第十九章 一次函数 章末综合测试题 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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第十九章 一次函数 章末综合测试题
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．已知是关于的正比例函数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
2．下列函数中，是的一次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．已知点，是正比例函数图象上的两点，则b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
5．若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
6．如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）
A． B． C． D．或
7．定义一种运算：则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）

A． B． C． D．
9．如图1，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
10．已知一次函数的图象经过点，且函数值的值随自变量的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 ．
11．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数有 ，正比例函数有 ．（请填写序号）
12．如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为 ；

13．若点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
14．直线与轴的交点坐标是 ．
15．某书定价25元,如果一次购买20本以上,超过20本的部分打八折,试写出付款金额y(单位:元)与购书数量x(单位:本)之间的关系: .
16．在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．

17．科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强（千帕）随温度变化的函数解析式是，其图象如图所示，当压强为千帕时，则上述气体的温度是

18．关于函数和函数，有以下结论：
①当时，的取值范围是
②随x的增大而增大
③函数的图像与函数的图像的交点一定在第一象限
④若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．已知是的一次函数，当时，；当时，．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当为何值时，？
20．在平面直角坐标系内有三点A( 1，4)、B( 3，2)、C(0，6)．
(1)求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
(2)判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
21．已知y与成正比例，当时，，求：
(1)y与x的函数解析式；
(2)当时，求x的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点和．在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
23．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
24．如图，直线经过点和点，直线经过点．
(1)求的值和一次函数的解析式；
(2)根据函数图象可得，不等式的解集为_______．
25．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业发展．银川某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，则需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，则需要600元；
(1)A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)该茶具店老板计划用不超过1800元的资金购进A，B两种茶具共20套，A，B两种茶具的每套售价分别为230元和160元．若这两种茶具全部售出，则该茶具店老板应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
26．民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元．
购买这种新产品千克，所需费用为元，与之间的函数关系如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
(1)请求出两种销售模式对应的函数解析式；
(2)说明图中点坐标的实际意义；
(3)若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
27．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往黄山游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程关于的函数图象如图②所示，已知甲出发后追上乙．
(1)点B的坐标为________，点C表示的实际意义是________；
(2)求的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(3)若用表示乙距出发点的路程s与x之间的关系，请在图②中画出的图象．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B D B A A A A C
1．B
【分析】根据正比例函数的定义，指数为1，系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于的正比例函数，
∴且，
解得m=-1，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
2．B
【分析】本题考查了一次函数，一般地，形如（，是常数）的函数是一次函数，根据一次函数的定义即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：是的一次函数的有：①，④，共个，
故选：．
3．D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B，
则，，
∵，
∴，
当取横坐标为正数时，同理可得，
综上所述，
故选：D

