第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力.
自学指导:阅读课本P7-8,完成下列问题.
知识探究
1.填表分析正比例函数和反比例函数的区别.
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx(k≠0) y=(k≠0)
图象形状 直线 双曲线
k>0 位置 一、三象限 一、三象限
增减性 y随x的增大而增大 每个象限内y随x的增大而减小
k<0 位置 二、四象限 二、四象限
增减性 y随x的增大而减小 每个象限内y随x的增大而增大
活动1 小组讨论
例1 已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3,4)、C(-2,-4)和D(2,5)是否在这个函数的图象上?
解:(1)设这个反比例函数为y=,
∵图象过点A(2,6),
∴6=.解得k=12.
∴这个反比例函数的表达式为y=.
∵k>0,
∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内,y随x的增大而减小.
(2)把点B、C、D的坐标代入y=,可知点B、C的坐标满足函数关系式,点D的坐标不满足函数关系式,所以点B、C在函数y=的图象上,点D不在这个函数的图象上.
例2 如图是反比例函数y=的图象的一支,根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和B(a′,b′),如果a>a′,那么b和b′有怎样的大小关系?
解:(1)反比例函数图象的分布只有两种可能,分布在第一、第三象限,或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限.
∵函数的图象在第一、第三象限,
∴m-5>0.解得m>5.
(2)∵m-5>0,在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小,
∴当a>a′>0和0>a>a′时b<b′;
当a>0>a′时b>b′.
活动2 跟踪训练
1.反比例函数y=的图象经过(2,-1),则k的值为 .
2.反比例函数y=的图象经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数图象上,则n等于( )
A.10 B.5 C.2 D.-6
3.下列各点在反比例函数y=-的图象上的是( )
A.(-,-) B.(-,) C.(,) D.(,)
4.在反比例函数y=的图象上有三点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),x1>x2>0>x3,则下列各式中正确的是( )
A.y3>y1>y2 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
因为k<0,所以图象在二、四象限;y随x的增大而增大.又x1>x2>0>x3,所以y1、y2在第四象限且0>y1>y2;y3在第二象限且y3>0,所以y3>y1>y2.
5.如图,点P是反比例函数y=图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
因为点P在图象上,所以n=,即mn=2;故S△ABC=OD·PD=mn=1.
6.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .
设函数为y=,而P在图象上,所以k=mn,又阴影部分面积是|mn|=3,函数图象在第二象限,所以k<0,即k=-3,所以函数关系是为y=-.
课堂小结
反比例函数图象和性质的综合运用.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.-2
2.A
3.B
4.A
5.1
6.y=-
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
学习目标:1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化,学习数形结合的思想方法,进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
一、知识链接
1.反比例函数的图象是什么?
2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系?
要点探究
探究点1:用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如何变化?
(2) 点B(3,4),C(,),D(2,5)是否在这个函数的图象上?
【针对训练】已知反比例函数的图象经过点 A (2,3).
(1)求这个函数的表达式;
(2)判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
探究点2:反比例函数图象和性质的综合
例2 如图,是反比例函数图象的一支. 根据图象,回答下列问题:
(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系?
【针对训练】如图,是反比例函数的图象,则 k 的值可以是 ( )
A.-1 B.3 C.1 D.0
探究点3:反比例函数解析式中 k 的几何意义
操作 1. 在反比例函数的图象上分别取点P,Q 向x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,
填写下列表格:
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1,S2 与 k的关系
P (2,2) ,Q (4,1)
2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P,Q 两点,填写表格:
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1,S2 与 k的关系
P (-1,4),Q (-2,2)
猜想 由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是反比例函数图象上的任意一点,作 PA 垂直于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
证明 我们就 k < 0 的情况给出证明:
【要点归纳】对于反比例函数,点 Q 是其图象上的任意一点,作 QA 垂直于 y 轴,作QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.
推理:△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=.
