天津市河东区2024-2025学年高三下学期质量检测（二） 数学试题（含详解）

天津市河东区2024 2025学年高三下学期质量检测（二）数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知集合，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，命题p：，命题q：，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（ ）
A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱
B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次
C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多
D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异
6．已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．关于函数，下列结论不正确的为（ ）
A．时，的图象关于对称
B．时，的最小正周期为
C．时，在区间内有两个零点
D．时，在区间上的最大值为
8．我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（ ）
A．36 B．33 C．32 D．31
9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．i是复数单位，化简的结果为 .
11．在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答）
12．轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为 .
13．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 .
14．《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .

15．设函数，，若存在，使得，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．在三角形中，角所对的边分别为.已知，，.
(1)求边c的大小；
(2)求的值；
(3)求边的值.
17．在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1.
(1)求AD与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点A到平面CEF的距离；
(3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由.
18．设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，.
(1)求数列与的通项公式及；
(2)落在区间之内的项的个数为，.
（ⅰ）求，及数列的通项公式；
（ⅱ）求.
19．已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为.
(1)求椭圆方程及；
(2)证明：；
(3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离.
20．已知函数，，.
(1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)求函数的极值；
(3)函数，若，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】.
故选B.
2．【答案】C
【详解】命题p：即，
命题q：即，
所以命题能推出命题，而命题不能推出命题，
所以p是q的必要不充分条件.
故选C.
3．【答案】D
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，
对于A，,,
,
即函数是奇函数，故A错，
对于B，，，
，
是偶函数，
当时，，故B错，
对于C ， ，，
，
是奇函数，故C错，
对于D，，，
，
是偶函数，，符合题意，故D正确.
故选D.
4．【答案】A
【详解】因为，
，，且，
故.
故选A.
5．【答案】C
【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误；
对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误；
对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确；
对于D，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故D错误.
故选C.
6．【答案】A
【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即，
内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知：
.
故选A.
7．【答案】C
【详解】因为，
所以，
当时，，
函数的对称轴方程为，，
所以函数的对称轴方程为，，
取可得，是函数的图象的一条对称轴，A正确；
函数的最小正周期，B正确；
当时，，
令可得，所以，
所以，，所以，，
所以函数在内的零点有，，，C错误；
由，可得，
所以，故，
所以时，在区间上的最大值为，此时，D正确.
故选C.
8．【答案】D
【详解】∵，
∴，∴是31位数.
故选D.
9．【答案】B
【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点，
则，①，准线方程为，
不妨设直线与渐近线垂直，
则点到直线的距离，则，
因，则，，
则②，
因，即，则③，
联立①②③得，，则双曲线的方程为.
故选B.
10．【答案】
【详解】.
11．【答案】84
【详解】根据二项式定理,的通项为:
，
当时,即时,可得.
即项的系数为.
12．【答案】
【详解】由题知直线方程为，即，
又圆的标准方程为，
所以圆的圆心为，半径为，
则到直线的距离为，
所以.
13．【答案】
【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法，
又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法，
所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为，
记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，
则，，所以.
14．【答案】
【详解】因为多边形为正八边形，
所以，，，，，
，
由正八边形性质可得，
由已知，
过点作，垂足为，
则，又，，故，
如图，以点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
因为，
所以，
又点在线段上，所以，所以，
所以，
所以，
因为点为线段上的动点，故可设点的坐标为，
则，，，
所以，且，
因为二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以当或时，取最小值，最小值为，
即当点为线段的端点或端点时，取最小值，最小值为.

15．【答案】1
【详解】因为，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又因为，
且存在，使得，所以，
所以，令，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以,即,当时取等号.
所以（当时取等号，此时满足题意），
所以的最小值为1.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知，
，，
，解为；
（2），又，
所以；
（3），，，
.
17．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）EA⊥底面，底面正三角形ABC边长为2，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，，，.
所以，，
设平面DEF的法向量为，
，故，
令，则，，故，
又，设AD与平面DEF所成角为，
；
（2）平面CEF的法向量为，
其中，，
，故，令，则，
故，，
所以点A到平面CEF的距离；
（3）由（1）知，平面DEF的法向量为，
其中，设，，
PG与平面DEF平行，故，
即，
解得，此时.
18．【答案】(1)，，
(2)（i），，；（ii）
【详解】（1）设，，，，
由已知，，
所以，
所以，
所以，，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，，
所以；
（2）（ⅰ）由已知，在此区间内，∴，
因为，
所以即为，
∴.
，
所以即为，
所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（ⅱ）记，
①，
②，
①-②为，
，
.
19．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由已知，，设椭圆左焦点，则，
因为，，
由，得，
所以椭圆方程为，；
（2）设点，因为点在椭圆上，得，
由两点间距离公式得，
化简得；
（3）由（2）可知，，所以，
根据三角形两边之差小于第三边得,
所以当三点共线时取最大值，
，设直线：，
，得：，
，∴，
通过图象可得，当直线时，椭圆上任意点到直线的距离最大，
即椭圆上任意点到直线的最大距离为.
20．【答案】(1)
(2)的极大值为，无极小值
(3)证明见解析
【详解】（1）易知，切线斜率为，所以，
由切线方程可得；
（2）易知，，
令，即，∴，
令，∴，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数的极大值为，无极小值.
（3）易知，则，
令，则，令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数的极大值为，
由已知，∴，，由（2）可知，证毕.