2024-2025学年人教A版数学必修第二册 6.4.3 第2课时 正弦定理 同步练习(含详解)

第六章　6.4　6.4.3　第2课时正弦定理
一、选择题
1．在三角形ABC中，a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝( )
A． B．
C．或 D．或
2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sin A＝( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则∠B＝( )
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不确定
6．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( )
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )
A．－ B．
C． －1 D． 1
8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
D．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
二、填空题
9．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为 　　.
10．(2023·上海高一检测)在△ABC中，若AB＝2，∠B＝，∠C＝，则BC＝　.
11．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为　.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为　.
13．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝　.
三、解答题
14．已知在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，求△ABC中其他边与角的大小．
15．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
第六章　6.4　6.4.3　第2课时正弦定理
一、选择题
1．A
　三角形ABC中，a＝4，b＝3，sin A＝，
由正弦定理得＝ ＝ sin B＝，
因为b故选A．
2．A
由已知，得＝×2××sin A，
∴sin A＝.
3．D
由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C．故△ABC为等边三角形，故选D．
4．C
　由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，
即sin Acos B－sin Bcos A＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，
整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，
据此可得cos A＝0，A＝，
则B＝π－A－C＝π－－＝.
故选C．
5．A
设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B．
6．D
由正弦定理，得c＝ ＝，∵B＝180°－30°－45°＝105°，
sin 105°＝sin (60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
∴S△ABC＝acsin B＝.
7．D
∵acos A＝bsin B，
∴sin Acos A＝sin 2B＝1－cos2B，
∴sin Acos A＋cos2B＝1.
8．C
　因为＝，所以sin B＝＝1，又0°sin B，且c>b，所以C>B，故有两解，故B错误；因＝，所以sin B＝＝又b故选C．
二、填空题
9． 2 cm　　.
　∵＝2R，
∴BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2(cm)．
10． 　.
　∵A＝π－B－C＝π－－＝.由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝.
11． 　.
　由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
12． 　.
　由sin B＋cos B＝，得
sin＝1，由B∈(0，π)，得B＝，
由正弦定理，＝，得sin A＝＝，又a13． 　.
　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A．
∴2sin Bcos B＝sin (A＋C)．
又A＋B＋C＝π，
∴A＋C＝π－B．
∴2sin Bcos B＝sin (π－B)＝sin B．
又sin B≠0，
∴cos B＝.
又∵0三、解答题
14．　∵A为锐角，bsin A＝6sin 30°＝3∴本题有两解，
∵sin B＝＝，∴B＝60°或120°，
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2；
综上，B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
15．
　(1)∵＝，＝，
∴sin C＝cos C．∴tan C＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵·＝||·||cos C＝ab＝4，∴ab＝8.
又∵a＋b＝6，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12，∴c＝2.
16．
　(1)由已知及正弦定理得，
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin (A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C．
又C为△ABC的内角，
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin C＝.又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7.
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.