【基础练】人教版数学八年级下学期 18.2.3 正方形
一、选择题
1．（2024八下·天河期末）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是 的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，A不符合题意；
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，B不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，C符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、菱形的的判定、平行四边形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
3．（2024八下·花都期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BCD不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意得四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定方法即可求解.
4．（2024八下·中山期中）如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可．
5．（2015八下·六合期中）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
6．（2024八下·珠海期中）在正方形中，E是对角线上一点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可得，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出即可.
7．（2024八下·花都期末）如图，在中，．若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的定义及计算方法可得正方形和正方形的面积和为.
8．（2023八下·阳西期末）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，则BF的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质通过ASA判定，再通过全等三角形的性质得到BF的长.
9．（2024八下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A(-3，0)，B(1，b)，则正方形ABCD的面积为( )
A．34 B．25 C．20 D．16
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵ A(-3，0)，B(1，b) ，
∴AE=|-3-1|=4，OA=3，
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠AEB=∠AOD=90°，AD=AB，
∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAO=∠ABE，
在△DAO和△ABE中，
∴△DAO≌△ABE（AAS）
∴AE=DO=4，
在Rt△AOD中
AD2=AO2+OD2=32+42=25，
∴正方形ABCD的面积为25.
故答案为：B.
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，利用点A、B的坐标，可求出AE，OA，利用正方形的性质及余角的性质可证得∠DAO=∠ABE，利用AAS可证得△DAO≌△ABE，利用全等三角形的性质可求出DO的长，利用勾股定理求出AD2的值，即可得到正方形ABCD的面积.
10．（2024八下·荔湾期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故答案为：C．
【分析】先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用正方形的性质及面积可得，最后求出AB的值即可.
11．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
12．（2020八下·广州月考）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝4，
∴AD＝AB＝6，
∴DE＝ ＝2 ，
故PB+PE的最小值是2 ．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质求出PB＝PD，再根据勾股定理进行求解即可。
二、填空题
13．（2023八下·花都期末）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件 ，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：菱形构造成正方形，只需要添加“一个内角为90°”，或“对角线相等”即可.
故答案为：∠ABC=90°，或∠BCD=90°，或∠CDA=90°，或∠DAB=90°，或AC=BD.
【分析】正方形的判定方法中，由菱形构造的方法有两种：（1）有一个内角为90度的菱形为正方形；（2）对角线相等的菱形为正方形.
14．（2022八下·斗门期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点、连接CE，交BD于点F，若AD=BF，则∠DEF= °．
【答案】67.5
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠DBC=45°，
∵AD=BF，
∴BF=BC，
∴∠BCF=∠BFC=67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BCF=67.5°，
故答案为：67.5．
【分析】先证明BF=BC，求出∠BCF=∠BFC=67.5°，再利用AD//BC可得∠DEF=∠BCF=67.5°。
15．（2017八下·潮阳期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF= 度．
【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设∠BAE=x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB= （180°﹣∠BAE）=90°﹣ x°，
∠DAE=90°﹣x°，
∠AED=∠ADE= （180°﹣∠DAE）= [180°﹣（90°﹣x°）]=45°+ x°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED
=180°﹣（90°﹣ x°）﹣（45°+ x°）
=45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故答案为：45．
【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
16．（2024八下·越秀期中）如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为 度．
【答案】15
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，四边形ABDE是正方形，
∴AC=AB=AE，∠BAD=∠EAD=45°，∠CAB=60°，∠EAB=90°，
∴∠CAE=∠CAB+∠BAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF(SAS)，
∴∠ABF=∠AEF=15°.
故答案为15°.
【分析】
本题考查等边三角形的性质、正方形的性质和全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等；四个角都是90°，对角线平分对角，等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：AC=AB=AE，∠BAD=∠EAD=45°，∠CAB=60°，∠EAB=90°，再根据角的和差运算可知：∠CAE=∠CAB+∠BAE=150°，由三角形内角和定理可得：∠ACE=∠AEC=15°，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△AEF≌△ABF，由全等三角形的性质：对应角相等可得：∠ABF=∠AEF=15°，由此可得出答案.
17．（2024八下·珠海期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且若正方形边长为，，菱形的周长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AC=BD，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴BD=AC=8，
∴在正方形ABCD中，， ，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=AO-AE=4-2=2，
∴在Rt△BOE中，，
∵菱形BEDF的周长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于O，根据正方形的四条边都相等，对角线相等，四个角都是直角可得，AC=BD，∠ABC=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BD=AC=8，根据正方形的对角线垂直且互相平分可得AO=BO=4，AC⊥BD，求得OE=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，结合菱形的四条边都相等即可求解.
18．（2023八下·惠东期末）如图，在正方形中，点是边上一点，且，，点是边上的动点（与，不重合），则的最小值是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于点P1，
∴P1E=PE′，AE=AE′=2，
∴PE+P1C=PE′+P1C=CE′，此时PE+P1C的值最小，就是CE′的长；
∵BE=4，
∴AB=BC=AE+BE=2+4=6，
∴BE′=AB+AE′=6+2=8，
∴，
∴PE+PC的最小值为10
故答案为：10.
