几何新定义问题常考考点 预测练 2025年中考数学三轮复习备考

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几何新定义问题常考考点 预测练
2025年中考数学三轮复习备考
一、单选题
1．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
4．定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线．在中，，若过顶点B能画出两条相似线，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，的半径为1，A，B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”，若点A，B都在直线上，记线段到的“平移距离”为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为，记作．已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
8．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( )
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．例如：如图1，已知点在线段上，则点是直线轴的“伴随点”．如图，轴上方有一等边三角形轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线轴的“伴随点”，当点到轴的距离最小时，则等边三角形的边长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
11．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为（ ）

A．或 B．或
C．或或 D．或或
12．在平面直角坐标系中，对于已知的点，和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．以下说法正确的是　　
①若图形为线段，，，点是线段的“垂近点”；
②如图1，图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，则；
③如图2若图形为抛物线，以点为中心，边长为2的正方形，轴，轴，若正方形上存在“垂近点”，则的取值范围为：或．

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
13．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为： ．
14．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ．
15．新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 ．
16．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ．
三、解答题
17．感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
(1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数；
(2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”．
(3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．
18．【阅读理解】
定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，则的边的“中偏度值”为．
【尝试应用】
如图2，在中，，，，
（1）______，边上的高______；
（2）求的边的“中偏度值”；
【拓展延伸】
如图3，点A为直线上方一点，点A到直线的距离，点B在直线上，且，若点C在直线上，且，
（3）求的边的“中偏度值”．
19．[定义] 若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做对称四边形．
[理解] 下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
①平行四边形是一个对称四边形．（ ）
②对称四边形的面积等于对角线乘积的一半．（ ）
[应用] 如图，已知对称四边形，，，，P是上一点，于E，在的延长线上取一点F，使，连接，作的平分线交于G，于M，连接．
①求的度数．
②若以线段，，为边构成的三角形是直角三角形，求的值．
20．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示．
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在 （2）的条件下，
①取弧的中点，连接，若，求圆的半径．
②若，，请直接写出线段的最大值．
21．数学活动中，给出如下定义：如果三角形有一边上的中线等于这边长的2倍，那么我们称这个三角形为“奇异三角形”．如图1，在中，为边上的中线，若，则即为“奇异三角形”．
(1)如图2，在中，，，求证：是“奇异三角形”；
(2)如图3，已知线段直线l于点C，且，若直线l上存在一点B，使得是“奇异三角形”，求的长．
22．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
23．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
(1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上；
(2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形；
(3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D B D C C B B
题号 11 12
答案 D B
1．D
【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键．
由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直，
∴点A与点B的纵坐标都相同
，即，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意；
B、，原说法错误，不符合题意；
C、，原说法正确，符合题意；
D、，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】分两种情况：为顶角或为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值．
【详解】解：当为顶角时，
∵等腰中，，
∴底角，
∴特征值；
当为底角时，
∵等腰中，，
∴顶角为：，
∴特征值．
∴它的特征值等于或．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．
4．D
【分析】根据三角形内角和180度可以得出，三角形中一个角是锐角，若另一个相似角也是锐角，则从此角顶点不能画出相似线；若另一个角是直角，则从直角顶点只能画出一条相似线；若另一个角是钝角则从此角顶点可以画出两条相似线．
【详解】解：若是锐角，并且，从顶点B不能画出相似线，所以A、B排除；
若是直角，并且，从顶点B只能画出一条相似线，所以C排除；
若是钝角，并且，从顶点B可以画出两条相似线，所以D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似线概念，正确理解题目是解题关键．
5．B
【分析】如图，设直线交y轴于点D，交x轴于点C，则，，设交y轴于点，在y轴的左侧作等边，过点作于点A，求出的长，可得结论．
【详解】解：如图，设直线交y轴于点D，交x轴于点C，则，，
∴，，
∴，
∴，
设交y轴于点，在y轴的左侧作等边，过点作于点A，
∵，
∴，
∴线段到的“平移距离”的最小值，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．D
【分析】本题考查了轴坐标与图形变化——对称，线段“轴距”的定义等知识，分两种情况讨论：当，当，分别求出的值即可，理解新定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点，，
∴，关于直线的对称点，，
∵当，，
∴，
∴或（舍去）；
当，，
∴，
∴或（舍去），
综上可知的值为：或，
故选：．
7．C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键．
设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长．
【详解】解：设，
∵四边形是“邻等对补四边形”，，
，
，
，
，
即①，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
将①代入②，得：，
，
或，
由，解得：，
由，解得：(不合题意，舍去)，
故选：C．
8．C
【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可．
【详解】
解：如图，是抛物线的型点，
，
，
，
，，
通过的直线的解析式为：，
，
当有解时，才有是抛物线的型点，
即，
，
当时，是抛物线的型点，
故选：C．
【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，两函数解析式组成方程组，有交点就是方程组有解．
9．B
【分析】当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，再证明经过圆心，，分别求解，，，设的半径为，再分别表示、，，再利用勾股定理求解半径即可．
【详解】解：如图，当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，
，，
，过圆心，，
，，．
，
设的半径为，
，
，
，
，
整理得：，
解得，
，
不符合题意，舍去，
当等弦圆最大时，这个圆的半径为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用等知识．熟练掌握以上知识是解本题的关键．
10．B
【分析】本题考查了几何新定义，切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识， 理解新定义是解题的关键．当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解．
【详解】解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，

