6.2黄金分割
一、单选题
1.线段AB=8,P是AB的黄金分割点,且AP<BP,则BP的长度为( )
A.44 B.88 C.88 D.44
2.若点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2(AC>BC),则AC等于( )
A.1 B.3
C. D.1或3
3.美是一种感觉,当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感.已知某女士身高160cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm
4.我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”,它的底与腰的比值为.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,若BC=2,则CD的长为( )
A. B. C. D.
5.如图,以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至F,使得EF=BE,以AF为边作正方形AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为S1,矩形HICB的面积为S2,则S1与S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.不能确定
二、填空题
6.已知点C是AB的黄金分割点(AC<BC),若AB=4cm,则BC的长为 cm.
7.如图,乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,C,D之间的距离为 .
8.新定义:如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数),那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图,△ABC是“精准三角形”,AB=AC=2,CD⊥AB,垂足为点D,那么BD的长度为 .
9.如图,线段AB=1,P是AB的黄金分割点,且PA>PB,S1表示以PA为边长的正方形面积,S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积,则S1﹣S2= .
10.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.在如图所示的五角星中,,且C,D两点都是AB的黄金分割点,则CD的长为 .
三、解答题
11.如图,点是线段的黄金分割点,,计算线段的黄金比的值.
12.(1)已知,,是,的比例中项,求.
(2)如图,是的黄金分割点,且,,求的长.
13.已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比).如图,,,都是黄金三角形,已知,求的长度.
14.如图所示,以长为2的定线段为边作正方形,取的中点,连接,使,在的延长线上取点,使以为边作正方形,点在上.
(1),的长分别为 , .
(2)是的黄金分割点吗?请说明理由.
15.在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为,那么它的下部应设计为多高?
16.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
17.再读教材:
宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)
第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.
第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.
问题解决:
(1)图③中AB= (保留根号);
(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
18.阅读理解:
如图1,点C将线段AB分成两部分,若,则点C为线段AB的黄金分割点.
某研究学习小组,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,而给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1、S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
问题解决:
如图2,在△ABC中,若点D是AB的黄金分割点.
(1)研究小组猜想:直线CD是△ABC的黄金分割线,你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组探究发现:过点C作直线交AB于E,过D作DF∥CE,交AC于F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
19.关于的一元二次方程,当时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计;我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.
(1)求黄金分割数;
(2)已知实数,满足:,,且,求的值;
(3)已知两个不相等的实数,满足:,,求的值.
参考答案
一、单选题
1.
【分析】根据黄金分割的定义解决问题即可.
【解答】解:∵线段AB=8,P是AB的黄金分割点,且AP<BP,
∴BPAB8=44.
故选:A.
2.
【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,它们的比值()叫做黄金比.
【解答】解:根据黄金分割点的概念得:ACAB1.
故选:A.
3.
【分析】先求得下半身的实际高度,再根据黄金分割的定义求解.
【解答】解:根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm,
设需要穿的高跟鞋是ycm,则根据黄金分割的定义得:0.618,
解得:y≈8cm.
故选:D.
4.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠C=72°,再利用角平分线的定义可得∠DBC=36°,从而利用三角形内角和定理可得∠BDC=72°,进而可得∠C=∠BDC=72°,然后利用等角对等边可得BC=BD,从而可得△BDC是“黄金三角形”,最后进行计算即可解答.
【解答】解:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C(180°﹣∠A)=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC∠ABC=36°,
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴BC=BD,
∴△BDC是“黄金三角形”,
∴,
∵BC=2,
∴DC1,
故选:A.
5.
【分析】设正方形ABCD的边长为2a,根据勾股定理求出BE,求出EF,求出AF,再根据面积公式求出S1与S2即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAB=90°,
设正方形ABCD的边长为2a,
∵E为AD的中点,
∴AE=a,
在Rt△EAB中,由勾股定理得:,
∵EF=BE,
∴,
∴,
即,
∴,,
即S1=S2,
故选:C.
二、填空题
6.
【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.BC=42(1).
【解答】解:由题意知:BCAB=42(1)=(22)cm.
