通州区2025年高三年级模拟考试
数学试卷
2025年4月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集及交集运算即可求解.
【详解】由，可得或，
所以，
故选：B
2. 已知复数，则共轭复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由题意可得：，
则其共轭复数.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 在的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】通项公式，
令，得，
所以x的系数为，
故选：A
4. 已知等差数列满足：，且，则（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.
【详解】设公差为，
由，，
得，解得，
所以，
所以.
故选：D.
5. 已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A. 16 B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，
由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，
设，
联立方程，可得，解得，
由抛物线的定义可知，.
故选：C.
6. 若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解.
【详解】由于在圆上，圆心为，
要使关于直线的对称点在圆上，
则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合，
故选：D
7. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先判断充分性，即判断当时，是否成立；再判断必要性，即判断当时，是否成立．
【详解】设函数，其定义域为．
对求导，根据求导公式，可得．
因为，所以，则．
这表明函数在上单调递增．
当时，，即，移项可得．
所以由能推出，充分性成立．
当时，即．
因为，且在上单调递增，所以时，．
这说明当时，不一定有，必要性不成立．
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
8. 已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
，
令，则，
所以函数，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图：
设正四面体的棱长为，正三角形中，，
正四面体的高，
设,则中，
,
即,
解得即
则中，
故选：B
10. 已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A. 有最大值为 B. 有最大值为
C. 有最小值为 D. 有最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解.
【详解】设，
由得，故,因此，
故，
由于
，则，
则，
令，
故在上单调递增，由于，
故当在上恒成立，在上恒成立，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取到极小值也是最小值，因此
因此，
故由于恒成立，故，
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程即可求解.
【详解】双曲线的焦点在x轴上，，
所以渐近线方程为，
故答案为：
12. 在中，已知，，.则_______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解.
【详解】由正弦定理可得，故，
故,
故答案为：
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式，分别代入不同的时间或质量比值来求解相应的结果.
【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得：
，所以.
已知，即，两边同时除以可得.
因为，所以.
根据指数的性质，可得，解得.
故答案为：；.
14. 设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为_______；若有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】 ①. 1（答案不唯一）， ②.
【解析】
【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案.
【详解】因为，则时，，在上单调递增，
此时
时，，在上单调递增，此时，
故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，
结合，则，
故a的一个取值可为1；
时，，令，
则，解得或；
时，，令，
则，解得，
当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；
当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；
故实数a的取值范围是，
故答案为：1（答案不唯一），
15. 已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】选项A，用，代替验证①；取，即可求解方程的根判断②，根据题中条件，得出的范围，即可判断③正确；根据题意，可分析，时的情况，确定第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1，根据对称性，即可判定④.
【详解】将代入，整理得，所以曲线关于原点对称，
同理将代入方程整理后其方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；
取，则，故，
故（增根已舍去），因此②错误，
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为；故③正确；
令，可得，
令，
因为，
所以函数有两个零点，
又因为，，
所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线上当时，
同理当时，
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
所以第一象限内的面积应大于1；
由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故④正确.
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数
（1）若，求的值.
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：在区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
【答案】（1）
（2）选择条件①或③，.
【解析】
【分析】（1）利用得，再结合的范围即可；
（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不在值域范围内，故不存在解析式.
【小问1详解】
由题意可知，即，
因，则.
【小问2详解】
条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，
则在处取最小值，在处取最大值，
则，，
则，，
因，则，
则；
条件②：因，则不可能成立，故无解析式；
条件③：因，则在处取最大值，
又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，
则在处取最小值，
则，，
则，，
因，则，
则.
综上可知，若选择条件①或③，则；
若选择条件②，则不存在解析式.
17. 如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.
（1）证明：M为线段中点；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可结合正边形的性质求证，
（2）根据面面垂直的性质可得的补角即为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解.
【小问1详解】
由于平面，平面，平面平面,
故,又,故四边形为平行四边形，
故,由于，故,故M为线段中点，
【小问2详解】
过作于,过作于，连接,
由于平面与平面垂直,且交线为,平面，
故平面，
平面，故,
又，平面，
故平面
平面，故,
故的补角即为二面角的平面角，
由于故为的中点，则，
由于为等边三角形，为的中点，故,
在直角中，
故二面角的余弦值为
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）运用古典概型概率公式计算；
（2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可.
