6.6图形的位似（含解析）苏科版九年级数学下册

6.6图形的位似
一、单选题
1．如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD＝2AB．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣6，﹣3） B．（﹣5，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，﹣3）
2．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
5．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点P B．点O C．点M D．点N
6．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为12cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像CD高3cm，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（　　）
A．6cm B．24cm C．36cm D．48cm
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，有三个点O（0，0），A（3，4），B（4，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为 　 　．
8．如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　．
9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，则OD：OA＝ 　 　．
10．如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为（1，0），则点F的坐标为 　 　．
11．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为1：2．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（﹣2，4），则点N的坐标为 　 　．
12．如图，将△AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到△OCD，已知A（1，2）、B（3，0）、D（4，0），则点C的坐标为 　 　．
三、解答题
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3），B（2，1），C（4，1）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）；
（2）在（1）的条件下，写出点E的坐标．
14．如图，已知O是坐标原点，B（﹣3，6），C（﹣3，0），以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1：2）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标．
15．如图，已知△ABC，请用尺规作图法，以点A为位似中心作△ADE，使得△ADE∽△ABC，且点D在边AB上，点E在边AC上，相似比为1：2．（保留作图痕迹，不写作法）
16．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2），△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请写出点P的坐标是 　 　；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使其与△ABC的相似比为2：1；
（3）计算△A2B2C2的面积．（写出计算过程）
17．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．
（2）如图2，在OA边上找一点F，使得．
18．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请写出点P的坐标是 　 　；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形．△A2B2C2，使相似比为1：1；
（3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 　 　．
19.阅读与思考
探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质． 小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下： 如图，任意画一个，以点为位似中心，自选新旧图形的相似比为，得到． 第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与的值相等． 第二步，以为原点建立平面直角坐标系，分别度量点，的横坐标，并计算比值；分别度量点，的纵坐标，并计算比值，观察比值与的关系，发现它们相等．接下来对其它顶点作相同的操作，得出相同的结论． 第三步，作线段，度量它们，发现的结论是：_______． 第四步，任意改变的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立． 于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务：（1）第三步发现的结论是______．
（2）已知图1中点，则点的坐标是_______，______．
（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形的相似比为0.75的一个图形．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】先确定为位似比为2，然后把点的横纵坐标都乘以﹣2即可．
【解答】解：∵△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD＝2AB，
∴位似比为2，
∵点A的坐标为（2，1），
∴点C的坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：C．
2．
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC缩小后得到△DEF，A（2，4），D（1，2），
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC的面积：△DEF的面积＝4：1，
∵△DEF的面积为2，
∴△ABC的面积为8．
故选：C．
3．
【分析】根据位似图形的概念得到AD∥EH，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴AD∥EH，
∴△OAD∽△OEH，
∴，即四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为，
∵四边形ABCD的周长为3，
∴四边形EFGH的周长为9，
故选：B．
4．
【分析】根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴AD∥A′D′，
∴△AOD∽△A′OD′，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4：9，
故选：D．
5．
【分析】根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【解答】解：如图，连接对应点，交于点P，则两个菱形的位似中心是点P，
故选：A．
6．
【分析】连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，先判定△COD∽△BOA，得出，求出，即可得到答案．
【解答】解：连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，
根据题意可得：OC＝OD，∠COD＝∠AOB，AO＝BO，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵，
∴，
∴OE＝2OF＝2×12＝24（cm），
∴蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为24cm．
故选：B．
二、填空题
7．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，位似比为，且A（3，4），
∴点C的坐标为，即，
故答案为：．
8．
【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
【解答】解：如图所示：位似中心点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
9．
【分析】根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，
∴△ABC∽△DEF，OD：OA＝EF：BC，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，
∴OD：OA＝EF：BC＝1：2．
故答案为：1：2．
10．
【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且，根据A（1，0），得到OA＝1，得到OB＝3，得到AB＝2，根据相似三角形的性质求出BE即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAD∽△OBG，
∵相似比为1：3，A（1，0），
∴，OA＝1，
∴OB＝3，
∴AB＝OB﹣OA＝2，
∵△OBC∽△OEF，
∴，
∴，
解得：BE＝6，
∴OE＝OB+BE＝9，
∴点F的坐标为（9，6）．
故答案为：（9，6）．
11．
【分析】利用位似变换的性质求解即可．
【解答】解：∵点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（﹣2，4），相似比为1：2，
∴N（4，﹣8）．
故答案为：（4，﹣8）．
12．
【分析】由将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD（如图），D（4，0），B（3，0），即可求得其位似比，继而求得答案．
【解答】解：∵B（3，0），D（4，0），
∴OB：OD＝3：4，
∵将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD，
∴位似比为：3：4，
∵A（1，2），
∴点C的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题
13．解：（1）与△ABC位似且相似比为2：1的△DEF，如图，即为所求；
（2）根据对应格点的位置可得：E（4，2）．
14．解：（1）∵以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半，B（﹣3，6），C（﹣3，0），
∴B′（，3），C′（，0）；B″（，﹣3），C″（，0）；
（2）B点的对应点坐标为：（，3），（，﹣3）；
（3）△OBC内部一点M的坐标为（x，y），
则点M经位似变换后的对应点坐标为：（x，y），（x，y）．
15．解：如下图：△ADE即为所求.
16．解：（1）连接A1A，B1B，C1C，并分别延长，相交于点P，
则△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形，
∴点P的坐标是（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）△A2B2C2的面积为30﹣8﹣6＝16．
17．解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，
则，
∵∠DOE＝∠AOB，
∴△ODE∽△OAB，
故△ODE即为所求；
（2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，
则△AGF∽△OBF，
∵OB＝2，
∴，
故点F即为所求作．
18．解：（1）如图所示：点P（0，﹣2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）．
故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
19.（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可．
（2）∵，且点，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：,所以．
又∵，
∴．
（3）如图：
图中矩形即为所作图形．