操作探究问题常考考点 预测练 2025年中考数学三轮复习备考

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操作探究问题常考考点 预测练
2025年中考数学三轮复习备考
一、单选题
1．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿折叠成图（2），再第二次沿折叠成图（3），继续第三次沿折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．通过动手操作，小明同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图①所示的正方形．并在数轴上表示出无理数，如图②，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（ ）
A． B． C． D．3
5．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
7．如图，等边三角形中，点O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将顺时针旋转得到；第二次，以A为旋转中心，将顺时针旋转得到……②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点的反比例函数的表达式为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，点是外一定点，连接线段，与交于点．按照如下尺规作图的步骤进行操作：①分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点；②以点为圆心，以为半径作，与交于点，两点；③连接，，，，，线段与相交于点．则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．，均为与的切线 B．
C． D．
9．给定，现进行如下操作：
①如图（1）所示，分别以点A、为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧两个交点的线段交于点，连接；
②如图（2）所示，取上一点，连接交于，并使得能平分；
③过点作的平行线交于点，作交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．为重心 B．与均可平分
C． D．
10．如图，甲同学将按照下面方式操作：
第一步，将绕点逆时针旋转，得到；第二步，过作，交的延长线于点；第三步，作直线，交，分别于点，．
甲同学根据操作，写出了四个结论：
①；②；③是的中线；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②④
11．在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形(图2，图3中的空白部分)，将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知，，则等于（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，点为边上一动点（不与、重合），进行下列操作：
①在上取一点，以为圆心，为半径作弧交于，连接；
②分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，过作于（点在线段上）；
③分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于，两点，连接，设交于点．
下列说法正确的是（ ）
A．随着点的运动，点不能一直存在于上
B．点为的外心
C．四点不一定同时在一个圆上
D．当点为中点时，点为上靠近的三等分点
二、填空题
13．如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
14．在综合实践课上，小聪用一张长为4，宽为x（）的长方形纸片进行操作探究，先从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则
（1）第一次操作后，剩余长方形的两边长分别为 ， ．（用含x的代数式表示）
（2）宽x的值为 ．
15．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论：
①第3次操作后得到的分式可化为．
②第4次操作后的分式可化为．
③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个．
④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且．
以上四个结论中正确的有 ．（只填写序号）
16．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：

(1)若，则的值为 ；
(2)若点恰好为的中点，则的值为 ．
三、解答题
17．图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
18．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：
表1
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
(1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
(2)【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
(3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
19．根据以下素材，完成三个任务：
以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．
素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且．
素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．
素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：．
【问题解决】
【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长；
【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；
【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分．
