第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力.
自学指导：阅读课本P7-8，完成下列问题.
知识探究
1.填表分析正比例函数和反比例函数的区别.
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx(k≠0) y=（k≠0）
图象形状 直线 双曲线
k>0 位置 一、三象限 一、三象限
增减性 y随x的增大而增大 每个象限内y随x的增大而减小
k<0 位置 二、四象限 二、四象限
增减性 y随x的增大而减小 每个象限内y随x的增大而增大
活动1 小组讨论
例1 已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3，4)、C(-2，-4)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：(1)设这个反比例函数为y=，
∵图象过点A(2，6)，
∴6=.解得k=12.
∴这个反比例函数的表达式为y=.
∵k>0,
∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.
（2）把点B、C、D的坐标代入y=，可知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上.
例2 如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b)和B(a′，b′)，如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
解：(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限.
∵函数的图象在第一、第三象限，
∴m-5＞0.解得m＞5.
(2)∵m-5＞0，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当a＞a′>0和0>a>a′时b＜b′；
当a>0>a′时b>b′.
活动2 跟踪训练
1.反比例函数y=的图象经过(2，-1)，则k的值为 .
2.反比例函数y=的图象经过点(2，5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于( )
A.10 B.5 C.2 D.-6
3.下列各点在反比例函数y=-的图象上的是( )
A.(-，-) B.(-，) C.(，) D.(，)
4.在反比例函数y=的图象上有三点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是( )
A.y3>y1>y2 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
因为k<0，所以图象在二、四象限；y随x的增大而增大.又x1>x2>0>x3，所以y1、y2在第四象限且0>y1>y2；y3在第二象限且y3>0，所以y3>y1>y2.
5.如图,点P是反比例函数y=图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
因为点P在图象上，所以n=，即mn=2；故S△ABC=OD·PD=mn=1.
6.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .
设函数为y=，而P在图象上，所以k=mn,又阴影部分面积是|mn|=3，函数图象在第二象限，所以k<0,即k=-3,所以函数关系是为y=-.
课堂小结
反比例函数图象和性质的综合运用.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.-2
2.A
3.B
4.A
5.1
6.y=-
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
一、知识链接
1.反比例函数的图象是什么？
2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
(2) 点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
【针对训练】已知反比例函数的图象经过点 A (2，3)．
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则 k 的值可以是 （ ）
A．－1 B．3 C．1 D．0
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
操作 1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，
填写下列表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (2，2) ，Q (4，1)
2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (－1，4)，Q (－2，2)
猜想 由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
证明 我们就 k < 0 的情况给出证明：
【要点归纳】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=.
【针对训练】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ）
A. SA >SB>SC B. SA【典例精析】
例3 如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．
【针对训练】1. 如图，过反比例函数图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .
例4 如图，P，C是函数(x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则(1) S1 = ；(2）梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；（3）△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. （填“＞”，“＜”或者“＝”）
【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
例5 如图，点 A 是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___.
【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
【针对训练】如图，函数 y＝－x与函数的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
思考 在同一坐标系中，函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
例6 函数 y=kx－k 与（k≠0）的图象大致是（ ）
【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（ ）
例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
【针对训练】如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ．
例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
二、课堂小结
1. 如图， P 是反比例函数的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接O P ，
且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定
2. 反比例函数的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是____ ___．
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞的解集是__________．
4. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，－4).
（1）求 k 的值；
（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化
（3）画出该函数的图象；
（4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线交于A(1，2)，B(m，－4)两点，
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求不等式 ax + b＞的解集.
6. 如图，反比例函数与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求△AOB的面积.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：反比例函数的图象是双曲线
2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
合作探究
一、要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12.
所以反比例函数的解析式为.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为.
（2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．
（3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
（2）因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当x1＞x2时，y1＜y2.
【针对训练】B
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数的图象上，∴，即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
同理，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.综上，S矩形 AOBP=|k|.