【分析】作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于点P1，可证得P1E=PE′，AE=AE′=2，由此可证得PE+P1C的值最小，就是CE′的长；利用已知可得到BE′的长，利用勾股定理求出CE′的长，即可得到PE+PC的最小值.
三、解答题
19．（2024八下·海珠期中）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“SAS”证出即可；
（2）先求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．（2024八下·江门期中）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由．
【答案】解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∴∠ABE=∠DAF．
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AF=BE．
（2）MP与NQ相等，
理由：作AF∥PM，BE∥NQ，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴AM∥FP，BN∥EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵（1）结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠ABE=∠DAF，再利用“ASA”证出△ABE≌△DAF，最后利用全等三角形的性质可得AF=BE；
（2）作AF∥PM，BE∥NQ，先证出四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AF=MP，BE=NQ，再结合MP⊥QN，可得BE⊥AF，再结合AF=BE，利用等量代换可得MP=NQ．
21．（2024八下·新会期中）如图，在中，的平分线交于点D，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）解：(1)四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形
平分
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解： ∵，
四边形是正方形
，
四边形的面积为∶．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定；正方形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义可得， 可得，即可证明平行四边形是菱形；
（2）由得四边形是正方形，根据对角线可得边长，代入正方形面积公式，计算求解即可.
22．（2024八下·中山期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE=AF.
（1）求证：BE⊥AF；
（2）如果正方形ABCD的边长为5，AE=2，点H为BF的中点，连接GH.求GH的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
在Rt和Rt中，
；
，
；
（2）解：，
点为BF的中点，
，
在Rt中，，
，
根据勾股定理，得
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠BAE=∠D=90°，AB=AD，利用HL可证得△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质可证得∠ABE=∠DAF，从而可推出∠BGF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得，利用已知可求出CF的长，利用勾股定理求出BF的长，即可等等GH的长.
23．（2024八下·珠海期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由；
（3）若，，则四边形的面积是________．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
（3）
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解∵，，，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形．
∴菱形的面积．
故答案为：24.
【分析】（1）先证出，可得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形；
（2）先证出，再结合四边形是菱形，即可证出菱形是正方形；
（3）先利用三角形的面积公式求出，再结合四边形是菱形，即可得到菱形的面积．
（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
（3）∵，，，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形．
∴菱形的面积．
1 / 1【基础练】人教版数学八年级下学期 18.2.3 正方形
一、选择题
1．（2024八下·天河期末）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是 的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
3．（2024八下·花都期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·中山期中）如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
5．（2015八下·六合期中）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
6．（2024八下·珠海期中）在正方形中，E是对角线上一点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·花都期末）如图，在中，．若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
8．（2023八下·阳西期末）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，则BF的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（2024八下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A(-3，0)，B(1，b)，则正方形ABCD的面积为( )
A．34 B．25 C．20 D．16
10．（2024八下·荔湾期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
12．（2020八下·广州月考）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．2
二、填空题
13．（2023八下·花都期末）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件 ，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件）
14．（2022八下·斗门期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点、连接CE，交BD于点F，若AD=BF，则∠DEF= °．
15．（2017八下·潮阳期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF= 度．
16．（2024八下·越秀期中）如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为 度．
17．（2024八下·珠海期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且若正方形边长为，，菱形的周长为 ．
18．（2023八下·惠东期末）如图，在正方形中，点是边上一点，且，，点是边上的动点（与，不重合），则的最小值是 ．
三、解答题
19．（2024八下·海珠期中）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
20．（2024八下·江门期中）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由．
21．（2024八下·新会期中）如图，在中，的平分线交于点D，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
22．（2024八下·中山期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE=AF.
（1）求证：BE⊥AF；
（2）如果正方形ABCD的边长为5，AE=2，点H为BF的中点，连接GH.求GH的长.
23．（2024八下·珠海期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当时，四边形是什么特殊的四边形？并说明理由；
（3）若，，则四边形的面积是________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，A不符合题意；
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，B不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，C符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、菱形的的判定、平行四边形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BCD不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意得四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定方法即可求解.
4．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可得，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的定义及计算方法可得正方形和正方形的面积和为.
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质通过ASA判定，再通过全等三角形的性质得到BF的长.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵ A(-3，0)，B(1，b) ，
∴AE=|-3-1|=4，OA=3，
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠AEB=∠AOD=90°，AD=AB，
∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAO=∠ABE，
在△DAO和△ABE中，
∴△DAO≌△ABE（AAS）
∴AE=DO=4，
在Rt△AOD中
AD2=AO2+OD2=32+42=25，
∴正方形ABCD的面积为25.
故答案为：B.
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，利用点A、B的坐标，可求出AE，OA，利用正方形的性质及余角的性质可证得∠DAO=∠ABE，利用AAS可证得△DAO≌△ABE，利用全等三角形的性质可求出DO的长，利用勾股定理求出AD2的值，即可得到正方形ABCD的面积.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故答案为：C．
【分析】先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用正方形的性质及面积可得，最后求出AB的值即可.
