2024-2025学年北师大版数学必修第二册 第4章 §2.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 同步练习(含详解)

第四章　§2　2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
一、选择题
1．cos－sin的值是(　　)
A．0 B．
C．－ D．2
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
3．若tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
4．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－
C．7 D．
5．已知sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，则sin(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
7．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)
A．＋ B．－
C．＋ D．－
8．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
9．(多选)下列式子结果为的是(　　)
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③；④.
A．① B．②
C．③ D．④
10．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．3
二、填空题
11．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则cos(α－β)＝_______________.
12．＝_________.
13．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为_________.
14．已知0<β<α<，sin αsin β＝，cos αcos β＝，则cos 2α＝_________.
15．在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝_________.
三、解答题
16．已知α∈，β∈，tan α＝，tan β＝.
(1)求α＋β的值；
(2)求sin(2α＋β)的值．
17．已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，
(1)求cos 2α的值；
(2)求角β－α的值．
18．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？
第四章　§2　2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
一、选择题
1．B
　cos－sin＝2＝2＝2sin＝2sin＝.
2．C
由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，∴△ABC是直角三角形．
3．A
　tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝1.
4．C
易知tan α＝－.tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7.
5．D
　因为sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，所以(sin α－cos β)2＝，(cos α＋sin β)2＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＝，cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＋cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以2－2sin αcos β＋2cos αsin β＝，2－2(sin αcos β－cos αsin β)＝，所以2－2sin(α－β)＝，解得sin(α－β)＝，故选D．
6．B
　由韦达定理得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝＝＝，又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
7．D
　tan α－tan β＝3，且α－β＝，则－＝＝＝＝3，整理得：cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，整理得sin αsin β＝－，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＋＝－.故选D．
8．BD
　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
9．ABC
　对于①，利用正切的变形公式可得原式＝；对于②，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.对于③，原式＝＝tan 60°＝.对于④，原式＝，故选ABC．
10．D
　∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2　①，∵tan(α＋β)＝＝，∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)　②，将②代入①得＝tan α－2，∴tan α＝＋2＝3.
二、填空题
11．　
　∵α，β均为锐角，∴cos α＝＝，sin β＝＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
12．　
　
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
13．　－2
　因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
14．　0
　已知sin αsin β＝，cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝，∵0<β<α<，∴0<α－β<，0<α＋β<π，则sin(α－β)＝＝，sin(α＋β)＝＝，则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝0.
15．　
　∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，又B＝A－，∴tan B＝tan＝，即tan B＝，∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，又B为三角形的内角，∴B＝.
三、解答题
16．
(1)tan(α＋β)＝＝1，∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
(2)由α∈，求得sin α＝，cos α＝，
∴sin(2α＋β)＝sin＝(sin α＋cos α)＝.
17．
　(1)由≤α≤得≤2α≤π，因sin 2α＝，则cos 2α＝－＝－＝－.
(2)又由π≤β≤知≤α＋β≤2π，因cos(α＋β)＝－，
则sin(α＋β)＝－＝－＝－，
由sin(β－α)＝sin [(α＋β)－2α]＝sin(α＋β)cos 2α－cos(α＋β)sin 2α
＝－×－×＝，
又因≤β－α≤，故β－α＝.
18．
存在α＝，β＝，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由①知：＋β＝，
∴tan＝＝，
由②知tantan β＝2－，
∴tan＋tan β＝3－，
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tan β＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入①，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使①②同时成立．