【针对训练】如图,在函数(x>0)的图象上有三点A,B ,C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ,SB,SC,则( )
A. SA >SB>SC B. SA【典例精析】
例3 如图,点A在反比例函数的图象上,AC垂直 x 轴于点 C,且 △AOC 的面积为 2,求该反比例函数的表达式.
【针对训练】1. 如图,过反比例函数图象上的一点 P,作PA⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6,则 k = .
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,N,若四边形PMON 的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是 .
例4 如图,P,C是函数(x>0) 图象上的任意两点,PA,CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1,则(1) S1 = ;(2)梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2;(3)△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. (填“>”,“<”或者“=”)
【针对训练】如图,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是AB 上的点,△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
例5 如图,点 A 是反比例函数(x>0)的图象上任意一点,AB//x 轴交反比例函数(x<0) 的图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中点 C,D 在 x 轴上,则 S ABCD =___.
【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题,可以把原图形通过切割、平移等变换,转化为较容易求面积的图形.
【针对训练】如图,函数 y=-x与函数的图象相交于 A,B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为C,D,则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
探究点4:反比例函数与一次函数的综合
思考 在同一坐标系中,函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
例6 函数 y=kx-k 与(k≠0)的图象大致是( )
【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k,可对 k 的正负性进行分类讨论,得出符合题意的答案.
【针对训练】在同一直角坐标系中,函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是( )
例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象,观察图象,当 y1﹥y2 时,x 的取值范围为 .
【针对训练】如图,一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数的图象交于 A,B 两点,观察图象,当y1>y2时,x 的取值范围是 .
例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (-3,4).试求出它们的解析式,并画出图象.
想一想:这两个图象有何共同特点?你能求出另外一个交点的坐标吗?说说你发现了什么?
【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 .
二、课堂小结
1. 如图, P 是反比例函数的图象上一点,过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B,连接O P ,
且△OBP 的面积为 2,则 k 的值为( )
A. 4 B. 2 C. -2 D.不确定
2. 反比例函数的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析式是____ ___.
3. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x>0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x +b >的解集是__________.
4. 已知反比例函数的图象经过点 A (2,-4).
(1)求 k 的值;
(2)这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大如何变化
(3)画出该函数的图象;
(4)点 B (1,-8) ,C (-3,5)是否在该函数的图象上?
5. 如图,直线 y=ax + b 与双曲线交于A(1,2),B(m,-4)两点,
(1)求直线与双曲线的解析式;
(2)求不等式 ax + b>的解集.
6. 如图,反比例函数与一次函数 y =-x + 2 的图象交于 A,B 两点.
(1)求 A,B 两点的坐标;
(2)求△AOB的面积.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解:反比例函数的图象是双曲线
2.解:当 k > 0 时,两条曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;
当 k < 0 时,两条曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
合作探究
一、要点探究
探究点1:用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 解:(1)因为点 A (2,6) 在第一象限,所以这个函数的图象位于第一、三象限;
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为,因为点 A (2,6)在其图象上,所以有,解得 k =12.
所以反比例函数的解析式为.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.
【针对训练】解:(1)∵ 反比例函数的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得,解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为.
(2)分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析 式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C的坐标满足该解析式,所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函数的图象上.
(3)∵ 当 x = -3时,y =-2;当 x = -1时,y =-6,且 k > 0,
∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
探究点2:反比例函数图象和性质的综合
例2 解:(1)因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限,所以另一支必位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限,所以m-5>0,解得m>5.
(2)因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支上,y 都随 x 的增大而减小,
因此当x1>x2时,y1<y2.
【针对训练】B
探究点3:反比例函数解析式中 k 的几何意义
证明 解:设点 P 的坐标为 (a,b),∵点 P (a,b) 在函数的图象上,∴,即 ab=k.
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0,∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
同理,∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (-b)=-ab=-k.综上,S矩形 AOBP=|k|.