【针对训练】C
【典例精析】
例3 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点 A 在反比例函数的图象上，∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC＝ xA·yA = ·k＝2，∴ k＝4.∴反比例函数的表达式为.
【针对训练】1.-12 2.
例4 (1) 2 (2） > （3）=
【针对训练】S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3
例5 5
【针对训练】D
探究点4：反比例函数与一次函数的综合
例6 D
【针对训练】B
例7 －2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
【针对训练】 -1< x <0 或 x >2
例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1，.解得，k2=-12
则这两个函数的解析式分别为和， 它们的图象如图所示.
【针对训练】（2,6）或（-2,-6）
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1. A 2. 3. 1＜x＜5
4. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A (2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得，解得k = －8.
（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
（3）如图所示：
（4）该反比例函数的解析式为.
因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.
5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为.
当y =－4时，m=,∴ B（，－4）.将A(1，2)，B（，－4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2;
∴直线的解析式为y=4x-2.
（2）根据图象可知，若 ax + b＞，则 x＞1或＜x＜0.
6. 解:（1）联立两个解析式，解得或所以A(－2，4)，B(4，－2).
（2）一次函数与x轴的交点为M (2，0)，∴OM=2.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
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26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
第二十六章 反比例函数
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
复习引入
问题1
问题2
用待定系数法求反比例函数的解析式
典例精析
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一
象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这
个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
练一练
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的解析式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
反比例函数图象和性质的综合
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以m－5＞0，解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
练一练
如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( )
A．－1 B．3
C．1 D．0
O
x
y
B
图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
合作探究
反比例函数解析式中 k 的几何意义
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2) ，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系
P (－1，4)，
Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q 两
点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
B
P
A
S
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作
的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，
SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
做一做
根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1
例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4.
∴ 反比例函数的解析式为
1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
y
x
O
P
A
练一练
k 的绝对值为12
图象在第二、四象限，故 k＜0
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
根据面积得出 |k| 为3，未说明图象经过的象限，因此 k 等于3或-3
例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变性易
知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于
点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，
而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3.
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形.
O
如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于
A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
练一练
4
4
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中，函数 和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O
x
y
O
②
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
例 6 函数 y = kx－k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
k＞0
由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
练一练
a＞0，
a＜0，矛盾
a＞0
a＞0，成立
不满足与 y 轴交点为（0，1）
a＜0，
a＞0，矛盾
例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.
练一练
如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围
是 ．
－1
2
y
x
O
A
B
x < －1 或 0 < x < 2
例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6) 和 (－2，－6)
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
练一练
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点
P 作 PB⊥x 轴于点 B，连接 OP，且△OBP 的面积
为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
P
x
y
A
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析
式是_______．
代入一次函数中，求得 k = 3
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围
4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化
解：(1) 依题意把点 A (2，－4) 代入解析式，得 ，
解得 k = －8.
(2) 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.
(4) 该反比例函数的解析式为 .
O
x
y
解：(3) 如图所示.
x
y
O
B
A
5. 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 交于 A (1，2)，B (m，－4) 两点.
(1) 求直线与双曲线的解析式；
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2.
把 A，B 两点坐标代入 y = ax + b 中，解得 a = 4，b = －2.
解：把 A (1，2)代入双曲线解析式中，
得 k = 2，故其解析式为 .
当 y =－4 时，m = .
(2) 求不等式 ax + b＞ 的解集.
解：根据图象可知，若 ax + b＞ ，
则 x＞1 或 ＜x＜0.
x
y
O
B
A
6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：由题意得
y = －x + 2，
所以 A (－2，4)，B (4，－2).
解得 或
x = 4，
y =－2，
x = －2，
y = 4.
作 AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于 D，
则 AC = 4，BD = 2.
(2) 求△AOB 的面积.
解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM = 2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB = OM·BD÷2 = 2×2÷2 = 2.
∴S△OMA = OM·AC÷2 = 2×4÷2 = 4.
∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6.