20．折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
（1）如图（1），在矩形中，把矩形折叠，使与重合，与重合，展平纸片得到折痕，再第二次折叠，点落在上点，展平纸片得到折痕，连接，，则等于　　
A． B． C． D．
【深入探究】
（2）如图（2），是矩形边上一点，把矩形折叠，使与重合，展平纸片得到折痕；第二次折叠，点落在上的点 ，落在点 ，展平纸片得到折痕，连接，，，写出与的数量关系，并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图（3），正方形中，是射线上一点，点与点是对称点，是对称轴．点与点 是对称点，是对称轴，点关于的对称点为点 ，连接 ，，，，当时，直接写出的长．
21．【动手操作】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤：
①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为；
②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点．
线段与的数量关系为________，其理由为：________；
【问题探究】
通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式；
【拓展延伸】
若点（为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标．
22．综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间的数量关系．如图1，在中，，，为的中点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，点的对应点分别为．连接分别为的中点，连接．
操作发现：
（1）创新小组将旋转至点与点B重合的位置，如图2．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②用等式表示与之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：
（2）智慧小组继续探索，当时，若，请直接写出的值．
23．数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在边上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接、．
根据以上操作，如图1，当点M在上时，连接，判断的形状并证明．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，且边长为，继续探究，过程如下：
①将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．如图2，当点M在上时，求的长；
②点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，的长为____．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C D D C B C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
的取值范围是．
故选：C．
2．D
【分析】设，则，根据题意可知，折叠11次后恰好完全盖住，可得CF与GF重合，再依据平行线的性质，即可得到的度数．
【详解】解：设，则，
折叠11次后与重合，
，
如图（2），，
，
，
，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质找出相等的边角关系是解题关键．
3．D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据题意，得到数轴上圆的半径为，再根据两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知，数轴上圆的半径为，
∴点到的距离为，
∴点表示的数为；
故选D．
4．C
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：由折叠可得，，，
∴，
，，
∵，
∴
中，，
，
∵矩形纸片，，，
中，，
∵，
，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意，根据所给信息逐个求出，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解．
【详解】解：由题意，∵，
∴，故①错误．
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴，即，故②正确．
∵，
又若整数x使得为整数，
∴．
∴此时，为15．
∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确．
综上，正确的有②③共2个．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理，设，由矩形的性质得出，根据正方形的性质和折叠性质可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．根据折叠性质表示出的长是解题关键．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，
∴，
在中，，
∴，
解得：，即．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查的是旋转的性质、等边三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式，先根据旋转及等边三角形性质求出，用待定系数法求出反比例函数表达式即可．
【详解】解：等边三角形中，，将顺时针旋转，
旋转次后，点B落在x轴上，且，
第8次后点O落在x轴上，且，
依此类推，
第12次后点A落在x轴上，且，
第16次后点B落在x轴上，且，
第20次后点O落在x轴上，且，
再以为旋转中心，将顺时针旋转时，
此时轴，
，
，
设经过的反比例函数表达式为，
则，
，
故选：D ．

8．C
【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意；
根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断，根据、、、在上，运用圆内接四边形可判断，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断，根据圆周角定理可判断；