【针对训练】C
【典例精析】
例3 解:设点 A 的坐标为(xA,yA),∵点 A 在反比例函数的图象上,∴ xA·yA=k.
又∵ S△AOC= xA·yA = ·k=2,∴ k=4.∴反比例函数的表达式为.
【针对训练】1.-12 2.
例4 (1) 2 (2) > (3)=
【针对训练】S1 = S2 < S3 解析:由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F,连接 OF,易知,S△OFE = S1 = S2,而 S3>S△OFE,所以 S1,S2,S3的大小关系为S1 = S2 < S3
例5 5
【针对训练】D
探究点4:反比例函数与一次函数的综合
例6 D
【针对训练】B
例7 -2< x <0 或 x >3
解析:y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图,可知-2< x <0 或 x >3.
【针对训练】 -1< x <0 或 x >2
例8 解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4),则点 P (-3,4) 是这两个函数图象上的点, 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1,.解得,k2=-12
则这两个函数的解析式分别为和, 它们的图象如图所示.
【针对训练】(2,6)或(-2,-6)
当堂检测
1. A 2. 3. 1<x<5
4. 解:(1)∵ 反比例函数的图象经过点 A (2,-4),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得,解得k = -8.
(2)这个函数的图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3)如图所示:
(4)该反比例函数的解析式为.
因为点 B 的坐标满足该函数解析式,而点 C 的坐标不满足该函数解析式,
所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数的图象上.
5. 解:(1)把 A(1,2)代入双曲线解析式中,得 k = 2,故双曲线的解析式为.
当y =-4时,m=,∴ B(,-4).将A(1,2),B(,-4)代入 y=ax + b ,得,a=4,b=-2;
∴直线的解析式为y=4x-2.
(2)根据图象可知,若 ax + b>,则 x>1或<x<0.
6. 解:(1)联立两个解析式,解得或所以A(-2,4),B(4,-2).
(2)一次函数与x轴的交点为M (2,0),∴OM=2.
作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则AC=4,BD=2.
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2,
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4,
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
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26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
第二十六章 反比例函数
反比例函数的图象是什么?
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系?
双曲线
当 k > 0 时,两条曲线分别位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;
当 k < 0 时,两条曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
复习引入
问题1
问题2
用待定系数法求反比例函数的解析式
典例精析
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如
何变化?
解:因为反比例函数图象经过的点 A (2,6) 在第一
象限,所以这个函数的图象位于第一、三象限;
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B (3,4),C ( , ),D (2,5) 是否在这
个函数的图象上?
解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点
A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
练一练
已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3).
(1) 求这个函数的解析式;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入解析式,得 ,
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
(2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的
图象上,并说明理由;
解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析
式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点 C
的坐标满足该解析式,
所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函
数的图象上.
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
解:∵ 当 x = -3时,y =-2;
当 x = -1时,y =-6,且 k > 0,
∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小.
∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
反比例函数图象和性质的综合
(1) 图象的另一支位于哪个象限?m 的取值范围是什么?
O
x
y
例 2 如图,是反比例函数 图象的一支. 根据图象,回答下列问题:
解:因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限,所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限,
所以m-5>0,解得m>5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和
点 B (x2,y2). 如果 x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系?
解:因为 m-5 > 0,
所以在这个函数图象的任一支上,y 都随 x 的增大而减小.
因此,当x1>x2时,y1<y2.
O
x
y
练一练
如图所示是反比例函数 的图象,则 k 的值可以是 ( )
A.-1 B.3
C.1 D.0
O
x
y
B
图象在第二、四象限,则1-k<0,k>1
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P,Q 向 x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为 S1,S2 的矩形,填写下页表格:
合作探究
反比例函数解析式中 k 的几何意义
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2,2) ,Q (4,1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1,S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与 k 的关系
P (-1,4),
Q (-2,2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P,Q 两
点,填写表格:
4
4
S1=S2
S1=S2=-k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程,可以猜想:
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点,过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B,则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明:
设点 P 的坐标为 (a,b).