11．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝4，
∴AD＝AB＝6，
∴DE＝ ＝2 ，
故PB+PE的最小值是2 ．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质求出PB＝PD，再根据勾股定理进行求解即可。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：菱形构造成正方形，只需要添加“一个内角为90°”，或“对角线相等”即可.
故答案为：∠ABC=90°，或∠BCD=90°，或∠CDA=90°，或∠DAB=90°，或AC=BD.
【分析】正方形的判定方法中，由菱形构造的方法有两种：（1）有一个内角为90度的菱形为正方形；（2）对角线相等的菱形为正方形.
14．【答案】67.5
【知识点】角的运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠DBC=45°，
∵AD=BF，
∴BF=BC，
∴∠BCF=∠BFC=67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BCF=67.5°，
故答案为：67.5．
【分析】先证明BF=BC，求出∠BCF=∠BFC=67.5°，再利用AD//BC可得∠DEF=∠BCF=67.5°。
15．【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设∠BAE=x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB= （180°﹣∠BAE）=90°﹣ x°，
∠DAE=90°﹣x°，
∠AED=∠ADE= （180°﹣∠DAE）= [180°﹣（90°﹣x°）]=45°+ x°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED
=180°﹣（90°﹣ x°）﹣（45°+ x°）
=45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故答案为：45．
【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
16．【答案】15
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，四边形ABDE是正方形，
∴AC=AB=AE，∠BAD=∠EAD=45°，∠CAB=60°，∠EAB=90°，
∴∠CAE=∠CAB+∠BAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF(SAS)，
∴∠ABF=∠AEF=15°.
故答案为15°.
【分析】
本题考查等边三角形的性质、正方形的性质和全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等；四个角都是90°，对角线平分对角，等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：AC=AB=AE，∠BAD=∠EAD=45°，∠CAB=60°，∠EAB=90°，再根据角的和差运算可知：∠CAE=∠CAB+∠BAE=150°，由三角形内角和定理可得：∠ACE=∠AEC=15°，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△AEF≌△ABF，由全等三角形的性质：对应角相等可得：∠ABF=∠AEF=15°，由此可得出答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AC=BD，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴BD=AC=8，
∴在正方形ABCD中，， ，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=AO-AE=4-2=2，
∴在Rt△BOE中，，
∵菱形BEDF的周长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于O，根据正方形的四条边都相等，对角线相等，四个角都是直角可得，AC=BD，∠ABC=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BD=AC=8，根据正方形的对角线垂直且互相平分可得AO=BO=4，AC⊥BD，求得OE=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，结合菱形的四条边都相等即可求解.
18．【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于点P1，
∴P1E=PE′，AE=AE′=2，
∴PE+P1C=PE′+P1C=CE′，此时PE+P1C的值最小，就是CE′的长；
∵BE=4，
∴AB=BC=AE+BE=2+4=6，
∴BE′=AB+AE′=6+2=8，
∴，
∴PE+PC的最小值为10
故答案为：10.
【分析】作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于点P1，可证得P1E=PE′，AE=AE′=2，由此可证得PE+P1C的值最小，就是CE′的长；利用已知可得到BE′的长，利用勾股定理求出CE′的长，即可得到PE+PC的最小值.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“SAS”证出即可；
（2）先求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∴∠ABE=∠DAF．
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AF=BE．
（2）MP与NQ相等，
理由：作AF∥PM，BE∥NQ，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴AM∥FP，BN∥EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵（1）结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠ABE=∠DAF，再利用“ASA”证出△ABE≌△DAF，最后利用全等三角形的性质可得AF=BE；
（2）作AF∥PM，BE∥NQ，先证出四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AF=MP，BE=NQ，再结合MP⊥QN，可得BE⊥AF，再结合AF=BE，利用等量代换可得MP=NQ．
21．【答案】（1）解：(1)四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形
平分
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解： ∵，
四边形是正方形
，
四边形的面积为∶．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定；正方形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义可得， 可得，即可证明平行四边形是菱形；
（2）由得四边形是正方形，根据对角线可得边长，代入正方形面积公式，计算求解即可.
22．【答案】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
在Rt和Rt中，
；
，
；
（2）解：，
点为BF的中点，
，
在Rt中，，
，
根据勾股定理，得
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠BAE=∠D=90°，AB=AD，利用HL可证得△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质可证得∠ABE=∠DAF，从而可推出∠BGF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得，利用已知可求出CF的长，利用勾股定理求出BF的长，即可等等GH的长.
23．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
（3）
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解∵，，，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形．
∴菱形的面积．
故答案为：24.
【分析】（1）先证出，可得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形；
（2）先证出，再结合四边形是菱形，即可证出菱形是正方形；
（3）先利用三角形的面积公式求出，再结合四边形是菱形，即可得到菱形的面积．
（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
（3）∵，，，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形．
∴菱形的面积．
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