6.7用相似三角形解决问题--苏科版（含解析）九年级数学下册试题

6.7用相似三角形解决问题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝6m，BP＝8m，PD＝18m，那么该古城墙CD的高度是（　　）m．
A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5
3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm．
A． B．4 C． D．5
4．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP＝2m．当小明向路灯移动0.5m时，影长的变化是（　　）
A．伸长了0.2m B．伸长了0.1m
C．缩短了0.2m D．缩短了0.1m
5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
二、填空题
6．如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得AB＝5m，CA＝1m，则树的高度为　 　m．
7．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝5m．则路灯的高度OP为　 　．
8．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中AD＝BC，，量得CD＝4cm，则AB＝ 　 　cm．
9．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ 　 　．
三、解答题
10．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE＝2.4米，若小宇的眼睛到地面的距离DE为1.6米，则假山AC高度为 　 　米．
11．如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上．
（1）求证：△AHG∽△ABC；
（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？
12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
13．如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D．
（1）证明：CE＝BF；
（2）求证：AC+CO＝AB；
（3）若BG＝2，求线段AO的长度．
14．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即FC＝4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计）
15．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点．
（1）如图1，连接AE，CE，求证：△ABE≌△CBE；
（2）如图2，F是CE延长线上一点，CF交AB于点G，AF⊥AE．判断△FAG的形状并说明理由；
（3）在第（2）的条件下，AE＝AF＝4，求的值．
16．如图1， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．点G，H分别是BD与AF，CE的交点．
（1）求证：OG＝OH；
（2）连接BE交AC于点P，连接PG，PH．
①如图2，若PG∥AB，求证：PH∥AD；
②如图3，若 ABCD为菱形，且DE＝3AE，∠GPH＝60°，求的值．
17．如图，正方形EFGH的四个顶点在△ABC的三边上．
（1）如图1，AD为△ABC的高，交EF于点N，若BC＝60，AD＝40．设EF的长为x．
①直接写出AN的长（用含x的式子表示）；
②求正方形EFGH的边长．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AH交EF于点P，连接AG交EF于点Q．
①求证：EH2＝BH CG；
②直接写出EP，PQ，FQ之间的数量关系．
18．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）求出△BPQ是轴对称图形时t的值；
（3）如图②，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，直接写出t的值．
19.如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒．
（1）当点到达的中点时，　　；
（2）请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？
（3）若已知点在直线上，，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标．
20.如图1，为内一点，连接，，如果与相似，那么称点为的“黄金点”．
（1）①等边三角形 　　“黄金点”（填“存在”或“不存在” ；
②中，，，若点是的“黄金点”，则　　；
（2）如图2，中，，，的中线、交于点，试说明：点是的“黄金点”；
（3）如图3，中，，，，若点是的“黄金点”，且点在的平分线上，求的长．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝3cm，DE＝1cm
∴，
解得：AD，
故选：C．
2．
【分析】证明△ABP∽△CDP，推出可得结论．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∵∠APB＝∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∴，
∴CD＝13.5m，
故选：D．
3．
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
4．
【分析】由题意可得AO∥CP，即得△BPC∽△BOA，得到，求出变化前后BP的长度即可判断求解．
【解答】解：如图，由题意可知，AO∥CP，
∴△BPC∽△BOA，
∴，
∴，
∴BP＝0.4m，
当小明向路灯移动0.5m时，BO＝2﹣0.5+BP＝1.5+BP，
由得：，
∴BP＝0.3m，
∴影长缩短了0.4﹣0.3＝0.1（m），
故选：D．
5．