A
B
∵点 P (a,b) 在函数 的图象上,
∴ ,即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0,
若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0,
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (-b)=-ab=-k.
综上,S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
B
P
A
S
点 Q 是其图象上的任意一点,过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A,QB⊥x 轴于点 B,则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论:△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 ,
A
B
|k|
y
x
O
归纳:
反比例函数的面积不变性
Q
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图,在函数 (x>0)的图象上有三点 A,B,C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作
的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA,
SB,SC,则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
做一做
根据前面探究的归纳,这三个矩形的面积均为1
例 3 如图,点A在反比例函数 的图象上,AC⊥ x 轴于点 C,且△AOC 的面积为 2,求该反比例函数的解析式.
解:设点 A 的坐标为(xA,yA),
∵点 A 在反比例函数 的图象上,
∴ xA·yA=k.
又∵ S△AOC = k = 2,∴ k=4.
∴ 反比例函数的解析式为
1. 如图,过反比例函数 图象上的一点 P,作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6,则 k = .
-12
y
x
O
P
A
练一练
k 的绝对值为12
图象在第二、四象限,故 k<0
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,N,若四边形
PMON 的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是
.
或
根据面积得出 |k| 为3,未说明图象经过的象限,因此 k 等于3或-3
例 4 如图,P,C是函数 (x>0) 图象上的任意两点,PA,CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1,则 S1 = ;梯形 CEAD 的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2;△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
>
=
S3
如图,直线与双曲线交于 A,B 两点,P 是 AB 上的点,△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
解析:由反比例函数面积的不变性易
知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于
点 F,连接 OF,易知 S△OFE = S1 = S2,
而 S3>S△OFE,所以 S1,S2,S3的大小关系为S1 = S2 < S3.
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
例 5 如图,点 A 是反比例函数 (x>0) 图象上的任意一点,AB∥x 轴交反比例函数 (x<0) 的图象于点 B,以 AB 为边作□ ABCD,其中点 C,D 在 x 轴上,则 S□ABCD =___.
3
2
5
方法总结:解决反比例函数有关的面积问题,可以把原图形通过切割、平移等变换(割补法),转化为较容易求面积的图形.
O
如图,函数 y=-x 与函数 的图象相交于
A,B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别
为 C,D,则四边形 ACBD 的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
练一练
4
4
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中,函数 和 y = k2 x+b 的图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O
x
y
O
②
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
例 6 函数 y = kx-k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k<0
k>0
×
×
×
√
k>0
k<0
k>0
由一次函数与 y 轴交点知-k>0,则k<0
x
提示:由于两个函数解析式都含有相同的系数 k,可对 k 的正负性进行分类讨论,得出符合题意的答案.
在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
练一练
a>0,
a<0,矛盾
a>0
a>0,成立
不满足与 y 轴交点为(0,1)
a<0,
a>0,矛盾
例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象,观察图象,当 y1>y2 时,x 的取值范围为
.
-2
3
y
x
0
-2< x <0 或 x >3
解析:y1>y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图,可知-2< x <0 或 x >3.
方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大小更加清晰明了.
练一练
如图,一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A,B 两点,观察图象,当 y1>y2 时,x 的取值范围
是 .
-1
2
y
x
O
A
B
x < -1 或 0 < x < 2
例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (-3,4). 试求出它们的解析式,并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4),故点 P (-3,4) 同时在这两个函数图象上, 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解:设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 .
所以 , .
解得 , .
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ,
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点?你能求出另外一个交点的坐标吗?说说你发现了什么?
想一想:
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 .
(2,6) 和 (-2,-6)
解析:联立两个函数解析式,解方程即可.
练一练
A. 4 B. 2
C. -2 D.不确定
1. 如图, P 是反比例函数 的图象上一点,过点
P 作 PB⊥x 轴于点 B,连接 OP,且△OBP 的面积
为 2,则 k 的值为 ( )
O
B
P
x
y
A
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1,k),则反比例函数的解析
式是_______.