【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
4．B
【分析】根据正比例函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：正比例函数解析式为，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质、比较函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题．联立两函数解析式可求出两直线的交点坐标，再根据两直线的交点在第三象限，可求出的取值范围．
【详解】解：联立得：，
解得：，
∴两直线的交点坐标为，
∵两直线的交点在第三象限，
∴，解得：．
故选：A
6．A
【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，
∴观察图像可知解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．
7．A
【分析】根据，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．
【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，
∴当x≤4时，（x+2）（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，
即：y=3，
当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5，
即：y=2x-5，
∵k=2＞0，
∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，
综上所述，只A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
8．A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
9．C
【分析】分点在上，上两种情况结合图象进行分析求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，
∴当点在边上运动时，的值不变，
由图象可知，当时，点与点重合，
∵速度为，时间为，
∴，即矩形的长是，
当点在上运动时，逐渐减小，
由图象可知：点从点运动到点共用了，
∴，
在中，，
∴，
解得．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查动点的函数图象．解题的关键是通过图象确定动点的位置．
10．y=x+2（答案不唯一）
【详解】设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵y的值随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k可以为1，即y=x+b，
把点（1，3）代入得3=1+b，
解得：b=2，
∴符合条件的关系式为：y=x+2，
故答案为：y=x+2（答案不唯一）
11． ①④/④① ①
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键．形如（为常数，）的函数是一次函数，形如（为常数，）的函数是正比例函数，据此求解即可．
【详解】解：①是正比例函数，是一次函数；
②不是一次函数；
③不是一次函数；
④是一次函数；
因此，一次函数有：①④，正比例函数有①．
故答案为：①④，①．
12．
【分析】根据直线与直线交于点得到，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可解答．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴关于的方程的解，
故答案为．
【点睛】本题考查了求一次函数的自变量或函数值，一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
13．2027
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
由点在函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：2027．
14．（0，）
【分析】直接令，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，
令，则，
∴直线与轴的交点坐标是（0，）；
故答案为：（0，）；
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点特征进行解题．
15．
【分析】本题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
y=，
整理得：y=；
故答案为y=．
16．5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．
【详解】解：设过，则有：
，解得：，则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
17．
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数关系式，再把代入解析式，即可求出气体温度．
【详解】解：由函数图象可知，函数的图象过点、，
，
解得：，
所求的函数关系式是，
当时，，
解得：，
即当压强为千帕时，气体的温度是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法确定函数的解析式是解题关键．
18．①④
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可．
【详解】解：①当x＝0时，y1＝ 1，当x＝1时，y1＝1，而一次函数y1＝2x 1，y随x的增大而增大，所以 1＜y1＜1，所以①正确；
②一次函数y2＝ x＋m（m＞0），y随x的增大而减小，因此②不正确；
③联立，解得，则函数y1的图像与函数y2的图像的交点坐标为（），当0＜m＜时，，此时交点在第四象限，所以③不正确；
④若点（a， 2）在函数y1图像上，(b，)在函数y2图像上，则2a 1＝ 2， b＋m，即，b＝m ，当m＞0时，，即b＞a，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的图像和性质，掌握一次函数的图像和性质是正确解答的前提．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，
把代入，得：
，解得
．
（2）解：当时，
，解得：．
20．(1)直线AB的解析式y=x+5；
(2)点A、B、C三点不在同一条直线上，理由见解析
【分析】（1）根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式；
（2）把C的坐标代入看是否符合解析式即可判定．
【详解】（1）解：设A( 1，4)、B( 3，2)两点所在直线解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式y=x+5；
（2）解：当x=0时，y=0+5≠6，
∴点C(0，6)不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图像上的点的坐标特征是关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设，将，代入求解即可得到答案；
（2）将代入解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设
由题意，得
∴
∴；
（2）解：当时，有
解得：；
【点睛】本题考查待定系数法求解析式与已知函数值求自变量的值，解题的关键根据题意设出解析式．
22．作图见解析，图象与坐标轴围成的三角形的面积为．
【分析】描点即可画出一次函数图像，利用待定系数法求解析式，根据一次函数与坐标轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作一次函数图像如下图，
∵一次函数的图像经过点和，
∴
解得
∴一次函数的解析式是．
令，则．
∴该一次函数的图像与x轴和y轴的交点坐标分别是和．
设所求的三角形的面积为S，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，画一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键．
23．（1）， （2）见解析
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【详解】（1）设，根据题意得，
解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴；
（2）①，即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
24．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的综合题：
（1）把代入，可求出a的值，再把点A，B的坐标代入可求出一次函数的解析式；
（2）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
；
∴点，
把和代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据函数图象得，当时，直线在直线的上方，且位于x轴的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：
25．(1)A中茶具每套进价为100元，B中茶具每套进价为75元
(2)购进A种茶具12套，B种茶具8套，可以获得最大利润，最大利润为2240元
【分析】（1）根据题意，设出两种茶具单价，列出二元一次方程组，求解即可得出答案．
（2）列出不等式，解不等式，即可得出两种茶具数量和此时的最大获利．
【详解】（1）解：设A种茶具每套进价为x元，B种茶具每套进价为y元
根据题意可得，解得．
答：A种茶具每套进价为100元，B种茶具每套进价为75元．
（2）解：设购进A种茶具m套，购进B种茶具套，所获利润为w元．
则，
解得，
当时，（元），此时B种茶具：20－12＝8套，
答：购进A种茶具12套，B种茶具8套，可以获得最大利润，最大利润为2240元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式，读懂题意、数量掌握相关知识是解题关键．
26．(1)线下销售模式的函数解析式为，线上销售模式的函数解析式为
(2)线下销售模式和线上销售模式购买这种新产品数量和价钱相等
(3)选择线上销售模式购买最省钱
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出一次函数解析式，
（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据图象可知线下销售模式和线上销售模式购买这种新产品数量和价钱相等；
（3）分别计算两种销售模式的费用，比较它们的大小即可得出选择哪种销售模式购买最省钱．
【详解】（1）解：线下销售模式的解析式为：；
线上销售模式的解析式为：不超过6千克时，；
超过6千克时，；
综上所述，线下销售模式的函数解析式为，线上销售模式的函数解析式为；
（2）解：线下销售模式和线上销售模式购买这种新产品数量和价钱相等；
（3）解：当时，
线下销售模式费用为：（元），
线上销售模式费用为：（元），
，
选择线上销售模式购买最省钱．
27．(1), 乙出发1.5小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据图像可以得出答案．
（2）设的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数解析式．
（3）根据函数解析式直接直接画出图像．
【详解】（1）解：根据题意得，点的坐标为, 点表示的实际意义是：乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米．
故答案为： ，乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米；
（2）解：设函数表达式为：
把，代入得
解得
（3）解：由点可得，乙经过h到达黄山，所以的图像是一条经过的正比例函数的图像，画的图像如图所示：
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图像和性质，解题关键是认真观察函数图像和求函数解析式的步骤．
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