福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十六次质量检测 数学试卷（含详解）
文档属性
| 名称 | 福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十六次质量检测 数学试卷（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-14 13:30:24 | ||
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文档简介
福建省福州第三中学2024 2025学年高三下学期第十六次质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合和，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
4．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
10．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
11．已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．过作圆切线的斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，则 .
13．在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是 ．
14．已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则 ；若的中点为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列，若，点、在斜率是的直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
17．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
18．恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民 50 5 55
外地区网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19．已知函数．
(1)判断函数的单调性
(2)证明：①当时，；
②.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，,
A、B选项错误；
，，故C错误，D正确.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，
所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选B.
3．【答案】C
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
4．【答案】B
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选B.
5．【答案】C
【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：
共有28个基本事件，
这两个数之和仍为素数的基本事件有：共4个，
所以这两个数之和仍为素数的概率是，
故选:C.
6．【答案】D
【详解】对于A选项，如图①所示，在正方体中，
且，
因为分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理可证平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，
故平面,故A满足；
对于B选项，如图②所示，连接，
在正方体中，且，
因为分别为的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面，故B满足；
对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点，
连接，
因为且分别为的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，则，
所以四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，
所以，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面故C满足；
对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点，
连接，
因为且分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，故，
所以四点共面，
同理可证，故，
同理可得，
反设平面，
因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，
故平面，故D不满足.
故选D.
7．【答案】C
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选C.
8．【答案】B
【详解】满足，，
，即，
，
在上单调，
，即，
当时最大，最大值为，
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选ACD．
10．【答案】BC
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，
即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】圆的圆心，半径，显然圆与椭圆相离，而点在椭圆上，点在圆上，
于是，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
因此，解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A正确；
显然过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确；
设，有，且，即，
直线的斜率分别为，因此，C错误；
，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为向量，
则.
13．【答案】
【详解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面积为，所以点到直线的距离.
直线AB的方程为，即.
则圆心O到直线的距离.
如图，过点作，垂足为，交圆于点.
因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为.
又点到直线的距离，
则应有，所以，
即点到直线的距离小于，
所以有，
解得.
14．【答案】 /0.5 1
【详解】对于第一空：易知弦的斜率存在，,
设,联立，化简得：
则，即
可得弦方程中垂线方程为：，
故，
由弦长公式得：
显然
对于第二空：易知∥轴，由上可得
故四边形是平行四边形，所以
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由点、在斜率是的直线上得：，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
16．【答案】(1)1
(2)1
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴
（2）
过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关
(2)
【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时取最大值，
因为，，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，；
所以，
，
所以当时，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值为.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由于，定义域为，
则，
①当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
④当时，，所以在上单调递增；
⑤当时，时，，
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：①由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，故；
②由（1）可得，当时，，即，则，
仅当时等号成立，
所以，所以，即得，
令，则，所以，即，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以，
所以
.
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合和，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
4．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
10．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
11．已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．过作圆切线的斜率为
C．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，则 .
13．在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是 ．
14．已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则 ；若的中点为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列，若，点、在斜率是的直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
17．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
18．恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民 50 5 55
外地区网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19．已知函数．
(1)判断函数的单调性
(2)证明：①当时，；
②.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，,
A、B选项错误；
，，故C错误，D正确.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，
所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选B.
3．【答案】C
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
4．【答案】B
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选B.
5．【答案】C
【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：
共有28个基本事件，
这两个数之和仍为素数的基本事件有：共4个，
所以这两个数之和仍为素数的概率是，
故选:C.
6．【答案】D
【详解】对于A选项，如图①所示，在正方体中，
且，
因为分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理可证平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，
故平面,故A满足；
对于B选项，如图②所示，连接，
在正方体中，且，
因为分别为的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面，故B满足；
对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点，
连接，
因为且分别为的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，则，
所以四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，
所以，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面故C满足；
对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点，
连接，
因为且分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，故，
所以四点共面，
同理可证，故，
同理可得，
反设平面，
因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，
故平面，故D不满足.
故选D.
7．【答案】C
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选C.
8．【答案】B
【详解】满足，，
，即，
，
在上单调，
，即，
当时最大，最大值为，
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选ACD．
10．【答案】BC
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，
即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】圆的圆心，半径，显然圆与椭圆相离，而点在椭圆上，点在圆上，
于是，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，
因此，解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A正确；
显然过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确；
设，有，且，即，
直线的斜率分别为，因此，C错误；
，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为向量，
则.
13．【答案】
【详解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面积为，所以点到直线的距离.
直线AB的方程为，即.
则圆心O到直线的距离.
如图，过点作，垂足为，交圆于点.
因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为.
又点到直线的距离，
则应有，所以，
即点到直线的距离小于，
所以有，
解得.
14．【答案】 /0.5 1
【详解】对于第一空：易知弦的斜率存在，,
设,联立，化简得：
则，即
可得弦方程中垂线方程为：，
故，
由弦长公式得：
显然
对于第二空：易知∥轴，由上可得
故四边形是平行四边形，所以
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由点、在斜率是的直线上得：，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
16．【答案】(1)1
(2)1
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴
（2）
过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关
(2)
【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时取最大值，
因为，，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，；
所以，
，
所以当时，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值为.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由于，定义域为，
则，
①当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
④当时，，所以在上单调递增；
⑤当时，时，，
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：①由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，故；
②由（1）可得，当时，，即，则，
仅当时等号成立，
所以，所以，即得，
令，则，所以，即，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以，
所以
.
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