代入一次函数中,求得 k = 3
3. 如图,直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x>0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式 k1x +b > 的解集是_________.
1<x<5
O
B
A
x
y
1
5
表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时,x的取值范围
4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2,-4).
(1) 求 k 的值;
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大如何变化
解:(1) 依题意把点 A (2,-4) 代入解析式,得 ,
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象位于第二、四象限,在每一个
象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象;
(4) 点 B (1,-8) ,C (-3,5)是否在该函数的图象上?
因为点 B 的坐标满足该函数解析式,而点 C 的坐标不满足该函数解析式,
所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数的图象上.
(4) 该反比例函数的解析式为 .
O
x
y
解:(3) 如图所示.
x
y
O
B
A
5. 如图,直线 y = ax + b 与双曲线 交于 A (1,2),B (m,-4) 两点.
(1) 求直线与双曲线的解析式;
所以一次函数的解析式为 y = 4x-2.
把 A,B 两点坐标代入 y = ax + b 中,解得 a = 4,b = -2.
解:把 A (1,2)代入双曲线解析式中,
得 k = 2,故其解析式为 .
当 y =-4 时,m = .
(2) 求不等式 ax + b> 的解集.
解:根据图象可知,若 ax + b> ,
则 x>1 或 <x<0.
x
y
O
B
A
6. 如图,反比例函数 与一次函数 y =-x + 2 的图象交于 A,B 两点.
(1) 求 A,B 两点的坐标;
A
y
O
B
x
解:由题意得
y = -x + 2,
所以 A (-2,4),B (4,-2).
解得 或
x = 4,
y =-2,
x = -2,
y = 4.
作 AC⊥x 轴于C,BD⊥x 轴于 D,
则 AC = 4,BD = 2.
(2) 求△AOB 的面积.
解:∵一次函数与x轴的交点为M (2,0),
∴OM = 2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB = OM·BD÷2 = 2×2÷2 = 2.
∴S△OMA = OM·AC÷2 = 2×4÷2 = 4.
∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6.
面积问题
→面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象,要对系数进行分类讨论,并注意 b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形,其与正比例函数的交点关于原点中心对称(共44张PPT)
二、四象限
一、三象限
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
直线
双曲线
y随x的增大而增大
一、三象限
在每个象限, y随x的增大而减小
二、四象限
y随x的增大而减小
在每个象限, y随x的增大而增大
正比例函数和反比例函数的区别
用对比的方法去记忆效果如何?
导入新知
y
x
o
y
x
o
o
y
x
o
y
x
3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义,并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题.
学习目标
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3,4)、C( )和D(2,5)是否在这个
函数的图象上?
探究新知
知识点 1
利用待定系数法确定反比例函数解析式
解:(1)因为点A(2,6)在第一象限,所以这个函数的图象在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.
解:(2)设这个反比例函数的解析式为 ,
因为点A (2,6)在其图象上,所以有 ,
解得 k =12.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点D的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
探究新知
方法总结:已知反比例函数图象上一点,可以根据坐标确定点所在的象限,然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式,再判断图象性质;要判断所给的点是否在该图象上,可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中,若满足左边=右边,则在;若不满足左边=右边,则不在.
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质 以及所给的点是否在该图象上
探究新知
已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3).
(1) 求这个函数的表达式;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
巩固练习
(2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的图象上,并说明理由;
解:分别把点 B,C 的坐标代入反比例函数的解析式,因为点 B 的坐标不满足该解析式,点C的坐标满足该解析式,所以点 B 不在该函数的图象上,点C 在该函数的图象上.
巩固练习
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
解:∵ 当 x = -3时,y =-2;
当 x = -1时,y =-6,且 k > 0,
∴ 当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
巩固练习
解:(1)反比例函数图象的分布只有两种可能,分布在第一、第三象限,或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限.
