第十九章 一次函数 专题练--一次函数图象与坐标轴的交点问题 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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第十九章 一次函数 专题练--一次函数图象与坐标轴的交点问题
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、解答题
1．已知一次函数经过点和点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．
2．已知一次函数（k，b为常数且）的图象经过，．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)求直线与x轴的交点C的坐标．
3．已知：一次函数，
(1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围；
(3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围；
(4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积．
4．小颖根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 2 …
①根据函数的关系式和表中的数据，可以计算 ， ；
②若点和点是该函数图象上的两点，则 ；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)请写出该函数图象的性质（至少两条）；
(4)若直线（）过点，当这条直线与函数的图象有两个交点时，则的取值范围是 ．
5．已知关于的一次函数为．
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值；
(2)若，求这个函数与两坐标轴的交点坐标；
(3)若这个函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
6．已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点．
(1)求a的值．
(2)点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为．
①当点B与点A重合时，求m的值；
②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值．
7．如图，直线与轴相交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数关系式：
(2)点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值．
8．已知函数，
(1)若该函数y随着x的增加而减小，求m的取值范围．
(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围
9．如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标．
10．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标；
11．直线与直线的图象交于点，且在y轴上的截距是，求：
(1)这两个函数关系式；
(2)这两条直线与x轴围成的三角形的面积．
12．如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒．
(1)求点的坐标；
(2)用含的代数式表示的长度；
(3)当时，求的面积；
(4)当的面积为6时，直接写出的值．
参考答案
1．(1)
(2)3
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．（1）用待定系数法即可求出一次函数即可；
（2）求出一次函数的图象与轴交于，与轴交于，再根据三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）在中，令得，令得，
如图：
一次函数的图象与轴交于，与轴交于，
，
一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为3．
2．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解决问题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；
（2）将代入解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解：一次函数（k，b为常数且）的图象经过，，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：当时，有，
解得，
直线与x轴的交点C的坐标为．
3．(1)
(2)且
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系和三角形的面积，熟练掌握一次函数图象的性质是解决此题的关键．
(1)要使该函数中随的增大而减小，只需一次项系数为负数；
(2)要使该函数图象与轴的交点于下方，只需一次项系数不为零且常数项为负数；
(3)要使该函数图象经过第二、三、四象限，只需一次项系数与常数项均为负数；
(4)根据坐标轴上点的坐标特点求出所围成的直角三角形的两条直角边长，结合面积公式解答即可．
【详解】（1）解：函数值随自变量的增大而减小，
，
解得：；
（2）解：函数图象与轴交于轴下方，
且，
解得：且；
（3）解：函数图象经过第二、三、四象限，
且，
解得：；
（4）解：当时，该函数的解析式为
当时，
当时，
该直线与两坐标轴所围成的三角形面积是．
4．(1)①，；②
(2)见解析
(3)轴对称为，最低点为
(4)
【分析】本题考查了画分段函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是分类讨论．
（1）①分别将和代入，从而求得结果；
②可得出不等式，去绝对值得或，两式相加得出结果；
（2）分别得出和的函数关系式，进而画出图象；
（3）可从变化趋势和最值上描述；
（4）数形结合：画出临界情形，进而得出结果．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：0，1；
②由题意得，，
∴或，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当时，即，
，
当时，即，
，
画的图象：
列表如下：
x 0 3
0 3
描点，图象如下：
画的图象：
列表如下：
x
0 1
描点，图象如下：
（3）解：性质1：函数图象的对称轴为直线；
性质2：函数图象有最低点为；
（4）解：如图，
当时，
当直线平行于时，
此时，
将代入得
，
∴，
当直线平行于时，，
将代入得，
，
∴，
∴．
故答案为：．
5．(1)
(2)与轴的交点为，与轴的交点为
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）直接把代入求出的值即可；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征求得即可；
（3）根据一次函数的性质列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：这个函数的图象经过原点，
当时，，即，
解得；
（2）解：若，则函数为，
当时，；当时，，
这个函数与轴的交点为，与轴的交点为；
（3）解：这个函数的图象经过第一、三、四象限，
，
解得．
6．(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）根据“等幂函数”定义设解析式，再将代入即可得解；
（2）①先分别写出A和B坐标，再根据题意建立方程求解即可；
②画出图形，将坐标转化为线段长度，进而分类讨论去绝对值求解即可；
③画出的图象，进而找出M、N，然后设出M、N的坐标，然后表示出和，代入求解即可．
【详解】（1）由“等幂函数”定义可设，，
∵经过点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知，
∵点A的横坐标为m，
∴，
∵点A“关于的等幂点”为点B，
∴，
①∵点A和点B重合，
∴，
解得；
②如图所示，
由题可知，
∴，，
∴；
③的图象如图所示，
∵，
∴点M在直线上，
设，即，
∵，
∴点N在直线上，
∵点N的横坐标是点M的3倍，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的点的坐标特征、新定义内容，解题关键是理解“等幂函数”的定义以及利用数形结合思想．
7．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了函数图象中坐标的求法以及线段长度的表示法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点或，再分别代入求解即可．
【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的函数关系式为：；
（2）解：点，，且，
点或，
①把点代入得：；
②把点代入得：．
的值为或．
8．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围．
（1）根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围；
（2）根据一次函数图象与y轴交点在x轴上方，可得常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意：，
解得：；
（2）解：根据题意：，
解得：．
9．(1)；
(2)点E的横坐标为或．
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）对点E的位置进行分类讨论，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可解决问题．
【详解】（1）解：令直线的函数解析式为，
则，
解得，
所以直线的函数解析式为；
（2）解：令点E的横坐标为m，
则E点坐标可表示为，
因为轴，
所以．
因为点F在直线上，
所以．
当时，
，，
由得，
，
解得（舍去）．
当时，
，，
由得，
，
解得．
当时，
，，
由得，
，
解得，
综上所述，点E的横坐标为或．
10．(1)，；
(2)15
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）设，根据题意得，据此求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得：，
解得；
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为；
（2）解：对于一次函数，
当时，，解得，
即，，
当时，，即，，
由（1）知：，
∴；
（3）解：设，
由题意得，
解得或，
或，
∴点的坐标为或．
11．(1)
(2)12
【分析】本题考查了两条直线相交的问题，三角形面积，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，直线与x轴的交点的求法．
（1）根据在y轴的截距求出b，再将交点坐标代入求出，得到第一个函数解析式，将交点坐标代入直线解析式求出，得到第二个函数解析式；
（2）分别求出第一条直线与x轴的交点坐标，从而得到三角形的底边长，
【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距是，
∴，
∵直线与直线的图象交于点，
∴，
∴，
∴这两个函数关系式分别为；
（2）解：令，则，
解得，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∴这两条直线与x轴围成的三角形在x轴上的边长为6，
∴这两条直线与x轴围成的三角形的面积．
12．(1)点的坐标为；
(2)；
(3)；
(4)当的面积为6时，的值为4或11．
【分析】本题主要考查对于一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可；
（2）分两种情况，写出的长度即可；
（3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可；
（4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：当点在上即时，，
∴，
当点在上即时，；
综上，；
（3）解：当时，，
∵点的坐标为，
∴；
（4）解：当时，由题意得，
解得；
当时，由题意得，
解得；
∴当的面积为6时，的值为4或11．
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