【分析】证明△AEF∽△ABC，则，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK＝10﹣x，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．
【解答】解：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴，
设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AK＝（10﹣x）cm，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为．
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】如图，利用相似三角形的判定与性质证明△ACD∽△ABE即可求解．
【解答】解：当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，标记D，E如图所示，
∵∠ACD＝∠ABE＝90°，∠DAC＝∠EAB，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
∵学生的身高为1.6m，
依题意得：CD＝1.6m，
∵AB＝5m，CA＝1m，
∴，
解得BE＝8m，
故答案为：8．
7．
【分析】根据AB∥OP，得到△ABC∽△OPC，得到，代入相关数据即可求解．
【解答】解：∵OP⊥PC，AB⊥PC，
∴AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
∵AB＝3，BC＝4，BP＝5，
∴PC＝BP+BC＝9，
∴：
∴，
∴路灯的高度OP为．
故答案为：．
8．
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长．
【解答】解：∵AD，BC相交于O，
∴∠COD＝∠AOB，
∵，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∴，
∴AB＝4×3＝12（cm），
故答案为：12．
9．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴，
∴AB＝3cm，
故答案为：3cm．
10．
【分析】证明△ACB∽△DEB，则，即，计算求解即可．
【解答】解：∵镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，
∴BC＝21米，∠ABC＝∠DBE，
又∵∠ACB＝90°＝∠DEB，
∴△ACB∽△DEB，
∴，
∵BE＝2.4米，DE＝1.6米，
∴，
解得：AC＝14，
故答案为：14．
三、解答题
11．（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，如图，
∵△ABC的面积为48cm2，
∴BC AD＝48，
∵BC＝12cm，
∴AD＝8cm．
∵HG∥EF，AD⊥BC，
∴AM⊥HG，
∴HE＝MD＝GF．
设HG＝x cm，HE＝y cm，则DM＝y cm，
∴AM＝AD﹣DM＝（8﹣y）cm，
由（1）知：△AHG∽△ABC，
∴，
∴，
∴y．
∵矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半，
∴xy＝24．
∴x 24．
解得：x1＝x2＝6，
∴y4，
∴HG＝6cm，HE＝4cm，
答：矩形的长为6cm，宽为4cm．
12．解：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴，
∵EF＝1.8米，FG＝2.4米，OD＝20米，
∴，
∴AO＝15米，
同理得△BOC∽△AOD，
∴，即，
∴BO＝12米，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米），
∴旗杆的高AB是3米．
13．（1）证明：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∠ACB＝90°
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ABC＝90°，
∴∠EAC+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠EAC＝∠BCF，
∵AC＝BC，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴CE＝BF．
（2）证明：如图1中，作OK⊥AB于K．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∵OK⊥AB，
∴∠OKB＝90°，
∴∠KOB＝∠KBO＝45°，
∴OK＝BK，
∵∠OAC＝∠OAK，∠ACO＝∠AKO＝90°，
∵AO＝AO，
∴△ACO≌△AKO（AAS），
∴AC＝AK，CO＝OK，
∴OC＝OK＝BK，
∴AB＝AK+BK＝AC+CO．
（3）解：如图2中，在GA上取一点L，使得GL＝GB，连接BL．
∵GL＝GB＝2，
∴BL＝2，∠GBL＝∠GLB＝45°，
∵∠LAB∠DAB＝22.5°，∠GLB＝∠LAB+∠LBA，
∴∠LAB＝∠LBA＝22.5°，
∴AL＝BL＝2，
∴AG＝2+2，
在GB上取一点T，使得GO＝GT，连接OT，设GO＝GT＝x．
∵∠TOB＝∠TBO＝22.5°，
∴OT＝BTx，
∴xx＝2，
∴x＝22，
∴GO＝22，
∴AO＝AG﹣OG＝2+2（22）＝4．
解法二：直接证明△ACO≌△CCD，则AO＝DB＝2BG＝4．
14．解：∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC．
∴．
∵ED＝1.5m，CD＝1m，
∴．
设BC＝x m，则AB＝1.5x m，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴．
∵AB＝1.5x m，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴，
解得x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
答：灯柱AB的高度为12m．
15．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：△FAG为等腰三角形，理由如下：
∵AF⊥AE，
∴∠FAG+∠EAG＝90°，
由（1）知∠BCE＝∠BAE，
∵∠BCG+∠BGC＝90°，