∵函数的图象在第一、第三象限,
∴ m-5>0,
解得 m>5.
探究新知
知识点 2
如图是反比例函数 的图象一支,根据图象回答下列问题 :
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和B(a′,b′),如果a>a′,那 么b和b′有怎样的大小关系?
反比例函数的综合性题目
(2)∵m-5>0,在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小,
∴当a>a′时,b<b′.
【思考】根据反比例函数的部分图象,如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围
注:由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k<0时,y随x的增大而增大,从而出现错误.
探究新知
如图,是反比例函数 的图象的一个分支,对于
给出的下列说法:
①常数k的取值范围是 ;
②另一个分支在第三象限;
③在函数图象上取点 和 ,
当 时, ;
④在函数图象的某一个分支上取点 和 ,
当 时, .
其中正确的是____________(在横线上填出正确的序号).
①
巩固练习
②
④
O
x
y
在反比例函数 的图象上分别取点P,Q 向 x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,填写下页表格:
知识点 3
反比例函数中k的几何意义
探究新知
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2,2)
Q (4,1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1,S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
探究新知
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k 的关系
P (-1,4)
Q (-2,2)
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P,Q 两点,填写表格:
4
4
S1=S2
S1=S2=-k
y
x
O
P
Q
S1
S2
探究新知
由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是 图象上的任意一点,作 PA 垂直于 x 轴,作 PB 垂直于 y 轴,矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
探究新知
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明:
设点 P 的坐标为 (a,b)
A
B
∵点 P (a,b) 在函数 的图
象上,
∴ ,即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0,
若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0,
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (-b)=-ab=-k.
B
P
A
综上,S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
探究新知
点 Q 是其图象上的任意一点,作 QA 垂直于 y 轴,作 QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= .
推理:△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
.
Q
对于反比例函数 ,
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
探究新知
要
点
归
纳
如图,点B在反比例函数 (x>0)的图象上,横坐标是1,过点B分别向x轴、y轴作垂线,垂足为A、C,则矩形OABC的面积为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
巩固练习
如图,点A在反比例函数 的图象上,AC垂直 x 轴于点C,且 △AOC 的面积为2,求该反比例函数的表达式.
解:设点 A 的坐标为(xA,yA),
∵点A在反比例函数
的图象上,∴ xA·yA=k,
∴反比例函数的表达式为
探究新知
考点 1
通过图形面积确定k的值
∴
,∴ k=4,
巩固练习
如图所示,过反比例函数 (x>0)的图象上一点A,作AB⊥x轴于点B,连接AO.若S△AOB=3,则k的值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
C
如图,P,C是函数 (x>0)图象上的任意两点,PA,CD 垂直于x 轴. 设△POA 的面积为S1,则 S1 = ;梯形CEAD 的面积为 S2,则 S1
与 S2 的大小关系是 S1 S2;
△POE 的面积 S3 和 S2 的大小
关系是S2 S3.
2
S1
S2
>
=
S3
探究新知
考点 2
利用k的性质判断图形面积的关系
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图,在函数 (x>0)的图象上有三点A,B ,C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ,SB,SC,
则( )
y
x
O
A
B
C
C
巩固练习
y
D
B
A
C
x
如图,点 A 是反比例函数 (x>0)的图象上任意一点,AB//x 轴交反比例函数 (x<0) 的图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中点 C,D 在 x 轴上,则
S四边形ABCD =___.
3
2
5
探究新知
考点 3
根据k的几何意义求图形的面积
方法总结:解决反比例函数有关的面积问题,可以把原图形通过切割、平移等变换,转化为较容易求面积的图形.
如图,函数 y=-x 与函数 的图象相交于A,B 两点,过点 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为C,D,则
四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
巩固练习
在同一坐标系中,函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
探究新知
知识点 4
一次函数与反比例函数的组合图形
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
探究新知
在同一坐标系中,函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下,则 k1 、k2、b各应满足什么条件?
