第四章 §2 2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
一、选择题
1.cos-sin的值是( )
A.0 B.
C.- D.2
2.在△ABC中,已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
3.若tan(α-β)=,tan β=,则tan α=( )
A.1 B.
C. D.
4.若sin α=,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值为( )
A. B.-
C.7 D.
5.已知sin α-cos β=-,cos α+sin β=,则sin(α-β)的值为( )
A.- B.-
C. D.
6.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为( )
A. B.-
C.或- D.-或
7.已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为( )
A.+ B.-
C.+ D.-
8.(多选)下列对等式sin(α+β)=sin α+sin β的描述正确的是( )
A.对任意的角α,β都成立
B.α=β=0时成立
C.只对有限个α,β的值成立
D.有无限个α,β的值使等式成立
9.(多选)下列式子结果为的是( )
①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°;②2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°);③;④.
A.① B.②
C.③ D.④
10.已知α+β=,且α、β满足(tan αtan β+2)+2tan α+3tan β=0,则tan α等于( )
A.- B.
C.- D.3
二、填空题
11.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则cos(α-β)=_______________.
12.=_________.
13.设tan α,tan β是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则tan(α+β)的值为_________.
14.已知0<β<α<,sin αsin β=,cos αcos β=,则cos 2α=_________.
15.在△ABC中,若sin Acos B=3sin Bcos A,B=A-,则B=_________.
三、解答题
16.已知α∈,β∈,tan α=,tan β=.
(1)求α+β的值;
(2)求sin(2α+β)的值.
17.已知≤α≤,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,
(1)求cos 2α的值;
(2)求角β-α的值.
18.是否存在锐角α和β,使得下列两式
①α+2β=π ②tantan β=2-同时成立?
第四章 §2 2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
一、选择题
1.B
cos-sin=2=2=2sin=2sin=.
2.C
由题设知sin [(A-B)+B]≥1,∴sin A≥1而sin A≤1,∴sin A=1,A=,∴△ABC是直角三角形.
3.A
tan α=tan [(α-β)+β]===1.
4.C
易知tan α=-.tan β=tan [(α+β)-α]====7.
5.D
因为sin α-cos β=-,cos α+sin β=,所以(sin α-cos β)2=,(cos α+sin β)2=,所以sin2α-2sin αcos β+cos 2β=,cos 2α+2cos αsin β+sin2β=,所以sin2α-2sin αcos β+cos 2β+cos 2α+2cos αsin β+sin2β=,所以2-2sin αcos β+2cos αsin β=,2-2(sin αcos β-cos αsin β)=,所以2-2sin(α-β)=,解得sin(α-β)=,故选D.
6.B
由韦达定理得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,∴tan(α+β)===,又-<α<,-<β<,且tan α<0,tan β<0,∴-π<α+β<0,∴α+β=-.
7.D
tan α-tan β=3,且α-β=,则-====3,整理得:cos αcos β=,则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,整理得sin αsin β=-,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-+=-.故选D.
8.BD
因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=sin α+sin β,所以cos β=1且cos α=1可使等式成立,所以α=β=2kπ(k∈Z),因为k∈Z,所以α,β有无限多个,包含α=β=0,故B,D成立.
9.ABC
对于①,利用正切的变形公式可得原式=;对于②,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=.对于③,原式==tan 60°=.对于④,原式=,故选ABC.
10.D
∵(tan αtan β+2)+2tan α+3tan β=0,∴tan αtan β+3(tan α+tan β)=tan α-2 ①,∵tan(α+β)==,∴3(tan α+tan β)=(1-tan αtan β) ②,将②代入①得=tan α-2,∴tan α=+2=3.
二、填空题
11.
∵α,β均为锐角,∴cos α==,sin β==,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
12.
=
=
==sin 30°=.
13. -2
因为tan α,tan β是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,所以tan α+tan β=4,tan α·tan β=3,tan(α+β)===-2.
14. 0
已知sin αsin β=,cos αcos β=,则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=,∵0<β<α<,∴0<α-β<,0<α+β<π,则sin(α-β)==,sin(α+β)==,则cos 2α=cos [(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=0.
15.
∵sin Acos B=3sin Bcos A,∴tan A=3tan B,又B=A-,∴tan B=tan=,即tan B=,∴3tan2B-2tan B+1=0,∴tan B=,又B为三角形的内角,∴B=.
三、解答题
16.
(1)tan(α+β)==1,∵α,β∈,
∴α+β∈(0,π),∴α+β=.
(2)由α∈,求得sin α=,cos α=,
∴sin(2α+β)=sin=(sin α+cos α)=.
17.
(1)由≤α≤得≤2α≤π,因sin 2α=,则cos 2α=-=-=-.
(2)又由π≤β≤知≤α+β≤2π,因cos(α+β)=-,
则sin(α+β)=-=-=-,
由sin(β-α)=sin [(α+β)-2α]=sin(α+β)cos 2α-cos(α+β)sin 2α
=-×-×=,
又因≤β-α≤,故β-α=.
18.
存在α=,β=,使①②同时成立.
假设存在符合题意的锐角α和β,
由①知:+β=,
∴tan==,
由②知tantan β=2-,
∴tan+tan β=3-,
∴tan,tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,
得x1=1,x2=2-.
∵0<α<,则0∴tan≠1,即tan=2-,tan β=1.
又∵0<β<,则β=,代入①,得α=,
∴存在锐角α=,β=,使①②同时成立.