【详解】解：根据作图可得：为的直径，、、、在上，
是的半径，
，均为的切线，故正确；
、、、在上，
、、、四点共圆，是的内接四边形，
，故正确；
由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦，
，
，故正确；
∵的半径不一定等于的半径，
∴不一定等于，
∴不一定等于，故不一定正确；
故选：．
9．B
【分析】本题主要考查了尺规作图、平行线等分线段定理、重心、相似三角形的判定与性质等知识点，弄清各线段、面积间的关系成为解题的关键．
①由作法可知：所作的是线段的垂直平分线，为中线；②由能平分，则点P为的中点，即为中线；然后再根据重心、平行线等分线段定理、三角形的面积等知识逐步分析即可解答．
【详解】解：．①由作法可知：所作的是线段的垂直平分线，为中线；
②由能平分，则点P为的中点，即为中线；
则中线和中线的交点G为重心，即A正确，不符合题意；
由重心的性质可得，
∵ ，
∴，
∴；
同理：；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D选项正确；
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∴，即C选项正确，不符合题意；
只有B不能推出，得不到与均可平分．
故选B．
10．C
【分析】本题综合考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点．利用旋转的性质结合三角形的性质求得，即可判断①和③；证明四边形是矩形，推出和，即可判断②；利用勾股定理计算出和和，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转的性质得，，，，
∴，，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，结论③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，结论②正确；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，结论④错误，
故选：C．
11．D
【分析】过点作于，交的延长线于，由勾股定理可得，由图2可知：，由面积法可得，从而得到，由矩形的判定可得四边形是矩形，从而得到，最后由勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，
，
，，，
，
由图2可知：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
12．B
【分析】根据题意得：直线是的垂直平分线，是的垂直平分线，是的角平分线，当点分别与点、点重合时，点都存在于上，通过证明，即可判断，从而判断A选项；通过证明垂直平分，根据直线是的垂直平分线，点是直线和直线的交点，从而判断B选项；根据对角互补的四边形四点共圆即可判断C选项；当点为中点时，延长并交的延长线于点，设，则，求出，，设，则，用两种方式表示的面积，利用等面积法，即可求出的值，判断D选项．
【详解】解：根据题意得：，，直线是的垂直平分线，
、在线段的垂直平分线上，
即是的垂直平分线，
考虑两个极端情况，当点与点重合时，示意图如下：
此时、、三点重合，点存在于上，
当点与点重合时，示意图如下：
此时点存在于上，
连接，设和相交于点，
等腰三角形中，
，四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，，
，
随着点的运动，点一直存在于上，故选项错误，不符合题意；
由，，
点、在的垂直平分线上，
即垂直平分，
又直线是的垂直平分线，点是直线和直线的交点，
点为的外心，故选项正确，符合题意；
由上可知，，
，
，
、、、四点共圆，故C选项错误，不符合题意；
当点为中点时，如图所示，延长并交的延长线于点，
设，则，
，
，
，
，
，
设，则，
，
即，
解得，即，，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题是一道几何综合题，结合尺规作图，考查了角平分线和垂直平分线的判定和性质、三角形的外心、对角互补四边形的四点共圆、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加合适的辅助线是解题的关键．
13．乙槽
【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽．
本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键．
【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽．
故答案为：乙槽．
14． 或3
【分析】根据第一次操作是用较长边减去较短边可得；再表示出第二次操作后的两边，再分两种情况，根据第三次操作后剩下的是正方形列出方程，解之即可．
【详解】解：第一次操作后，
剩余长方形的两边长分别为：，；
第二次操作后，
剩余长方形的两边长分别为：，；
若，即，
则第三次操作后，
剩余长方形的两边长分别为：，，
则，
解得：；
若，即，
则第三次操作后，
剩余长方形的两边长分别为：，，
则，
解得：；
综上：宽x的值为或3，
故答案为：，；或3．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论，列出方程．
15．①②④
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论．
【详解】解：第3次操作后得到的分式为，
，故①正确；
第4次操作后得到的分式为，
，故②正确；
第5次操作后得到的分式为，
，
又第5次操作后得到的分式可以化为整数，
是20的因数，
，
，
又a为正整数，
，
a的正整数值共有9个，故③不正确；
经过n次操作后得到的分式为，
由题意得，，
整理得：且，
，，
，
，
又a为正整数，
，
为正整数，
是9的倍数，
或，
当时，，此时，舍去；
当时，，此时；
满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
16． /0.5
【分析】（1）根据折叠可得，由已知可得，进而可得，证，，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
（2）连接，证，可设，；进而可用表示出、的长，根据折叠的性质知，即可得到的表达式，由可知，那么，由此可求出的表达式，进而可在中，根据勾股定理求出、的比例关系，即可得到的值．
【详解】解：（1）连接

根据翻折变换的性质得，
，，，
，
，
∵折叠，
∴
又，
∴
∴，
∴
∴，
在中，
∴
∴
∴
即，
故答案为：．
（2）连接

根据翻折变换的性质得，
，，，
，
，
设，，则有，
，
，，
，
在中，，即
，
.
