安徽省安庆市怀宁县新安中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试卷（含答案）

安徽省怀宁县新安中学2024--2025高一下学期月考试卷
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A．2 B． C． D．
8．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A．四面体的表面积为40
B．四面体的体积为
C．四面体外接球的表面积为
D．记四面体内切球的球心为，则
10．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为定值
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为
D．若直线平面，则点P的轨迹长度为
11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，，，，的平分线交于，则的长度为 ．
13．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 .
14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
16．(15分）已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
17．(15分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为2，且，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积.
18．(17分）如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
19．(17分）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
(1)试将写成三角形式；
(2)当时，求的最大值和最小值．
(3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C C C C ACD ACD
题号 11
答案 AC
13． 14．
15．(1) (2)
（2）
，，所以的取值范围为.
16．（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，又，所以
（2） 是的角平分线，，由可得因为，，即有，，
故
17．（1）证明：连接，设，连接.因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以为的中点.在中，因为是的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为为正三角形，所以，，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为与平面所成的角，所以，
所以，因为，为中点，所以.所以.
18．（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，即，于是，由平面，平面，得，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，在中，，则，由是的中点，得，于是，所以平面与平面的夹角的正弦值为.
19．（1）设，
则，故，
故，其中.
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为3，此时，最小值为0，此时.
（3）设，则
，但
，故，.