6.3相似图形--苏科版（含解析）九年级数学下册试题

6.3相似图形
一、单选题
1．下列图中，大小图形非相似图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．矩形都是相似图形
B．等边三角形都是相似三角形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．边长相等的菱形都相似
3．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
4．下面两个图形一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
二、填空题
5．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 　 　．
6．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 　 　．
7．用4倍的放大镜看一个20°的角，则看出的角的度数是 　 　．
8．如图，四边形ABCD～四边形EFGH，∠A＝80°，∠F＝70°，∠G＝90°，则∠D＝　 　．
三、解答题
9．如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？简单说明理由．
10．如图，将下列图形分成四块，使它们的大小、形状完全相同，且与原图形相似，你会分吗？怎样分？
11．如图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．
12．在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x的值．
13.四边形∽四边形，，，若四边形的面积为12，求四边形的面积．
14.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．

15.如图，四边形四边形．

(1)______．
(2)求的值．
16．如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．

17.将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
18.形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．

一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值．
19．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
20．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n＝5时，共向外作出了 　 　个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 　 　；
（2）当n＝k时，共向外作出了 　 　个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为 　 　（用含k的式子表示）．
21．如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时，求证：对角线BD是四边形ABCD的“完美对角线．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BAD与∠BCD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”？请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据相似图形的定义可知．
【解答】解：观察图形可知，A、B、C中的两个图形都是相似图形，D中的两个图形不是相似图形．
故选：D．
2．
【分析】各边对应成比例，各角对应相等的多边形是相似多边形，由此即可判断．
【解答】解：A、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故A不符合题意；
B、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故B符合题意；
C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故C不符合题意；
D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意．
故选：B．
3．
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
4．
【分析】根据相似三角形的判定依据等腰直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：两个等腰直角三角形一定相似，
故选：B．
二、填空题
5．
【分析】直接利用相似图形的定义得出答案．
【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；
⑤所有的圆都相似，正确．
故答案为：②③⑤．
6．
【分析】设这个四边形的最短边的长度为x cm，然后根据相似多边形的性质可得，从而进行计算即可解答．
【解答】解：设这个四边形的最短边的长度为x cm，
由题意得：
，
解得：x＝15，
∴这个四边形的最短边的长度为15cm，
故答案为：15cm．
7．
【分析】角的大小是指两边张开的大小，与两条边的张开程度有关，用放大4倍的放大镜看一个20°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变，
【解答】解：用一个放大4倍的放大镜看一个20度的角，看到的这个角仍是20度；
故答案为：20°．
8．
【分析】根据相似多边形的对应角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD～四边形EFGH，
∴∠F＝∠B＝70°，∠G＝∠C＝90°，
∵∠A＝80°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝120°，
故答案为：120°．
三、解答题
9．解：②和③中的两个图形经过放大或缩小得到另一个图形，所以它们的形状相同．
10．解：作图如下：
11．解：本题答案不唯一
12．解：图1中，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴α＝50°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，
∴，
∴A′C′＝3.78，
∴x＝AC＝3.78．
图2中，∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝50°，
∴α＝50°，
∵△ABO∽DCO，
∴，
∴，
∴AB＝8，
∴x＝8．
13.解：∵四边形∽四边形，，，
∴四边形与四边形的相似比为，
∴，即，
∴．
14.设，，则，，
由相似图形的性质得：，即，
解得或（不符题意，舍去），
则．
15.（1）解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形四边形，
∴，即，
解得．
16.解：设运动时间能使矩形与矩形相似，
由题意或，
解得：或．
当时，，
∵，
又∵与都是矩形，
∴矩形与矩形相似．
同理可证当时矩形与矩形相似．
17.（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
18.解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1，
∴小长方形的宽为，长为1，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得：或（边长不能为负舍去），
∴；
（2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，

四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同；
（4）共有四种情况：
①如下图沿原矩形的长3等分，

小矩形和原矩形的长宽比都为a，
小矩形的长为1，则宽为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的长为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的宽为，
∴∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，
∴右边两矩形的宽和长为，
∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
19.解：（1）不相似，理由如下：
AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，
而，
∴图中两个矩形不相似；
（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则，
则：，
解得x＝1.5，
或，
解得x＝9．
综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似．
20.解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，
∴每个小三角形与大三角形边长的比，
∵大三角形的面积是S，
∴每个小三角形的面积为；‘
（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小三角形的面积为．
21.（1）证明：如图1中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝35°，
∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“完美对角线”．
（2）解：如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”．
理由：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”．