2024-2025学年人教A版数学必修第二册 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习(含详解)

第六章6.4.3　第3课时余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．γ，c，α B．b，c，α
C．c，α，β D．b，α，γ
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A．20 m， m
B．10 m,20 m
C．10(－) m,20 m
D． m， m
3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度CD＝( )
A．300 m B．100 m
C．100 m D．300 m
4．(多选题)某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为( )
A． B．2
C．2 D．5
5．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为( )
A． B．
C． D．
6．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
7．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)( )
A．11.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
8．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为( )
A． km B． km
C．1.5 km D．2 km
二、填空题
9．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是　km.
10．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿___方向行驶 　海里至海岛C．
11．如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD＝300 m)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC＝___m.
12．如图所示，某次航展期间，一架表演机以300 km/h的速度在同一水平高度向正东方向飞行，地面上观众甲第一次观察到该表演机在北偏西60°方向，1 min后该表演机飞到北偏东75°方向，此时仰角为30°，则该表演机的飞行高度为　km.
13．某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 　米．
三、解答题
14．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
15．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
16．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
第六章6.4.3　第3课时余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．D
本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．
2．A
由题意知，h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．A
如图由题意得：∠BAC＝30°，∠HBC＝75°，AB＝600，
在△BCD中，∠CBD＝60°，
在△ABC中，∠ACB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理得：＝，即＝，
解得：BC＝300，
由于CD⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以CD⊥BC，
则CD＝BCtan 60°＝300×＝300(m)．
故选A．
4.AC
本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选AC．
5．B
在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
6．D
　设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x. 在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m.
7．B
本题考查正弦定理的实际应用．
∵AB＝1 000×＝(km)，
∴BC＝·sin 30°＝(km)．
∴航线离山顶的距离为×sin 75°＝×sin ≈11.4(km)．
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B．
8．A
在△ABC中，易知A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．
二、填空题
9． 　km.
如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得＝，
从而AC＝·＝(km)．
10．北偏东40°__ 10　
在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.
又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，
AC＝
＝10.
故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10海里到达海岛C．
11． _450__m.
依题意∠AMD＝45°，则AM＝MD＝300，∠CMA＝45°＋15°＝60°，∠CAB＝60°，
故∠MAC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°，
在△MAC中，由正弦定理得＝，即＝，
解得AC＝300，则BC＝ACsin 60°＝450.
故答案为450.
12． 　km.
如图所示，由AF⊥BC，则∠CAF＝60°，∠BAF＝75°，∠BAD＝30°，
又由四边形BCED为矩形，可得BC＝DE＝300×＝5，
且∠BAC＝∠CAF＋∠BAF＝60°＋75°＝135°，
在△ABC中，根据正弦定理可得＝，
即＝，解得AB＝＝5，
所以BD＝AB·tan∠BAD＝5tan 30°＝.
故答案为.
13． 150　米．
　令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，
由余弦定理得cos A＝＝＝，sin A＝＝，
过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD＝ACsin A＝400×＝150(米)．
故答案为150.
三、解答题
14．
在△ACD中，∠CAD＝60°，
AD＝＝CD．
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝＝CD＝1 000(m)．
15．
　设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
16．
　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.