2025届高三4月大联考（新课标卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知为直线，为平面，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z在复平面内对应的点为，则的共轭复数为
A．1 B． C． D．
4．已知向量，，，若，则
A． B． C．0 D．1
5．如图，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为
A． B．2 C．6 D．3
6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
7．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为
A．13 B．11
C．9 D．7
8．已知函数满足.若，，则
A．1 B．
C．5 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的有
A．若随机变量，则
B．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到2层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在内的概率越大
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为
10．已知函数，则下列说法正确的有
A．存在实数，使得的图象关于点对称
B．对任意的实数，恒有两个极值点
C．设为的极值点，则
D．当时，若（其中），则
11．已知椭圆，分别为的左、右焦点，分别为的左、右顶点，且定点， 是上的动点，则下列结论正确的有
A．存在点，使得
B．直线与的斜率乘积为定值
C．有最小值
D．的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则_________．
13．在中，，，，则_________．
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生的选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率.
选科情况 第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门
物理 化学 生物 历史 地理 政治
高一选科人数 80 70 35 20 35 60
高二选科人数 60 45 55 40 40 60
高三选科人数 50 40 60 40 40 70
（1）已知该校高一年级有400人，估计该校高一年级学生中选考历史的人数；
（2）现采用分层随机抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选考历史的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名学生参加知识问答比赛，求这2名参赛学生来自不同年级的概率；
（3）假设三个年级选择选考科目是相互独立的，为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三年级样本中各随机抽取1名学生进行调查，求这3名学生均选考物理的概率.
16．（15分）
如图①，在平面图形中，已知，，，，现将梯形沿着折起到空间一个新位置，使得，连接，得到几何体，如图②．
图① 图②
（1）求证：；
（2）试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
17．（15分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
18．（17分）
已知双曲线的左、右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.
（1）求的方程；
（2）证明：点在定直线上；
（3）记的面积分别为，若，求直线的方程.
19．（17分）
北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.已知数列为二阶等差数列，，其前项和为，数列满足，.
（1）求数列的前10项和；
（2）求；
（3）数列和的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明：.2025届高三4月大联考（新课标卷）
数学·全解全析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C B A A C D AD ABD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 【解析】由，得.由，得，
所以，，所以.故选A．
2．B 【解析】根据题意，易知当，时，由“”推不出“”，如图，
当时，垂直于平面内的所有直线，所以，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
3．C 【解析】由题意，得，所以，其共轭复数为i．
故选C．
4．B 【解析】因为，，所以.因为，，所以，解得．故选B．
5．A 【解析】设，则，因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，如图，在四边形中，过点作于点，则，所以，所以，解得.
连接，在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高，所以，所以，即该正四棱台的高为．
故选A．
6．A 【解析】当时，的取值范围是，当时，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的最大值为，且当趋于负无穷时，也趋于负无穷.因为函数的值域为，所以，解得．故选A．
7．C 【解析】函数，，为的零点，为图象的对称轴，，，且，，两式相减，得，，即，，且为奇数．在上单调，
（i）若在上单调递增，
则，即①，且，②，
由，得，．
当时，，，，，此时，当时，则在上不单调，不满足题意．
当时，，，，，此时，当时，，则在上单调递减，不满足题意．
当时，，，，，此时，当时，，则在上不单调，不满足题意．
（ii）若在上单调递减，则，即③，
且，④，
由，得，.
当时，同（i），知在上不单调，不满足题意．
当时，同（i），知在上单调递减，满足题意，
所以的最大值为9．故选C．
8．D 【解析】由题意，得，用代替，得，两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数，
所以．又，所以，所以，所以．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD 【解析】对于A，由，得，则，故A正确；
对于B，由题意，得总体均值为，若2层样本容量依次为m，n，则，当且仅当时，，故B错误；
对于C，越大，该物理量在一次测量中在内的概率越小，故C错误；
对于D，加入数据5后，平均数为，此时这5个数据的方差为，故D正确．故选AD．
10．ABD 【解析】对于A，当时，，则的图象关于点对称，故A正确；
对于B，，因为，所以有两个不相等的实数根，即恒有两个极值点，故B正确；
对于C，易知则，故C错误；
对于D，当时，由（其中），知，
即，所以，即，
所以，所以，故D正确．故选ABD．
11．BCD【解析】对于A，由，得长半轴长短半轴长半焦距，
设为的上顶点，则，所以，所以，故A错误；
对于B，设，则，且，得，
则为定值，故B正确；
对于C，由椭圆的定义，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，由点Q在外，设直线分别与相交于点（在线段上，在线段的延长线上），如图，则.
因为，且，
又，所以，
所以，故D正确．故选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 【解析】抛物线的准线方程为，因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为.由抛物线的定义，得．故填．
13． 【解析】设内角的对边分别为，由正弦定理及，得①.又，即②，由，解得.
由余弦定理，得，所以.故填．
14． 【解析】从9个灯区中随机先后按下两个不同灯区，共有种按法．
与相邻的灯区为，与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按下两个不同灯区．
①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法，故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．故填．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】（1）由题意，知样本中高一学生共有100人，其中选考历史的学生有20人，
故估计该校高一年级学生中选考历史的人数为．（4分）
（2）由表格数据，知应从高一、高二、高三选考历史的学生中分别抽取的人数为1，2，2，编号依次设为，，，，，
从这5名学生中随机抽取2名参加知识问答比赛，所有可能的结果为，，，，，，，，，，共10种，
设事件为“这2名参赛学生来自不同年级”，
则事件为“这2名参赛学生来自相同年级”，包含，，共2种结果，
所以事件发生的概率，即这2名参赛学生来自不同年级的概率为．
（8分）
（3）高一、高二、高三年级样本中选考物理的学生人数分别为80，60，50，
所以高一、高二、高三年级样本中选考物理的概率分别为，
所以从高一、高二、高三年级样本中各随机抽取1名学生进行调查，这3名学生均选考物理的概率为．（13分）
16．（15分）
【解析】（1）取的中点，连接，如图，
由题意，知，且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，又，所以，
又，，所以，所以，，
又，所以，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，得，又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以．（7分）
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，则即
令，则，得平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为，
则，解得或（舍去），
所以为线段的中点．（15分）
17．（15分）
【解析】（1）当时，的定义域是，，
令，得，解得，所以的单调递减区间是，
令，得，解得，所以的单调递增区间是，
综上，的单调递减区间是，单调递增区间是．（7分）
（2）对任意，恒成立，即恒成立．
因为，所以恒成立．
设，则，
令，得，（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，即，
所以，即实数的取值范围是．（15分）
18．（17分）
【解析】（1）设，因为的渐近线方程为，所以，
又，所以的方程为．（4分）
（2）由（1），知，设直线的方程为，
由消去，得，设，
则，所以，，
直线：，：，
联立，得，解得，
所以直线与的交点在定直线上．（10分）
（3）由（2），知，
则，即，
所以，解得，即，
所以直线的方程为或，即或．（17分）
19．（17分）
【解析】（1）在数列，，，…，中，，，，，
所以，
所以数列的前10项和为．（5分）
（2）数列的通项公式为，
在数列中，，，，，
所以．（9分）
（3）数列满足，则，又，
所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即，
由（2），知，
设数列中的第项等于数列中的第项，即，则是数列中的项．
因为不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以．（17分）