【小问1详解】
已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.
根据古典概型概率公式，所以.
【小问2详解】
（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.
根据二项分布概率公式可得：
，
， ，
，
，
列出分布列：
.
（ⅱ）确定服从分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.
求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.
比较大小：因为，，所以.
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率和即可结合的关系求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据中点坐标可得，进而可得以及，即可结合向量的数量积以及两点距离公式化简求解.
【小问1详解】
根据题意可知，解得，
故椭圆方程为
【小问2详解】
设直线，联立与的方程可得，
设，则,
故，故，
，
故直线的方程为，
联立与椭圆方程可得，解得,
在直线中，令，则，故,
故
，
故
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
（3）若有两个根，，写出a的范围并证明.
【答案】（1）增区间，减区间
（2）
（3），证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，判断导数正负得解；
（2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值；
（3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可.
【小问1详解】
由，
故当时，，当时，，
所以的单调增区间为，减区间为.
【小问2详解】
曲线在处的切线斜率，又，
所以其切线方程为，
令，得，则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以.
【小问3详解】
由（1），的单调增区间为，减区间为，且，，
当时，，当时，，
即时，，时，，
若有两个根，则，且，，
要证，即证，又在上单调递减，
即证，又，
即证在上恒成立，
又，即证，
两边取对数，原命题即证在上恒成立，
令，，
，
故在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，故得证.
21. 已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
（1）若数列，卷积核，求数列B.
（2）设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
（3）已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0 若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，理由解析
【解析】
【分析】（1）要算，从开始往后选三项与进行点积即可，
（2）方法一：由可知数列的首尾项相同，成对称结构，且，从一直递增到中间项，再对称地递减，要证明数列中最大的项就从中间项开始点积，即可求证，方法二：利用作差法即可证明.
（3）方法一：当为偶数时，存在数列:符合题意，当为奇数时，利用反证法求证得为常数列，产生矛盾得解.方法二：利用反证法即可证明.
【小问1详解】
,
,
所以数列
【小问2详解】
方法一：依题意有
当时，
由
又则，
即当时，，
当时，记，
由
即当时，，
综上可得：数列B中最大的项为.
方法二：由已知可得.
当时，，
因为>0,
所以
当时，，
因为<0,
所以
因为
所以
因为
所以
所以
所以当时，,
所以数列中最大的项为或或.
因
所以
因为
所以
所以
（与无法比较大小，假设，当时数列B的最大值为，
当时，数列B的最大值为；当时，数列B的最大值为.）
综上，数列中最大的项为或.
【小问3详解】
方法一：当为偶数时，取数列的通项，
此时对,有，
故当为偶数时，存在数列，使得数列的各项为0，
当为奇数时，设且，
下面用反证法证明不存在数列，使得数列的各项为0，
假设存在数列，使得数列的各项为0.为了更好地描述，我们记中不存在的，
则对任意的，有，
上式相减可得，即数列中的奇偶项分别为等差数列，
设，
且有,
进而
又由知，
故，
整理可得进而代入可得，
故，
则，
取，有，即，
故，
因为，故，
由知,故只能为的常数列，不符合题意，假设不成立，
综上，当为偶数时，存在数列:符合题意.
方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0，
此时可令
②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下：
假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0
因为
所以，，，…,，.
所以，，
，，.
所以,
所以,
所以
所以
因为
所以.
与不全为0矛盾.
假设不成立.通州区2025年高三年级模拟考试
数学试卷
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则共轭复数
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32 D. 40
4 已知等差数列满足：，且，则（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
5. 已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A. 16 B. 6 C. D. 4
6. 若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
10. 已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A. 有最大值为 B. 有最大值为
C. 有最小值为 D. 有最小值为
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为________.
12. 在中，已知，，.则_______.
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______.
14. 设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为_______；若有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
15. 已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数
（1）若，求的值.
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：在区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
17. 如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.
（1）证明：M为线段中点；
（2）求二面角余弦值.
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在点处切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
（3）若有两个根，，写出a的范围并证明.
21. 已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
（1）若数列，卷积核，求数列B.
（2）设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
（3）已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0 若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