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的折叠，翻转变换的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识．
17．（1）；（2）①见解析，②理由见解析，；（3）
【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，由三角形的面积可得出答案；
（2）①按题意画出图形；②证明，得出设，则，，由勾股定理得出答案；
（3）由勾股定理得出答案．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
，
；
（2）①尺规作图如图所示，
②平分，，，
，
又，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
18．(1)；
(2)
(3)40分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把代入求解即可；
（3）假设充电充了t分钟，应增加电量：，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得解得
∴函数解析式为：，
将，代入得，解得
∴函数解析式为：；
（2）由（1）得：
∴当时，，
∴未充电前电量显示为40%，
（3）假设充电充了t分钟，应增加电量：，
出发时电量为，
走完剩余路程应耗电量为：，依题意可得：，
解得，
答：电动汽车在服务区充电40分钟．
19．任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，②，③，②，图案见解析；任务3：图见解析：．
【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键．
任务1：根据矩形的周长公式求解；
任务2：根据完全平方公式求解；
任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键．
【详解】解：任务1：如图所示：
周长为：；
任务2：如图所示：
，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片；
如图所示：
，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片；
如图所示：
，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片；
如图所示：
，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；
任务3：如图所示：
．
20．（1）B；（2），见解析；（3）或
【分析】（1）由折叠知，继而是等边三角形，则，而，即可求解；
（2）连接与交于点O，由轴对称可知点O在折痕上，是的垂直平分线，则，因此，由，，得到，故，再根据即可求证．；
（3）当点P在边上时，连接，由折叠知是的垂直平分线，则，可求，设，则，，由勾股定理得，则，解得，因此；当点P在线段延长线上，同上可求．
【详解】（）解：由折叠的性质可知：，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：B；
（）解：，
连接与交于点O，由轴对称可知点O在折痕上，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的对称轴，
∴，，
∴
∴，
∵四边形是矩形，
∴，而，
∴，
∴
∴，
∴，
（）当点P在边上时，连接，如图：
由折叠知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，而，
∴，
设，则，，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∵是的对称轴，
∴
∴；
当点P在线段延长线上，如图：
设，同上可求，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，折叠的性质，矩形，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确条件辅助线是解题的关键．
21．[动手操作]图见解析；，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；[问题探究]；[拓展延伸]
【分析】本题考查了确定一次函数和二次函数的解析式，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
[动手操作]
①按要求作图；
②根据垂直平分的性质得出结果；
[问题探究]
根据列出，进而得出结果；
[拓展延伸]
由得出，从而得出点在该直线上运动，设点，可得出的长等于点到轴的距离，作点关于直线的对称点，点，点，点的横坐标相同时，此时的周长最小，进一步得出结果．
【详解】[动手操作]
解：如图1，
根据题意可得，理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，
故答案为：；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
[问题探究]
解：由可得，即，
可得，
；
[拓展延伸]解：如图，
由，
可得，即经过点的直线解析式为，
设其与轴，轴分别交于点，，
当时，，
当时，，
，
，，
，
，
设点，
，
，
作点关于直线的对称点，点，点与点的横坐标相同时，此时的周长最小，
作轴于点，连接，
点关于直线的对称点，
，，
，
，
，
，
当时，，
．
22．（1）①四边形是菱形，见解析；②，见解析；（2）或
【分析】（1）①如图1，连接．根据直角三角形的性质和三角形内角和定理得出，，，，得出，证明是等边三角形，得出，由旋转的性质，得，即可得，证出，结合，即可证明四边形是菱形．
②证明，得出，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得，在中，，根据等边三角形的性质得出，证明，在中，解直角三角形得出，即可证出．
（2）如图2，分为当点在点上方时，和当点在点下方时，画出图形，连接，过点作于点．根据解直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）①四边形是菱形．
理由：如图1，连接．
∵在中，，P为的中点，
，，，，
，
是等边三角形，
，
由旋转的性质，得，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
②．
证明：，
，
，
，M为的中点，
，
，
，
，
在中，，
是等边三角形，为的中点，
，
，
在中，，
．
（2）如图2，当点在点上方时，连接，过点作于点．
∵，根据直角三角形三边的关系得出，
根据（1）的，
∴，
由②得，
则，
∴，
；
当点在点下方时，
同理可求得，
；
的值为或．
【点睛】该题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是正确作出图形，并掌握以上知识点．
23．(1)是等边三角形；
(2)①②或
【分析】（1）根据折叠性质可得，，再结合矩形的性质可求，即可证明；
（2）①根据第一问中，可求，，从而求出，即可求出答案；
②分两种情况，当点G落在上时，根据面积公式得出，再结合；当点G落在上时，连接交于点O，过点M作，利用全等三角形的判定和性质及正方形的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
由折叠性质可得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：①∵四边形是正方形，且边长为，
由（1）得：，，
∴，，
∴，
由题意可得：，
∴，
由（1）得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
∴
②当点G落在上时，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠性质可得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长是，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点G落在上时，连接交于点O，过点M作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
；
综上可得：的长为或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，勾股定理解直角三角形，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握相关性质，进行分类，并正确求解．
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