面积问题
→面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称(共44张PPT)
二、四象限
一、三象限
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
直线
双曲线
y随x的增大而增大
一、三象限
在每个象限， y随x的增大而减小
二、四象限
y随x的增大而减小
在每个象限， y随x的增大而增大
正比例函数和反比例函数的区别
用对比的方法去记忆效果如何？
导入新知
y
x
o
y
x
o
o
y
x
o
y
x
3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．
学习目标
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个
函数的图象上？
探究新知
知识点 1
利用待定系数法确定反比例函数解析式
解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，
因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，
解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
探究新知
方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质 以及所给的点是否在该图象上
探究新知
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
巩固练习
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上．
巩固练习
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
巩固练习
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、第三象限，
∴ m－5＞0，
解得 m＞5．
探究新知
知识点 2
如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样的大小关系？
反比例函数的综合性题目
（２）∵m－5＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，
∴当a＞a′时，b＜b′．
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
探究新知
如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于
给出的下列说法：
①常数k的取值范围是 ；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 和 ，
当 时， ；
④在函数图象的某一个分支上取点 和 ，
当 时， ．
其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
①
巩固练习
②
④
O
x
y
在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：
知识点 3
反比例函数中k的几何意义
探究新知
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
探究新知
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
探究新知
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
探究新知
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
探究新知
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
.
Q
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
探究新知
要
点
归
纳
如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
B
巩固练习
如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点A在反比例函数
的图象上，∴ xA·yA＝k，
∴反比例函数的表达式为
探究新知
考点 1
通过图形面积确定k的值
∴
，∴ k＝4，
巩固练习
如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
C
如图，P，C是函数 (x>0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于x 轴. 设△POA 的面积为S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1
与 S2 的大小关系是 S1 S2；
△POE 的面积 S3 和 S2 的大小
关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
探究新知
考点 2
利用k的性质判断图形面积的关系
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，
则( )
y
x
O
A
B
C
C
巩固练习
y
D
B
A
C
x
如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则
S四边形ABCD =___.
3
2
5
探究新知
考点 3
根据k的几何意义求图形的面积
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则
四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
巩固练习
在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
探究新知
知识点 4
一次函数与反比例函数的组合图形
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
探究新知
在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
函数 y=kx－k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
y
A.
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.
探究新知
考点 1
根据k的值识别函数的图形
在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
巩固练习
如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，
探究新知
考点 2
通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知－2< x <0 或 x >3.
1＜x＜5
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集
是_________．
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析式.
解：设 y=k1x 和 .
所以 ， .
解得 .
探究新知
考点 3
利用函数的交点解答问题
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【想一想】
探究新知
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式解方程得：
巩固练习
解得：
链接中考
1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 （x＞0）的图象上 S矩形OABC ＝6，则k＝ ．
y
x
O
6
A
B
C
2.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
链接中考
解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6，∴反比例函数的解析式为 ．
（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数 的图象经过点B（a，b），
∴S△ABC .
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
解得 ，
∴ ．
∴ ，
解得a=6，
∴ ．
∴B（6，1）．
直线AB的解析式为 .
D
链接中考
课堂检测
D
基础巩固题
1.已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
y1＜y2
课堂检测
2. 已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数 图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_________．
k>9
3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______．
1.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象
交于点A（2，3）．
（1）求k、m的值；
（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2.
能力提升题
课堂检测
解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和
可得：3=2k 和
解得： ， m=6.
课堂检测
2. 如图，已知反比例函数 （x＞0）的图象与一次函数 的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求 k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数 （x＞0）的图象上，
求当2≤ x ≤6时，函数值 y的取值范围．
课堂检测
解：（1）当x=6时， ，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数 过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤ x ≤6时，1≤ y ≤3．
A
y
O
B
x
如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
课堂检测
拓广探索题
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂检测
面积问题
与一次函数的综合
反比例函数图象和性质的综合运用
课堂小结
面积不变性
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
