6.4探索三角形相似的条件--苏科版（含解析）九年级数学下册试题

6.4探索三角形相似的条件
一、单选题
1．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D．
2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为4，那么AC的长是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．8
3．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（　　）
A．4 B．5 C．7 D．6
6．如图示，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是 　 　（请填写序号）．
①∠D＝∠B ②∠C＝∠AED
③ ④
二、填空题
7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AE交l1，l2，l3于点A，C，E，直线BF交l1，l2，l3于点B，D，F．若，BD＝8，则DF的长为 　 　．
8．如图所示．已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 　 　．
9．如图，在△ABC中，AC＝7cm，BC＝12cm，动点P，Q分别从点A，C开始沿图中所示方向及速度运动，如果P，Q两动点同时运动，那么经过 　 　秒，以C，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似．
10．如图，△ABC中，BC＝1．若AD1AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝　 　；照这样继续下去，D1D2D1B，且D2E2∥BC；D2D3D2B，且D3E3∥BC；…；Dn﹣1DnDn﹣1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝　 　（用含n的式子表示）．
三、解答题
11．如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠BAC＝　 　，EF＝　 　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A＝63°，∠ADE＝47°，∠B＝70°，求证：△ADE∽△ACB．
13.如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．

14.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
15.已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上， 且．
（1）求AD的长；
（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽．
16.如图，在中，为上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）当时，，，求的长．
17．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．
18．在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F．
（1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：；
（2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值．
19．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2．
（1）求CD长度；
（2）求证：△ABE∽△BDE．
20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？
（3）几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？
参考答案
一、单选题
1．
【分析】由∠BAD＝∠CAE，得到∠EAD＝∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAE＝∠BAE，
∴∠EAD＝∠CAB，
A．若添加∠B＝∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．添加∠C＝∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
C．添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
D．添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的行线于点D，根据题意，AD＝DE＝EF＝h，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的行线于点D，
根据题意，AD＝DE＝EF＝h，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴AD＝DE＝EF＝h，
∴．
解得AC＝6．
故选：C．
3．
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有∠B＝∠B，不能判断△BDE∽△BAC，故本选项符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，，AC＝2，
对应的图形B中的边长分别为1和，
∵，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：B．
5．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出线段BC＝8，再根据BP：CP＝1：3，求出CP可得结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，
∴BC＝8，
∵BP：CP＝1：3，
∴PCBC8＝6．
故选：D．
二、填空题
6．
【分析】根据相似三角形的判定定理的内容即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE
即：∠BAC＝∠DAE
①若∠D＝∠B，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
②若∠C＝∠AED，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
③若，则△ABC∽△ADE（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）；
④，不能判定△ABC∽△ADE；
故答案为：①②③．
7．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，BD＝8，
∴，
∴DF＝12，
故答案为：12．
8．
【分析】由题意，P是动点且点P的纵坐标为可知点P在直线y上，当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，此时可求得一个符合题意的P的坐标；当Rt△PAO∽Rt△BAP时，由相似三角形对应边成比例可得PA：AB＝OA：PA，即PA2＝AB OA，由此再计算出符合题意的点P的坐标即可．
【解答】解：∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y上．
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，），
②∵当Rt△PAO∽Rt△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB OA，
∴b﹣1，
∴（b﹣8）2＝48，
解得b＝8±4，
∴P（1，2）或（1，2），
综上所述，P点的坐标可以是（1，），（1，2）或（1，2）．
故答案为：（1，），（1，2）或（1，2）．
9．
【分析】当时，△CPQ∽△CAB，时，△CPQ∽△CBA，进一步求得结果．
【解答】解：根据题意可知：CP＝AC﹣AP＝（7﹣t）cm，CQ＝2t cm，
∵∠C＝∠C，
∴当时，△CPQ∽△CAB，
∴，
∴t，
当时，△CPQ∽△CBA，
∴，
∴t，
综上所述：t或．
故答案为：或．
10．
【分析】由D1E1∥BC，可得△AD1E1∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而求得D1E1的长，又由D1D2D1B，可得AD2AB，继而求得D2E2的长，同理可求得D3E3的长，则可求得答案．
【解答】解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴，
∵BC＝1，AD1AB，
∴D1E1；
∵D1D2D1B，
∴AD2AB，
同理可得：D2E211﹣（）2，
D3E31﹣（）3，
∴DnEn＝1﹣（）n．
故答案为：，1﹣（）n．
三、解答题
11．解：（1）如图所示，取格点G，连接GB，GA，
由网格得，点G，A，C三点共线，
∵GB2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，AG2＝12+32＝10，
∴GB＝AB，GB2+AB2＝AG2，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠BAG＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAG＝135°，
由勾股定理得，；
故答案为：135°，；
（2）根据网格，利用勾股定理得：，DF＝2，，
根据网格，利用勾股定理得：，，BC＝5，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
12．证明：∵∠ADE＝47°，∠A＝63°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣63°﹣47°＝70°，
∵∠B＝70°
∴∠B＝∠AED，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
13.证明：，
，

，
，
．
14.（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵点F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：与相似，理由如下：
设，
∵E为边的中点，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
15.（1），，
．
．
在中，．
（2）点分别是AD、AB的中点，
．
在、中，，．
，
∽．
16.（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：作 于 H．

∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∵
∴，即是的角平分线，
∴，
∵
∴,
∵是的角平分线，，，
∴．
17.证明：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴BC＝9，
∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．
18.（1）证明：∵DG∥BE，点D是BC中点，
∴CD＝BD，
∴，
∴CG＝EG，
∵点F是AD中点，DG∥BE，
∴AF＝DF，
∴，
∴AE＝EG，
∴AE＝CG＝EG，
∴；
（2）解：过点D作DH∥BE交AC于点H，
∵BD：DC＝1：4，DH∥BE，
∴，
∴CH＝4HE，
∵AF：FD＝3：2，DH∥BE，
∴，
∴，
∵，
∴AE：EC的值为．
19.（1）解：∵∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，即∠AEB＝∠CBD，
∴△ABE∽△CDB，
∴，即，
解得，CD＝4，
∴CD的长度为4；
（2）证明：由勾股定理得：，，
∴，
∵，∠A＝∠EBD＝90°，
∴△ABE∽△BDE．
20.解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），
此时AP＝x cm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2x cm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4（舍）；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于5cm，
由PQ2＝BP2+BQ2，得52＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2．
答：2秒后，PQ的长度为5cm；
（3）当△BQP∽△BCA时，，
即，解得，
当△BQP∽△BAC时，
，
即，
解得，
∴或．