∴∠BGC＝∠FAG，
∵∠BGC＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠AGF，
∴FG＝AF，
即△FAG为等腰三角形．
（3）解：∵AE＝AF＝4，
∴∠F＝∠AEF＝45°，EFAE＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AEG＝∠ABE，
∵∠GAE＝∠BAE，
∴△GAE∽△EAB，
∴，
∴AB AG＝16，
由（2）知，AF＝FG＝4，
∴EG＝EF﹣FG＝44，
∴∠AGF＝∠BGE，
∵∠F＝∠GBE，
∴△AFG∽△EBG，
∴，
∴AG BE＝AF EG＝1616，
∴．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠AGO＝∠CHO，∠OAG＝∠OCH，
∴△AOG≌△COH（AAS），
∴OG＝OH；
（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵PG∥AB，
∴，
由（1）知：OG＝OH，
∴，
∵∠AOD＝∠POH，
∴△AOD∽△POH，
∴∠OAD＝∠OPH，
∴PH∥AD；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD∥BC，BC＝AD，OA＝OC，OD＝OB，
∴△DEH∽△BCH，△AEP∽△CBP，
∴，，
∵DE＝2AE，
∴BC＝AD＝4AE，
∴，，
∴AP＝OP，
设DH＝BG＝3a，则BH＝4a，
∴AD＝BH+DH＝7a，
∴由（1）知：OG＝OH＝a，
∴PG＝PH，
∵∠GPH＝60°，
∴△PGH是等边三角形，
∴AP＝OPOH，
∴AC＝2OA＝4，
∴．
17.（1）解：①∵四边形EFGH是正方形，
∴HE∥DN，∠ENH＝∠DHE＝90°，HE＝EF＝x，
∵AD为△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADH＝90°，
∴四边形ENDH为矩形，
∴EH＝DN，
∴DN＝EF＝x，
∴AN＝40﹣x；
②∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥HG，
∴∠ANF＝∠ADC＝90°，
∵EF∥HG，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝24，
答：正方形的边长为24．
（2）①证明：∵正方形EFGH，
∴∠EHG＝∠FGH＝90°，EH＝FG，
∴∠EHB＝∠FGC＝90°，
∴∠B+∠BEH＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BEH＝∠C，
∴△BEH∽△FCG，
∴，
∴EH FG＝BH CG，
∵EH＝FG，
∴EH2＝BH CG；
②解：PQ2＝EP FQ．
理由：∵EP∥BH，
∴△AEP∽△ABH，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵GH2＝EH2＝BH CG，
∴PQ2＝EP FQ．
18.解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB10（cm）；
分两种情况讨论：
当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t cm，QC＝4t cm，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
解得，t＝1；
②当△BPO∽△BCA时，，
∴，
解得，；
∴△BPQ与△ABC相似时，t＝1或；
（2）∵△BPQ是轴对称图形，
∴△BPQ是等腰三角形，
①当PB＝PQ时，如图①﹣1，过P作PH⊥BQ，
则BHBQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5t cm，
∵PH⊥BQ，AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴，即，
解得：；
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：；
③当BQ＝PQ时，如图②﹣2，过Q作QG⊥AB于G，
则BGPBt cm，BQ＝（8﹣4t）cm，
∵∠QBG＝∠ABC，∠BGQ＝∠BCA＝90°，
∴△BGQ∽△BCA，
∴即，
解得：；
综上所述：△BPQ是轴对称图形时t的值为：或或；
（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图②：
则PB＝5t cm，PM＝3t cm，MC＝（8﹣4t）cm，
∵AQ⊥CP，
∴∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，
解得，
∴满足条件的t的值为．
19.解：（1）、、三点的坐标为、、，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
解得：，
．
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
时，的值最小，最小值为6；
（3）设，则．
如图，当点在线段上时，
，，
，，
，，
，
，
，
，
解得，
．
当点在的延长线上时，，，
，，
，
，
，
，
或，
，或，．
综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，．
20.（1）解：①点是为等边内一点，
是等边三角形，
，
点是为等边内一点，
，，
即，，
不可能是等边三角形，
与一定不相似，
等边三角形不存在“黄金点”，
故答案为：不存在；
②在中，，，
，
若，
则，，
此种情况不存在；
若，
则，，
即点在上，
与为内一矛盾，
此种情况不存在；
若，
则，，，
此种情况成立；
综上可知，，
故答案为：80；
（2）证明：连接，如图2，
在中，，，
设，
，
的中线、交于点，
，是的中位线，，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
点是的“黄金点”；
（3）解：若点是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，
，
点在的平分线上，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的长为．