代数新定义问题常考考点 预测练 2025年中考数学三轮复习备考

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代数新定义问题常考考点 预测练
2025年中考数学三轮复习备考
一、单选题
1．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．两根之和为定值 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有两个不相等的实数根
3．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的伴随数：若，则；若，则．例：，．现有以下判断：①；②已知有理数，，且满足，则；③对任意有理数x，有或1；④方程的解只有，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（ ）
A． B． C． D．无解
5．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为（x、y是整式），所以M为“完全式”．若（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
6．对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
①代数式的“同心式”为；
②若与互为“同心式”，则的值为1；
③当时，无论x取何值时，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
④若A、B互为“同心式”，且，则有两个相等的实数根．
其中，正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（ ）
A． B．3或 C． D．或3
10．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图象的顶点坐标是；（2）当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；其中正确的结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①3，1，的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，，2的极数为；
④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论：
①；
② 若，则点P坐标为；
③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上；
④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”．
14．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为
15．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
16．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ．
17．定义，其中为常数，
①当时，若，则 ；
②若无解，则 ．
三、解答题
18．综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为　　　，点的“横负纵变点”为　　　；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标．
19．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
21．定义：关于自变量x的函数y，对于该函数图象上任意两点，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”．
【例题】证明：函数(x是任意实数)是“减函数”，
证明：设，则，
因为，所以，
所以，
所以，因此该函数是“减函数”．
(1)根据定义可以判断函数(x是任意实数)是“______函数”(填“增”或者“减”)；
(2)根据例题，请证明函数在自变量时是“增函数”；
(3)若函数在自变量时是“减函数”，直接写出常数k的取值范围是_______．
22．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　；
(2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
23．对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______；
①；②；③．
(2)已知函数与函数互为“融创函数”．
①求公共点的坐标；
②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点）
(3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C A C B D C
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查的是新定义运算、等式的性质、合并同类项、解一元一次方程，解题的关键是读懂题意．根据题中的运算法则，逐个进行计算即可．
【详解】解：①，故①正确；
②由有理数，得，，
由得，
∴，故②正确；
③当时，；
当时，，则；
当时，，则，
综上，对任意有理数x，有或1，故③正确；
④当时，，
由得，
解得，故④错误，
综上，正确的是①②③，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解分式方程；根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，，
∵，
∴，
去分母得，
解得：，
把代入得，，
∴原方程无解，
故选；D．
5．C
【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值．
【详解】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可．
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0，
所以点是的中点，
所以点表示的数是，
如图，当点在点右侧时，
则，即，
所以，则，
所以点表示的数是，
所以；
如图，当点在点左侧时，
则，即，
所以，则，
所以点表示的数是，
所以；
因为，
所以最长为；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值，解题的关键是理解题目中的新定义．
根据同心式的定义结合代数式和一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据同心式的定义：
①∵，
∴代数式的“同心式”不是；
故①是错误的；
②∵与互为“同心式”，
∴，
解得：，
∴，
故②是错误的；
③当时，且， ，
∴，，即与的值始终互为相反数，
故③是正确的；
④∵、互为“同心式”，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴有两个相等的实数根，
故④是正确的；
故选：B．
9．D
【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案．
【详解】解：在函数中，
当时，，
当时，，解得：，
函数与x轴交于，与y轴交于点，
其轴点函数经过点，
，；
，即，
其轴点函数与x轴的另一交点为，
，即，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，
或3，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】①当时，特征数为，
∴，，
∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确；
②当时，令，有，
解得，
∴，
∴，
∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确；
③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵当时，，即对称轴在直线右边，
∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
∴正确的有：①②共2个，
故选：C．
11．B
【分析】根据定义计算，，结合，可判断①正确；根据定义计算，
结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数，则或，故x和y中至少有1个数是负数，判定②正确；根据m，，2，计算得，，结合极数为，则或，解得或（舍去），故判定③错误；分，，1，，1，；，，1，，1，；1，，，1，，， 计算判断即可．
本题考查了新定义运算，分类思想，不等式的意义，熟练掌握新定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义计算，，结合，
故①正确；
根据定义计算，
结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数，
则或，
故x和y中至少有1个数是负数，
故②正确；
根据m，，2，计算得，，结合极数为，
则或，
解得或（舍去），
故③错误；
当，，1时，，极数为6；
当，1，时；，极数为2；
当，，1时，，极数为4；
当，1，时；，极数为；
当1，，时，，极数为4；
当1，，时， ，极数为6；
有4种不同的结果，
故④错误．
故选B．
12．C
【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④．
【详解】解：点坐标为和点坐标为，
，，
，故①正确；
，
点在轴上，设点的坐标为，
，
，
，
或，
点的坐标为或，故②错误；
设点的坐标为，
若，则，
，即：，
解得：或，
满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确；
，
，
，
当，时，，与轴交点为，与轴交点为；
当，时，，与轴交点为，与轴交点为；
当，时，，与轴交点为，与轴交点为；
当，时，，与轴交点为，与轴交点为；
在同一坐标系中画出它们的图象如图：
满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的位置关系，坐标系中三角形的面积问题，一次函数的应用以及新定义“关联值”的理解与应用．解题的关键是读懂“关联值”的定义，数形结合解决问题．
13．
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可．
【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：，
故答案为：
14．或
【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
先求出方程与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：∵方程与“交换系数方程”为或，
∴它们组成的方程组为或，
解得：或．
所以方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为或．
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键．
先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可．
【详解】解：，
解得：，
∵方程为“倍根方程”．
∴或者，
当时，，则，
当时，，则，
故答案为： 或．
17． /0.5 1
【分析】本题主要考查了新定义运算、解分式方程、一元一次不等式的应用等知识，理解新定义运算是解题关键．
（1）根据新定义运算，可得，求解并检验，即可获得答案；
（2）②根据题意，若无解，则有恒成立，然后分和两种情况，分别分析并求解即可．
【详解】解：①当时，若，
则有，解得，
经检验，是该分式方程的解，
所以；
②根据题意，，，
若无解，
则有恒成立，
当时，
可有恒成立，
所以，
所以，
所以；
当时，
可有恒成立，
所以，
所以，
所以．
综上所述，．
故答案为：①；②1．
18．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可得到答案；
（2）由题意得到，即可得到答案；
（3）根据题意得到，，进行化简即可．
【详解】（1）解：，故，
的“横负纵变点”为，
，故，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：；；
（2）解：，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，不等式的性质，熟练将所求的式子用一个字母表示是解题的关键．
（1）根据可得，可用表示，再将其代入所求式子即可；
（2）根据题意得到的取值范围，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
即，
得，即，
把代入①，可得，
可得，
；
（2）解：，解得：，
，解得：，
，
则，
，即．
20．(1)是矩形的“友好函数”
(2)①；②；③
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可；
分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键；
21．(1)增
(2)见解析
(3)
【分析】（1）仿照例题可得函数(x是任意实数)是“增函数”；
（2）运用例题的方法结合平方差证明即可；
（3）分当时和当时两种情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：函数(x是任意实数)是“增函数”，理由如下：
证明：设，则，
因为，所以，
所以，
所以，因此该函数是“增函数”．
故答案是：增；
（2）证明：设，则，
因为，所以，，
所以，
所以，因此该函数是“增函数”．
（3）由题意可知：“增函数”的函数值随着自变量的增大而增大，“减函数”的函数值随着自变量的增大而减小，
当时，，
同理可知：函数在自变量时是“减函数”，符合题意，
当时，函数在自变量时是“减函数”，
∴且对称轴，
解得：，
综上所述：常数k的取值范围是，
故答案为：．
22．(1)3，6
(2)真分式，，4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，的值为整数，
∴为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时， ，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
23．(1)①③
(2)① ②
(3)
【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可；
（2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可；
（3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果．
【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限，
直线与直线不平行，故有唯一点；
反比例函数的图象在一、三象限，
关于直线与反比例函数的图象有两个交点；
二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点，
与一次函数互为“融创函数”的是①③．
故答案为：①③；
（2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”，
则联立，
消去y得；，
则，解得，
故函数，令
解得
∴R的坐标为；
②将函数向左平移个单位得到函数．
联立函数与函数，
则，即，
解得：或，
当，则；当，则；
如图：
设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点，
函数与函数，
，
当时，，当时，，
则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个；
（3）解：函数与函数互为“融创函数”，
令，整理得：
则，即，
当，恒有，
点在函数顶点的右侧，即，
解得，
由，
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键．
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