2024-2025学年北师大版数学必修第二册 4.1 同角三角函数的基本关系 同步练习(含详解)

第四章　4.1同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　　)
A． B．－
C． D．－
2．化简的结果为(　　)
A．sin 220° B．cos 220°
C．－cos 220° D．－sin 220°
3．已知＝－，则＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
4．若α为第三象限角，则＋ 的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sin αcos α值为(　　)
A． B．
C．3 D．4
7．已知α∈，且sin＝，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
8．若＝2，则sin θ·cos θ＝(　　)
A．－ B．
C．± D．
9．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　)
A．＝2
B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
C．若tan x＝，则＝1
D．若sin α＝，则tan α＝2
10．(多选)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．＝sin α＋cos α
二、填空题
11．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝_________.
12．已知tan α＝cos α，那么sin α＝_________　　.
13．若＝1，则tan α的值为_________.
14．已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则sin α＝_________，tan α＝_________.
15．已知sin α＝sin β，cos α＝cos β，且0<α<π，则α＝_______________.
三、解答题
16．已知角α满足sin α－cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)若角α是第三象限角，f(α)＝，求f(α)的值．
17．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；
(2)求证：·＝1.
18．已知sin θ、cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos 2θ的值．
第四章　4.1同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．B
　∵α是第四象限角，∴sin α<0.
∵∴sin α＝－.
2．D
　＝|sin 220°|，又220°为第三象限角，所以sin 220°<0，故＝－sin 220°.
3．A
由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sin x)(1＋sin x)，得＝，所以＝－＝－＝.故选A．
4．B
∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴原式＝－－＝－3.
5．B
　(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．
6．B
由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，又sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝.
7．C
已知α∈，且sin＝，则α＋∈，则cos＝－＝－，则sin＝sin ＝cos＝－.故选C．
8．D
由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.
9．AB
A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D不正确，∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定．
10．BC
由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，所以A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，所以B，C正确，D错．
二、填空题
11．　60°
　∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝，cos A＝－2(舍去)，∴A＝60°.
12．　
　由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α≥0，所以sin α＝.
13．　3
＝1化为＝1，所以2tanα＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.
14．　　－1
由题意可得解得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－1.
15．　或
　两式平方相加得sin2α＋3cos 2α＝2sin2β＋2cos 2β＝2，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，则sin α＝±.因为0<α<π，所以sin α＝，故α＝或.
三、解答题
16．
　(1)由题意和同角三角函数基本关系式，
有
消去sin α得5cos 2α－cos α－2＝0，解得cos α＝或cos α＝－，由sin α－cos α＝－，两边平方得到sin αcos α>0，∴sin α与cos α同号，所以α为第一或第三象限，
当角α是第一象限角时，cos α＝，sin α＝，tan α＝，
当角α是第三象限角时，cos α＝－，sin α＝－，tan α＝2.
(2)由题意可得f(α)＝＝－cos α，因为角α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
17．
(1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
原式＝tan α＝tan α
＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)证明：·＝·
＝·＝＝＝1.
18．
　(1)因为sin θ、cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根，
由韦达定理得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
由(sin θ＋cos θ)2＝2，则1＋2sin θcos θ＝1＋m＝2，
所以m＝－；满足Δ≥0.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝；
(3)因为m＝－，所以sin θ＋cos θ＝①，sin θcos θ＝－，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝＝2，
因为θ∈，所以cos θ>0，sin θ<0，cos θ－sin θ＝②，
所以由①②可得cos θ＝，所以cos 2θ＝.