河南省开封市2025届高三下学期4月联考数学试题(含详解)

河南省开封市2025届高三下学期4月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．椭圆的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．若成等比数列，则（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（ ）
A．149 B．151 C．199 D．300
7．已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
10．已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．和的面积之和的最大值为1
D．若，则
11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ）
附：双曲线在其上一点处的切线方程为.
A．
B．
C．作于点，则（为坐标原点）
D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知角α的终边经过点，则的值为 ．
13．高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率 ．
14．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有 ．
①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8
四、解答题（本大题共5小题）
15．在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异.
睡眠时长/小时
人数 5 12 28 36 17 2
(1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为.
（i）求的值；
（ii）求的分布列和期望.
16．已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
17．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证．
18．已知抛物线为上一点.
(1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切.
(2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为.
（i）求的方程；
（ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值.
19．已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，故，
∴椭圆的焦距为2.
故选B.
2．【答案】C
【详解】根据等比中项的概念可得，.
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的，
所以的最小正周期是的最小正周期的一半，
因为的最小正周期为，
所以的最小正周期为．
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选A.
5．【答案】A
【详解】由题可知，，
所以，
因为，，所以，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
故．
故选A.
6．【答案】A
【详解】由，，
得的前项的值依次为，
观察规律可得：当时，为正偶数，，
当或时，为正奇数，，
故，易知为正偶数，故，
所以，同理可得，，，
结合选项可知n的值可为149，
故选A．
7．【答案】C
【详解】由题意可得：的最小正周期，又，
且，所以为图象的一条对称轴，
所以（），解得（），
又，所以，故.
当时，则，若函数在区间上恰有3个极值点，
则，解得，故的取值范围是.
故选C.
8．【答案】D
【详解】∵函数满足对任意的且都有
∴令，则，
∴
∴
.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】；
对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，
即，所以，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，不是定值，D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：由题意得，，故A正确；
对于B：若，则，又因为，所以或，
若，则，此时，
若，则，此时，故B正确；
对于C：，
，，
所以，
整理得，
所以和的面积之和的最大值为，故C错误；
对于D：若，注意到在单位圆上，
当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，
故为以为斜边的等腰直角三角形，
所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限.
对于A，由题意得，，，解得，
故，，A错误.
对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则，
∴直线的斜率存在，
∵点在直线上，∴，
∴，则，
∵，∴，故，解得，故B正确.
对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为，
∵，故直线与双曲线相切，是切点.
由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角，
则平分，延长，与的延长线交于点，连接，
则为等腰三角形，，
∵为的中点，为的中点，
∴，故C正确.
对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线，
由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立两式，解得，
由得，，设直线，
则式可化为，即点在定直线上，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】依题意，，
所以.
13．【答案】
【详解】对于事件，甲和乙至少一人选择廉村孤树，则其反面为“甲、乙两人均不选择廉村孤树”，
所以，，
对于事件，甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，
所以，，
因此，所求概率为.
14．【答案】①②③
【详解】曲线：，
对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线关于轴和轴对称，正确；
对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部，故其面积小于，正确；
对③：设曲线上一点为，则，设，
到原点的距离的平方为，，
，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.
对④：对于曲线和椭圆，设点 在上，
点在上，
，故， 所以，
设点在上，点在上，
，所以，即，
故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图：
设直线交椭圆 于两点，交轴于，
为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义可知：，，
所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误.
15．【答案】(1)7.27小时.
(2)（i）；（ii）分布列见解析，.
【详解】（1）记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时，
则（小时），
故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时.
（2）（i）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”，
则表示“近期压力过大”的频率为，
由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故，
则，，
故.
（ii）因，
则，，
故其分布列如下表所示：
0 1 2 3
故期望.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，可得，故，
又，所以．
（2）由，可得，，…，，
两边分别相乘得，所以．
当时，，所以，
即，即，
由题可知，所以，
所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．
所以，，
所以．
所以
，
故．
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，则，
又．故所求切线方程为．
（2）当时，要证，即证，
即证在时恒成立．
令，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令，则，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，故．
当时，有，故，
即在时恒成立，
故当时．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为.
∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离，
∴以为圆心且过点的圆与的准线相切.
（2）
设.
（i）当时，点关于轴对称，点，
直线关于轴对称，成立.
当时，由得，直线的方程为，
将点的坐标代入，可得，则.
联立直线与的方程，可得，
∴.
∵，
∴，
化简可得，则，
由得，，由得，
故的方程为.
（ii）设直线，
与的方程联立，可得，
由，得，
由得，，故点.
设的中点为，
∵，
∴，故.
∵，∴三点共线，且为线段的中点，
∴的面积为的面积的，
由为的中点得，的面积为的面积的，
∴的面积为的面积的.
∵，
∴.
∵点到直线的距离，
∴，
当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）因为椭圆经过点，代入可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意，直线的斜率一定存在，设，直线的方程为，
联立椭圆和直线的方程得，
由韦达定理可得，
由点斜式可知直线的方程为，直线的方程为，
两式相比得，因为点在直线上，所以，
又点在椭圆上，所以，变形得，所以，
将直线方程代入得，即，
将韦达定理结果代入得，解得或，
因为均不与椭圆上下顶点重合，所以舍去，即，
直线的方程为，过定点.
（3）由题意可知，显然在直线的两侧，不妨设，
则，
设存在常数，使得，，为等比数列，则，
即，
由（2）可知，
代入化简可得，
由（2）知联立后的方程，
所以，解得，
所以存在，使得，，总为等比数列.