sin 15°－cos 15°)2＝
B. 函数y＝的最小正周期是π
C．若tan A＋＝m(m≠0)，则sin 2A＝－
D. 若cos x cos y＋sin x sin y＝，则cos (2x－2y)＝－
三、 填空题
9 已知cos α＋sin ＝0，则tan 2α＝________．
10 (2023南京期中)已知α∈(0，π)，sin (α－)＝，则cos 的值为________．
11 (2024北京期中)若函数f(x)＝sin (ω>0)和g(x)＝cos2(x＋φ)－sin2(x＋φ)的图象的对称轴完全重合，则ω＝________，g＝________．
四、解答题
12 已知 sin ＝，x∈.求：
(1) tan 2x的值；
(2) 2cos2(x＋π)＋cos的值．
13 (2024厦门期中)有一直角转弯的走廊(墙面与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3 m，现有一根不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为多少？
10．2　二倍角的三角函数
10.2.1　二倍角的三角函数(1)
1. B　因为cos 2α＝1－2sin2α，所以2(1－2sin2α)＋sinα＋3＝0，解得sin α＝－1或sin α＝(舍去).
2. D　因为非零向量与向量(2，)共线，所以sin θ＝2sin ，即2sin cos ＝2sin .又sin cos ，sin 不同时为零，所以sin ≠0，所以2cos ＝2，cos ＝，所以cos θ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．A　由cos ＝，得cos αcos －sin αsin ＝，即cos α－sin α＝，两边平方，得2sin αcos α＝，即sin 2α＝.
4. A　原式＝＝－tan30°＝－.
5. A　原式＝＝＝－＝－.
6. A　a＝＝tan (45°＋18°)＝tan 63°>tan 60°＝，b＝2cos233°－1＝cos66°＝sin 24°，c＝＝＝sin28°.又y＝sin x在区间上单调递增，所以sin 24°c>b.
7. AC　对于A，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故A正确；对于B，2sin 75°sin 15°＝2cos 15°·sin 15°＝sin 30°＝，故B错误；对于C，＝×＝tan60°＝，故C正确；对于D，cos 5°＝cos (30°－25°)＝cos 30°cos 25°＋sin 30°sin 25°＝cos 25°＋sin 25°，所以＝＝，故D错误．故选AC.
8. BCD　因为cos α＝－，cos β＝，α∈，β∈，所以sin α＝＝，sinβ＝，则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故A错误；cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－，故B正确；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，故C正确；sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，故D正确，故选BCD.
9. 　因为sin α＝，所以sin ＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝.
10．2　＝＝＝＝2.
11. 　 　cos ＝cos [－]＝sin (α＋)＝；cos ＝cos [2]＝2cos2－1＝2×－1＝.
12．(1) 因为α是钝角，sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
(2)因为α是钝角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
则sin2α＝2sin αcos α＝－，
所以cos ＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝×＋×＝，
sin ＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－×－×＝.
13. (1) f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin .
因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin ∈，
即2sin ∈[－1，2]，
故f(x)的取值范围为[－1，2].
(2) 由f＝，得2sin ＝，
所以sin ＝，
故f＝2sin [2－]＝2sin (2θ＋)＝2sin [＋]＝2cos
＝2[1－2sin2]＝2－4×＝.
10．2.2　二倍角的三角函数(2)
1．D　由题意，得f(x)＝cos 2x＋6sin x＋1＝－2sin2x＋6sinx＋2＝－2＋，又sin x∈[－1，1]，则当sin x＝1时，可得f(x)max＝6；当sin x＝－1时，可得f(x)min＝－6，所以函数f(x)的值域为[－6，6].
2. B　原式＝＝＝＝.
3. A　因为θ为锐角，所以0°<θ<90°，所以－15°<2θ－15°<165°.因为04. D　由题意，得f(x)＝sin x－sin 2x＝sin x－2sin x cos x＝sin x(1－2cos x)，令f(x)＝0，得sin x＝0或cos x＝.又x∈[0，2π]，所以当sin x＝0时，解得x＝0或x＝π或x＝2π；当cos x＝时，解得x＝或x＝，所以函数f(x)＝sin x－sin 2x在区间[0，2π]上共有5个零点．
5. D　因为tan ＝，所以tan α＝＝＝2，则＝＝tanα＝2.
6. A　由图可知cos α＝，sin α＝，cos β＝＝，sin β＝＝，可得sin 2β＝2sin βcos β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝，故cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝.
7. AC　f(x)＝＝＝tanx(x≠kπ＋，k∈Z)，值域是R，故A正确；在区间(π，2π)上，f不存在，故B错误；显然 f(kπ)＝0，k∈Z，零点为kπ，k∈Z，所以f(x)有无数个零点，故C正确；在定义域内每一个区间，k∈Z上，函数f(x)单调递增，无减区间，故D错误．故选AC.
8. AD　(sin 15°－cos 15°)2＝sin215°－2sin15°cos 15°＋cos215°＝1－sin30°＝，故A正确；y＝＝＝＝cos4x，T＝＝，故B错误；tan A＋＝＋＝＝＝m，sin 2A＝，故C错误；cos x cos y＋sin x sin y＝cos (x－y)＝，则cos (2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－，故D正确．故选AD.
9．－　由cos α＋sin ＝cos α＋sin αcos －cos αsin ＝cos α＋sin α＝0，得tan α＝－，则tan 2α＝＝＝－.
10．－　因为α∈(0，π)，所以α－∈.又因为sin ＝11. 2　 －1或1　 由题意，得g(x)＝cos (2x＋2φ)，函数g(x)的最小正周期为π.又函数f(x)和g(x)图象的对称轴完全重合，得f(x)的最小正周期T＝＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin .由2x＋＝＋k1π，k1∈Z，得x＝＋，k1∈Z；由2x＋2φ＝k2π，k2∈Z，得x＝－φ＋，k2∈Z，则－φ＋＝＋，k1∈Z，k2∈Z，所以φ＝－＋，k1∈Z，k2∈Z，则g(x)＝cos [2x－＋(k2－k1)π]，k1∈Z，k2∈Z.当k2－k1为奇数时，g(x)＝－cos (2x－)，g＝－1；当k2－k1为偶数时，g(x)＝cos (2x－)，g＝1，综上，g＝－1或g＝1.
12. (1) 由题意，得sin ＝cos x＝.
又x∈，所以sin x＝＝，
则tan x＝2，tan 2x＝＝－.
(2)2cos2(x＋π)＋cos＝2cos2x＋sin2x＝2cos2x＋2sinx cos x＝2×＋2××＝.
13. 如图所示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.
设∠BAQ＝θ(0<θ<)，则∠ABQ＝－θ.
过点A作AC垂直内侧墙壁于点C，点B作BD垂直内侧墙壁于点D，
则AC＝BD＝3，∠CPA＝∠BAQ＝θ，∠DPB＝∠ABQ＝－θ.
在Rt△ACP中，sin ∠CPA＝sin θ＝，
所以AP＝＝.
同理可得BP＝＝，
所以AB＝AP＋BP＝＋(0<θ<)，
且AB＝＋≥3×2＝6≥6，当且仅当θ＝时，等号成立．
所以AB≥6.
因为走廊的宽度与高度都是3 m，
所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为＝＝9(m).