则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴等边三角形的边长为；
故选：B
11．D
【分析】由题意可知：“智慧三角形”是直角三角形，则或，设，则，，分两种情况：若；若，分别利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：“智慧三角形”是直角三角形，则或，
矩形的边，点在边上，
，，
，
，
，
设，则，，
，
若，在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：或，
或；
若，在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
综上所述，或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、坐标与图形，理解题意，得出“智慧三角形”是直角三角形是解此题的关键．
12．B
【分析】本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图象上点的特点，理解新定义、掌握函数图象上点的特点是解题的关键;
①依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足时，即可；
②线段上任意一点都是的“垂近点”，可知线段在是圆的弦，得到，解不等式即可；
③当点在轴右侧时，，如图1，当点与点重合时，，，则，即可求解；如图2，当点与点重合时，得到，即可求解；当点在轴的左侧时，，同理可解．
【详解】解：①当时，，是线段的“垂近点”，
故①正确，符合题意；
②线段上任意一点都是的“垂近点”，
线段在是圆的弦，
圆的半径是2，
；
，
故②正确符合题意；
③点是正方形的中心，可得正方形的边长为2，
，，，，
设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，，使得当时，，
当点在轴右侧时，，
如图1，当点与点重合时，，，
，
解得：或（舍，
如图2，当点与点重合时，，，
，解得：或（舍，
时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
当点在轴的左侧时，，
如图3，当点与点重合时，，，
，
解得：或（舍，
如图4，当点与点重合时，，，
，解得：或（舍，
时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
故③错误，不符合题意；
故选：B．
13．或或
【分析】本题主要考查了矩形的条件、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
先说明“美丽三角形”是直角三角形，然后分为斜边和直角边两种情况，分别运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，是的中线，且为“美丽三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴“智慧三角形”是直角三角形．
如图：当为斜边时，
设点，
∵，
∴，，
，
∵为“美丽三角形”，即直角三角形，
当时，
∴，
∴，解得：或，
∴点的坐标为或；
如图：当为直角边，时，，
∴，解得：；
∴
如图：当为直角边，时，点P不在边上，不符合题意．
故答案为：或或．
14．或
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论．
分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可．
【详解】解：如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点E，
设，
∴，
，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
（负舍），则，
∴
如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点F，
设，
由题意，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴
故答案为：或．
15．或
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由 ，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案.
【详解】如图，根据题意得：，
∴，
当时，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
，
即这个等边三角形的边长为：或，
故答案为：或．
16．或12
【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，

∴，
∴，
∴梯形的面积为；
如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，

∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴梯形的面积为；
如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，；
综上所述，它的面积为或12．
故答案为：或12
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．(1)，
(2)见解析
(3)存在；或
【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可；
（2）过点A作于点D，根据三角形面积求出，再根据勾股定理求出，证明，得出，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况：当时，当时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，
∴，
解得：，
∴它的两个锐角的度数为，．
（2）证明：过点A作于点D，如图所示：
∵的面积为15，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“类直角三角形”；
（3）解：当时，
∵，
∴，
过点D作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上分析可知：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
18．（1）， （2） （3）或
【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法．
（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中BC边上的高和该边上的中点到BC的距离，
（2）根据“中偏度值”的定义即可求解；
（3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）∵AE为斜边上的中线，
∴
，
，
则的边的“中偏度值”为；
（3）①当在外部时，作的中线， 如图，
，
，
，
∵为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则'的边的“中偏度值”为；
②当在内部时，作的中线，如图，
，
，，
，
∵为的中线，
，
，
即点到的距离为，
则的边的“中偏度值”为
综上所述，的边的“中偏度值”为或．
19．（1）①×；②√；
（2）①；② 或．
【分析】（1）①本题考查平行四边的性质根据平行四边形的性质判断即可得到答案；②根据轴对称图形的性质判断即可得到答案；
（2）①本题考查垂直平分线的性质与等腰三角形的三线合一，根据，，得到，从而得到，根据的平分线交于G得到，结合角度加减关系求解即可得到答案；②本题考查解直角三角形的应用，设，，先证表示出，分类讨论斜边，结合勾股定理及三角函数求解即可得到答案；
【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不一定垂直，故①的答案为：×；
②对称四边形的一条对角线被一条对角线互相平分，故对称四边形的面积等于对角线乘积的一半，故②的答案为：√；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于G，
∴，
∴；
②设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
（I）当以为斜边，
，
即，
∴或（不符合题意舍去），
此时：，，
∴；
（II）当以为斜边，
，
即，
∴或（不符合题意舍去），
此时：，，
∴；
（III）当以为斜边，
，
即，
∴（不符合题意舍去），
综上所述： 或．
20．(1)
(2)见解析
(3)①3②
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证；
（3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可；
②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角；
（3）①∵平分，平分，
∴平分，
∴，
∵是中的好望角，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴为圆的直径，
取的中点，连接，交于点，
∵是弧的中点，
∴，
∴，，，
∴，
设的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴的半径为；
②连接，
∵平分，平分，
∴是的好望角，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)或．
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．
（1）作边的中线，根据等腰三角形的性质得到，，求出，得到，即可得到结论；
（2）分两种情况：当时，当时；利用勾股定理分别计算求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图2，作边的中线，
，
，
，
，
，
∴在中，由勾股定理得，
，
是“奇异三角形”．
（2）解：，
，
①如图3，作的中线，是“奇异三角形”，
当时，
，
，，
在中，由勾股定理得
；
②如图，作的中线，是“奇异三角形”，
，
，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
，
综上所述，的长为或．
22．(1)
(2)①，②证明见解析．
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案．
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长．
②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，．
（3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到．
【详解】（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)4或7或
【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据题意利用网格特点做出图形即可；
（2）连接，证明，则，即可得到结论；
（3）分四种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
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