故答案为:(22).
7.
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数,用分数表示为,由此即可求解.
【解答】解:弦AB=80cm,点C是靠近点B的黄金分割点,设BC=x,则AC=80﹣x,
∴,解方程得,,
点D是靠近点A的黄金分割点,设AD=y,则BD=80﹣y,
∴,解方程得,,
∴C,D之间的距离为,
故答案为:.
8.
【分析】作△ABC的中线CM,由精准三角形的定义得到,求出CM的长,由线段中点定义得到AM=MBAB=1,令DM=x,由勾股定理得到x2=22﹣(x+1)2,求出x,得到DM即可求出BD的长.
【解答】解:作△ABC的中线CM,
∵△ABC是“精准三角形”,
∴,
∵AB=2,
∴CM1,
∵M是AB中点,
∴AM=MBAB=1,
令DM=x,则AD=x+1,
∵CD2=CM2﹣MD2=AC2﹣AD2,
∴x2=22﹣(x+1)2,
∴x,
∴DM,
∴BD=MB﹣DM.
故答案为:.
9.
【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB AB,再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2,S2=PB AB,那么S1=S2,即S1﹣S2=0.
【解答】解:∵P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,
∴PA2=PB AB,
又∵S1表示以PA为边长的正方形的面积,S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积,
∴S1=PA2,S2=PB AB,
∴S1=S2,
∴S1﹣S2=0
故答案为0.
10.
【分析】根据黄金分割的定义得到,继而将,代入得:,解之即可求解.
【解答】解:∵C,D两点都是的黄金分割点,
∴,
∵AB=AD+CD+BC,,
∴,
将,代入,
得:,
∴,
整理得:,
∴CD=1,
故答案为:1.
三、解答题
11.解:点是线段的黄金分割点,,
,
线段的黄金比的值为.
12.解:(1)是,的比例中项,
,
,,
为3或;
(2)是的黄金分割点,且,,
.
13.解:,,都是黄金三角形,
,,,,,
,
.
14.解:(1)在中,,,由勾股定理知,
,
.
故的长为,的长为;
故答案为:,;
(2)结论:点是的黄金分割点.
由于,
点是的黄金分割点.
15.解:设雕像的下部高为 ,则题意得:
,
整理得:,
解得,(舍去),
答:雕像的下部高为 .
16.证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,
∵N为BC的中点,
∴NCBC=a.
在Rt△DNC中,.
又∵NE=ND,
∴CE=NE﹣NC=(1)a.
∴.
故矩形DCEF为黄金矩形.
17.解:(1)∵四边形MNCB是正方形,
∴NC=MN=2,
由折叠的性质得:ACNC=1,
在Rt△ABC中,AB;
故答案为;
(2)四边形BADQ是菱形.
证明:由折叠可知:AB=AD,BQ=BD,∠BAQ=∠DAQ,
∵BQ∥AD,
∴∠AQB=∠DAQ,
∴∠AQB=∠BAQ,
∴AB=BQ,
即AD=AB=BQ=BD,
∴四边形BADQ为菱形;
(3)图④中的黄金矩形有:矩形BCDE,矩形MNDE;
理由:∵AD=AB,AN=AC=1,
∴CD,ND,
∴,
故矩形BCDE是黄金矩形;
∴,
故矩形MNDE是黄金矩形.
18.解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
∵点D是AB的黄金分割点,
∴,
∵,,
∴,
∴直线CD是△ABC的黄金分割线;
(2)∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段,即AD=BD,
∴,1,
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线;
(3)∵DF∥CE,
∴S△FDE=S△FDC,S△DEC=S△FEC,
∴S△AEF=S△ADC,S四边形BEFC=S△BDC,
∵,
∴,
∴直线EF是△ABC的黄金分割线.
19.解:(1)由题意,将代入得,,
.
黄金分割数大于0,
黄金分割数为.
(2),
.
.
又,
,是一元二次方程的两个根.
.
.
(3)由题意,令①,②,
①②得,,
.
又①②得,,
,为两个不相等的实数,
,
.
.
又.
.
.
.
.