函数 y=kx-k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
y
A.
x
B.
x
y
O
D
O
O
k<0
k>0
×
×
×
√
k>0
k<0
由一次函数增减性得k>0
由一次函数与y轴交点知-k>0,
则k<0
x
提示:可对 k 的正负性进行分类讨论.
探究新知
考点 1
根据k的值识别函数的图形
在同一直角坐标系中,函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
巩固练习
如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象,观察图象,当 y1﹥y2 时,x 的取值范围为 .
-2
3
y
x
0
-2< x <0 或 x >3
解析:y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图,
探究新知
考点 2
通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结:对于一些题目,借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知-2< x <0 或 x >3.
1<x<5
巩固练习
如图,直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点,
其横坐标分别为1和5,则不等式 的解集
是_________.
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (-3,4).
试求出它们的解析式,并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (-3,4), 则点P 的坐标分别满足这两个解析式.
解:设 y=k1x 和 .
所以 , .
解得 .
探究新知
考点 3
利用函数的交点解答问题
则这两个函数的解析式分别为 和 ,
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点?你能求出另外一个交点的坐标吗?说说你发现了什么?
【想一想】
探究新知
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 .
(2,6),(-2,-6)
解析:联立两个函数解析式解方程得:
巩固练习
解得:
链接中考
1.如图,矩形OABC的顶点B在反比例函数 (x>0)的图象上 S矩形OABC =6,则k= .
y
x
O
6
A
B
C
2.如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.
链接中考
解:(1)由题意得,k=xy=2×3=6,∴反比例函数的解析式为 .
(2)设B点坐标为(a,b),如图,作AD⊥BC于D,则D(2,b)
∵反比例函数 的图象经过点B(a,b),
∴S△ABC .
设AB的解析式为y=kx+b,
将A(2,3),B(6,1)代入函数解析式,得
解得 ,
∴ .
∴ ,
解得a=6,
∴ .
∴B(6,1).
直线AB的解析式为 .
D
链接中考
课堂检测
D
基础巩固题
1.已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数 的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( )
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n
y1<y2
课堂检测
2. 已知A(﹣4,y1),B(﹣1,y2)是反比例函数 图象上的两个点,则y1与y2的大小关系为_________.
k>9
3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是_______.
1.如图,正比例函数 与反比例函数 的图象
交于点A(2,3).
(1)求k、m的值;
(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
(2)由图象可知,正比例函数值大于反比例函数值时:x>2.
能力提升题
课堂检测
解:(1)将A(2,3)分别代入 y=kx 和
可得:3=2k 和
解得: , m=6.
课堂检测
2. 如图,已知反比例函数 (x>0)的图象与一次函数 的图象交于A和B(6,n)两点.
(1)求 k和n的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数 (x>0)的图象上,
求当2≤ x ≤6时,函数值 y的取值范围.
课堂检测
解:(1)当x=6时, ,
∴点B的坐标为(6,1).
∵反比例函数 过点B(6,1),
∴k=6×1=6.
(2)∵k=6>0,
∴当x>0时,y随x值增大而减小,
∴当2≤ x ≤6时,1≤ y ≤3.
A
y
O
B
x
如图,反比例函数 与一次函数 y =-x + 2 的图象交于 A,B 两点.
(1) 求 A,B 两点的坐标;
解:
y=-x + 2 ,
解得
x = 4,
y =-2
所以A(-2,4),B(4,-2).
或
x = -2,
y = 4.
课堂检测
拓广探索题
作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,
则AC=4,BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解:∵一次函数与x轴的交点为M (2,0), ∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2,
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4,
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂检测
面积问题
与一次函数的综合
反比例函数图象和性质的综合运用
课堂小结
面积不变性
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形,其与正比例函数的交点关于原点中心对称
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象,要对系数进行分类讨论,并注意b 的正负